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1. 如图,在△ABC中,DE//BC,∠ADE=∠EFC, $\frac{AD}{BD}=\frac{5}{3}$, CF=6, 则DE的长为().
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
【分析】
解题时首先从已知的平行条件和角相等条件入手：①由DE//BC可得∠ADE=∠B，结合已知∠ADE=∠EFC，可推出∠B=∠EFC，进而得到AB//EF，由此判定四边形DBFE是平行四边形，得出DE=BF的等量关系；②再由DE//BC判定△ADE∽△ABC，结合已知的AD与BD的比例关系得到相似比，最后将BC用DE+CF表示，建立比例方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，
又
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴AB//EF，
又
∵DE//BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+BD}=\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$，
设DE的长为$x$，则BF=$x$，BC=BF+CF=$x+6$，
代入比例式得：$\frac{x}{x+6}=\frac{5}{8}$，
交叉相乘得：$8x=5(x+6)$，
解得：$x=10$，即DE=10。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合了平行线、平行四边形、相似三角形的相关知识点，解题的核心是先通过角的等量关系推导平行关系，得到DE和BF的等量关系，再利用相似三角形的比例性质建立方程求解，是几何中常见的综合基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的平行条件和角相等条件入手：①由DE//BC可得∠ADE=∠B，结合已知∠ADE=∠EFC，可推出∠B=∠EFC，进而得到AB//EF，由此判定四边形DBFE是平行四边形，得出DE=BF的等量关系；②再由DE//BC判定△ADE∽△ABC，结合已知的AD与BD的比例关系得到相似比，最后将BC用DE+CF表示，建立比例方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，
又
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴AB//EF，
又
∵DE//BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+BD}=\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$，
设DE的长为$x$，则BF=$x$，BC=BF+CF=$x+6$，
代入比例式得：$\frac{x}{x+6}=\frac{5}{8}$，
交叉相乘得：$8x=5(x+6)$，
解得：$x=10$，即DE=10。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合了平行线、平行四边形、相似三角形的相关知识点，解题的核心是先通过角的等量关系推导平行关系，得到DE和BF的等量关系，再利用相似三角形的比例性质建立方程求解，是几何中常见的综合基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，把$△ ABC$沿$AB$平移到$△ A'B'C'$的位置，它们的重叠部分的面积是$△ ABC$面积的一半.若$AB=\sqrt{2}$，则此三角形移动的距离$AA'$等于（）.
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\dfrac{1}{2}$
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移后图形的对应边互相平行，可推出重叠部分的三角形与原$△ ABC$相似；再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个相似三角形的相似比，进而算出$A'B$的长度，最后用$AB$的长度减去$A'B$的长度，即可得到平移的距离$AA'$。
【解析】
解：$\because △ ABC$沿$AB$平移到$△ A'B'C'$的位置，
$\therefore AC// A'C'$，由此可得重叠部分的三角形与$△ ABC$相似。
设两个三角形的相似比为$k$，已知重叠部分的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{2}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$k^2=\frac{1}{2}$，解得$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$（相似比为正数，舍去负根），即$\frac{A'B}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\because AB=\sqrt{2}$，
$\therefore A'B=\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{2}=1$，
$\therefore$平移距离$AA'=AB - A'B=\sqrt{2}-1$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是平移和相似三角形的综合应用题，解题核心是通过平移的性质得到平行关系，进而推出相似三角形，再结合面积比和相似比的关系求解，是相似三角形实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的性质：平移后图形的对应边互相平行，可推出重叠部分的三角形与原$△ ABC$相似；再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个相似三角形的相似比，进而算出$A'B$的长度，最后用$AB$的长度减去$A'B$的长度，即可得到平移的距离$AA'$。
【解析】
解：$\because △ ABC$沿$AB$平移到$△ A'B'C'$的位置，
$\therefore AC// A'C'$，由此可得重叠部分的三角形与$△ ABC$相似。
设两个三角形的相似比为$k$，已知重叠部分的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{2}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$k^2=\frac{1}{2}$，解得$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$（相似比为正数，舍去负根），即$\frac{A'B}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\because AB=\sqrt{2}$，
$\therefore A'B=\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{2}=1$，
$\therefore$平移距离$AA'=AB - A'B=\sqrt{2}-1$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是平移和相似三角形的综合应用题，解题核心是通过平移的性质得到平行关系，进而推出相似三角形，再结合面积比和相似比的关系求解，是相似三角形实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=2AC$，四边形$DEFG$是正方形，点$D$，$G$分别在边$AC$，$BC$上，点$E$，$F$都在边$AB$上，若$AB=14$，则$EF$的长为()。
A.2
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.8
A.2
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.8
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先观察图形，正方形DEFG的边DE、GF均与AB垂直，可得△ADE与△ABC有公共角∠A且都含直角，△BGF与△BAC有公共角∠B且都含直角，可判定两组三角形相似；2. 设正方形边长EF为x，结合已知BC=2AC，利用相似三角形对应边成比例的性质，分别用x表示出线段AE、BF的长度；3. 根据线段和AE+EF+BF=AB=14列方程，求解即可得到EF的长度。
【解析】
设正方形$DEFG$的边长$EF=x$，则$DE=FG=EF=x$，且$∠ AED=∠ GFB=90°$。
1. 证明$△ ADE ∽ △ ABC$：
$\because ∠ A=∠ A$，$∠ AED=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
又$\because BC=2AC$，代入得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{2AC}$，约去$AC$可得$AE=\frac{DE}{2}=\frac{x}{2}$。
2. 证明$△ BGF ∽ △ BAC$：
$\because ∠ B=∠ B$，$∠ GFB=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ BGF ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{GF}{AC}$，
代入$BC=2AC$得$\frac{BF}{2AC}=\frac{GF}{AC}$，约去$AC$可得$BF=2GF=2x$。
3. 列方程求解：
$\because AB=AE+EF+BF=14$，
$\therefore \frac{x}{2}+x+2x=14$，
合并同类项得$\frac{7x}{2}=14$，解得$x=4$，即$EF=4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，结合正方形的性质，利用相似三角形的边的比例关系建立线段之间的联系，通过设未知数列方程即可求解，重点考查对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先观察图形，正方形DEFG的边DE、GF均与AB垂直，可得△ADE与△ABC有公共角∠A且都含直角，△BGF与△BAC有公共角∠B且都含直角，可判定两组三角形相似；2. 设正方形边长EF为x，结合已知BC=2AC，利用相似三角形对应边成比例的性质，分别用x表示出线段AE、BF的长度；3. 根据线段和AE+EF+BF=AB=14列方程，求解即可得到EF的长度。
【解析】
设正方形$DEFG$的边长$EF=x$，则$DE=FG=EF=x$，且$∠ AED=∠ GFB=90°$。
1. 证明$△ ADE ∽ △ ABC$：
$\because ∠ A=∠ A$，$∠ AED=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
又$\because BC=2AC$，代入得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{2AC}$，约去$AC$可得$AE=\frac{DE}{2}=\frac{x}{2}$。
2. 证明$△ BGF ∽ △ BAC$：
$\because ∠ B=∠ B$，$∠ GFB=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ BGF ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{GF}{AC}$，
代入$BC=2AC$得$\frac{BF}{2AC}=\frac{GF}{AC}$，约去$AC$可得$BF=2GF=2x$。
3. 列方程求解：
$\because AB=AE+EF+BF=14$，
$\therefore \frac{x}{2}+x+2x=14$，
合并同类项得$\frac{7x}{2}=14$，解得$x=4$，即$EF=4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，结合正方形的性质，利用相似三角形的边的比例关系建立线段之间的联系，通过设未知数列方程即可求解，重点考查对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，在$△ ABC$中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：① 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；② 以点D为圆心，AM长为半径作弧，交DB于点$M'$；③ 以点$M'$为圆心，MN长为半径作弧，在$∠ BAC$内部交前弧于点$N'$；④ 过点$N'$作射线$DN'$交BC于点E.若$△ BDE$与四边形ACED的面积比为$4:21$.则$\frac{BE}{CE}$的值为.
（第4题）（第5题）（第6题）
4. 如图，在$△ ABC$中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：① 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；② 以点D为圆心，AM长为半径作弧，交DB于点$M'$；③ 以点$M'$为圆心，MN长为半径作弧，在$∠ BAC$内部交前弧于点$N'$；④ 过点$N'$作射线$DN'$交BC于点E.若$△ BDE$与四边形ACED的面积比为$4:21$.则$\frac{BE}{CE}$的值为.
（第4题）（第5题）（第6题）
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断出所作的∠BDE=∠BAC，由此可得DE//AC，进而推出△BDE与△BAC相似；再结合已知的△BDE与四边形ACED的面积比，求出△BDE与△BAC的面积比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到对应边的相似比，最后即可求出BE与CE的比值。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，∠BDE=∠BAC，
∴DE//AC（同位角相等，两直线平行），
∴△BDE∽△BAC（平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，所得三角形与原三角形相似）。
∵$S_{△ BDE}:S_{四边形ACED}=4:21$，
∴$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=4:(4+21)=4:25$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$△ BDE$与$△ BAC$的相似比为$\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{5}$。
设$BE=2k$，则$BC=5k$，
∴$CE=BC-BE=5k-2k=3k$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
尺规作等角；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，结合平行线的判定得到相似三角形，再利用相似三角形面积比与相似比的关系求解，侧重对相似三角形基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断出所作的∠BDE=∠BAC，由此可得DE//AC，进而推出△BDE与△BAC相似；再结合已知的△BDE与四边形ACED的面积比，求出△BDE与△BAC的面积比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到对应边的相似比，最后即可求出BE与CE的比值。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，∠BDE=∠BAC，
∴DE//AC（同位角相等，两直线平行），
∴△BDE∽△BAC（平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，所得三角形与原三角形相似）。
∵$S_{△ BDE}:S_{四边形ACED}=4:21$，
∴$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=4:(4+21)=4:25$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$△ BDE$与$△ BAC$的相似比为$\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{5}$。
设$BE=2k$，则$BC=5k$，
∴$CE=BC-BE=5k-2k=3k$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
尺规作等角；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，结合平行线的判定得到相似三角形，再利用相似三角形面积比与相似比的关系求解，侧重对相似三角形基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是点B，D，F，且AB=1，CD=3，则EF的长为.
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
解析
【分析】
首先由AB、CD、EF都垂直于BD，可推出三条直线互相平行，进而得到两组相似三角形：△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD。分别写出两组相似三角形对应边成比例的表达式，再将两个比例式相加，结合DF+BF=BD的线段和关系，代入已知的AB、CD长度，即可求解EF的长。
【解析】
解：
∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB//EF//CD，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②，
将①和②左右两边分别相加，得：
$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}$，
∵$DF+BF=BD$，
∴$\frac{EF}{1}+\frac{EF}{3}=\frac{BD}{BD}=1$，
整理得$\frac{4EF}{3}=1$，
解得$EF=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行线的判定
【点评】
本题是相似三角形应用的常见题型，核心是通过平行关系得到相似三角形，再利用比例式相加消去未知线段的技巧求解，掌握该技巧可以快速解决这类多平行线共垂线的线段求值问题。
【难度系数】
0.65
首先由AB、CD、EF都垂直于BD，可推出三条直线互相平行，进而得到两组相似三角形：△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD。分别写出两组相似三角形对应边成比例的表达式，再将两个比例式相加，结合DF+BF=BD的线段和关系，代入已知的AB、CD长度，即可求解EF的长。
【解析】
解：
∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB//EF//CD，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②，
将①和②左右两边分别相加，得：
$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}$，
∵$DF+BF=BD$，
∴$\frac{EF}{1}+\frac{EF}{3}=\frac{BD}{BD}=1$，
整理得$\frac{4EF}{3}=1$，
解得$EF=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行线的判定
【点评】
本题是相似三角形应用的常见题型，核心是通过平行关系得到相似三角形，再利用比例式相加消去未知线段的技巧求解，掌握该技巧可以快速解决这类多平行线共垂线的线段求值问题。
【难度系数】
0.65
6. 如图，在直角三角形ABC中放置边长为3，4，x的三个正方形，则x的值为.
答案
解：
由题意可知，放置三个正方形后，剩余的两个小直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{x-3}{4}=\frac{3}{x-4}$
交叉相乘整理：
$(x-3)(x-4)=12$
$x^2-7x=0$
解得 $x_1=7$，$x_2=0$（不符合题意，舍去）
所以$x$的值为$\boldsymbol{7}$。
由题意可知，放置三个正方形后，剩余的两个小直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{x-3}{4}=\frac{3}{x-4}$
交叉相乘整理：
$(x-3)(x-4)=12$
$x^2-7x=0$
解得 $x_1=7$，$x_2=0$（不符合题意，舍去）
所以$x$的值为$\boldsymbol{7}$。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：直角三角形内放置三个正方形，结合正方形各边相等、各角为直角的性质，可推出夹在中间正方形两侧的两个小直角三角形的锐角对应相等（同角的余角相等），因此这两个三角形相似。接下来找准两个相似三角形的对应直角边，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解方程后结合边长为正数的实际意义舍去不合理的根，即可得到x的取值。
【解析】
解：由题意可知，放置三个正方形后，两侧的两个小直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{x-3}{4}=\frac{3}{x-4}$
交叉相乘整理：
$(x-3)(x-4)=12$
展开得$x^2-7x+12=12$，即$x^2-7x=0$
因式分解得$x(x-7)=0$
解得 $x_1=7$，$x_2=0$（边长不能为0，不符合题意，舍去）
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型基础题，解题核心是挖掘图形中隐含的相似三角形，准确匹配对应边列出比例式，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征：直角三角形内放置三个正方形，结合正方形各边相等、各角为直角的性质，可推出夹在中间正方形两侧的两个小直角三角形的锐角对应相等（同角的余角相等），因此这两个三角形相似。接下来找准两个相似三角形的对应直角边，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解方程后结合边长为正数的实际意义舍去不合理的根，即可得到x的取值。
【解析】
解：由题意可知，放置三个正方形后，两侧的两个小直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{x-3}{4}=\frac{3}{x-4}$
交叉相乘整理：
$(x-3)(x-4)=12$
展开得$x^2-7x+12=12$，即$x^2-7x=0$
因式分解得$x(x-7)=0$
解得 $x_1=7$，$x_2=0$（边长不能为0，不符合题意，舍去）
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型基础题，解题核心是挖掘图形中隐含的相似三角形，准确匹配对应边列出比例式，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
