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三、解答题
7. 已知一个三角形的三边长分别是1，$2\sqrt{2}$，3，与其相似的三角形的最长边为$3\sqrt{2}$，求较大三角形的周长和面积。
7. 已知一个三角形的三边长分别是1，$2\sqrt{2}$，3，与其相似的三角形的最长边为$3\sqrt{2}$，求较大三角形的周长和面积。
答案
解：
已知原三角形三边长为$1$，$2\sqrt{2}$，$3$，其最长边为$3$。
两相似三角形的最长边分别为$3$和$3\sqrt{2}$，因此相似比 $k = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$。
原三角形的周长为：
$C_1 = 1 + 2\sqrt{2} + 3 = 4 + 2\sqrt{2}$
由相似三角形的周长比等于相似比，得较大三角形的周长：
$C_2 = k · C_1 = \sqrt{2} × (4 + 2\sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2}$
验证原三角形形状：
$\because 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$\therefore$ 原三角形为直角三角形，其面积：
$S_1 = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$\therefore S_2 = 2S_1 = 2\sqrt{2}$
答：较大三角形的周长为$4+4\sqrt{2}$，面积为$2\sqrt{2}$。
已知原三角形三边长为$1$，$2\sqrt{2}$，$3$，其最长边为$3$。
两相似三角形的最长边分别为$3$和$3\sqrt{2}$，因此相似比 $k = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$。
原三角形的周长为：
$C_1 = 1 + 2\sqrt{2} + 3 = 4 + 2\sqrt{2}$
由相似三角形的周长比等于相似比，得较大三角形的周长：
$C_2 = k · C_1 = \sqrt{2} × (4 + 2\sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2}$
验证原三角形形状：
$\because 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$\therefore$ 原三角形为直角三角形，其面积：
$S_1 = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$\therefore S_2 = 2S_1 = 2\sqrt{2}$
答：较大三角形的周长为$4+4\sqrt{2}$，面积为$2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时先从相似三角形的对应边关系入手：①首先确定两个相似三角形的对应最长边，原三角形最长边为3，较大三角形最长边为$3\sqrt{2}$，二者的比值即为相似比；②根据相似三角形周长比等于相似比的性质，先计算原三角形的周长，再乘相似比即可得到较大三角形的周长；③计算面积前先判断原三角形的形状，通过勾股定理逆定理验证可知原三角形是直角三角形，先求出原三角形面积，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出较大三角形的面积。
【解析】
解：已知原三角形三边长为1，$2\sqrt{2}$，3，其最长边为3。
两相似三角形的最长边分别为3和$3\sqrt{2}$，因此相似比 $k = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$。
原三角形的周长为：
$C_1 = 1 + 2\sqrt{2} + 3 = 4 + 2\sqrt{2}$
由相似三角形的周长比等于相似比，得较大三角形的周长：
$C_2 = k · C_1 = \sqrt{2} × (4 + 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 4 = 4 + 4\sqrt{2}$
验证原三角形形状：
$\because 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$\therefore$ 原三角形为直角三角形，两条直角边长为1和$2\sqrt{2}$，其面积：
$S_1 = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$\therefore S_2 = 2S_1 = 2\sqrt{2}$
【答案】
较大三角形的周长为$4+4\sqrt{2}$，面积为$2\sqrt{2}$。
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查相似三角形性质的基础应用，解题关键是先根据对应最长边确定相似比，需注意区分相似三角形周长比、面积比与相似比的关系，避免混淆二者的计算规则导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从相似三角形的对应边关系入手：①首先确定两个相似三角形的对应最长边，原三角形最长边为3，较大三角形最长边为$3\sqrt{2}$，二者的比值即为相似比；②根据相似三角形周长比等于相似比的性质，先计算原三角形的周长，再乘相似比即可得到较大三角形的周长；③计算面积前先判断原三角形的形状，通过勾股定理逆定理验证可知原三角形是直角三角形，先求出原三角形面积，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出较大三角形的面积。
【解析】
解：已知原三角形三边长为1，$2\sqrt{2}$，3，其最长边为3。
两相似三角形的最长边分别为3和$3\sqrt{2}$，因此相似比 $k = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$。
原三角形的周长为：
$C_1 = 1 + 2\sqrt{2} + 3 = 4 + 2\sqrt{2}$
由相似三角形的周长比等于相似比，得较大三角形的周长：
$C_2 = k · C_1 = \sqrt{2} × (4 + 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 4 = 4 + 4\sqrt{2}$
验证原三角形形状：
$\because 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$\therefore$ 原三角形为直角三角形，两条直角边长为1和$2\sqrt{2}$，其面积：
$S_1 = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$\therefore S_2 = 2S_1 = 2\sqrt{2}$
【答案】
较大三角形的周长为$4+4\sqrt{2}$，面积为$2\sqrt{2}$。
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查相似三角形性质的基础应用，解题关键是先根据对应最长边确定相似比，需注意区分相似三角形周长比、面积比与相似比的关系，避免混淆二者的计算规则导致出错。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 14\ \mathrm{cm}$，$\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{5}{9}$，$DE // BC$，$CD ⊥ AB$，$CD = 12\ \mathrm{cm}$. 求$△ ADE$的面积和周长.
答案
解：
∵ $AB = 14\ \mathrm{cm}$，$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{5}{9}$，
∴ $AD = 14×\dfrac{5}{5+9}=5\ \mathrm{cm}$，$BD=14-5=9\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD⊥ AB$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{cm}$。
∴ $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=14+15+13=42\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AB· CD=\dfrac{1}{2}×14×12=84\ \mathrm{cm^2}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，相似比$k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{14}$。
由相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，得：
$\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\dfrac{5}{14})^2=\dfrac{25}{196}$，
$S_{△ ADE}=84×\dfrac{25}{196}=\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$，
$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=k=\dfrac{5}{14}$，
$C_{△ ADE}=42×\dfrac{5}{14}=15\ \mathrm{cm}$。
答：$△ ADE$的面积为$\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$，周长为$15\ \mathrm{cm}$。
∵ $AB = 14\ \mathrm{cm}$，$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{5}{9}$，
∴ $AD = 14×\dfrac{5}{5+9}=5\ \mathrm{cm}$，$BD=14-5=9\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD⊥ AB$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{cm}$。
∴ $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=14+15+13=42\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AB· CD=\dfrac{1}{2}×14×12=84\ \mathrm{cm^2}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，相似比$k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{14}$。
由相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，得：
$\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\dfrac{5}{14})^2=\dfrac{25}{196}$，
$S_{△ ADE}=84×\dfrac{25}{196}=\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$，
$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=k=\dfrac{5}{14}$，
$C_{△ ADE}=42×\dfrac{5}{14}=15\ \mathrm{cm}$。
答：$△ ADE$的面积为$\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$，周长为$15\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先观察到DE//BC，可判定△ADE与△ABC相似，因此要求△ADE的面积和周长，只需先求出△ABC的面积、周长以及两个三角形的相似比即可。第一步先根据AB的总长和AD与BD的比例求出AD、BD的长度；第二步利用CD⊥AB的垂直条件，结合勾股定理计算AC、BC的长，进而求出△ABC的周长和面积；第三步确定相似比为AD与AB的比值，最后根据相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，计算得到△ADE的周长和面积。
【解析】
解：
∵ $AB = 14\ \mathrm{cm}$，$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{5}{9}$，
∴ $AD = 14×\dfrac{5}{5+9}=5\ \mathrm{cm}$，$BD=14-5=9\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD⊥ AB$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{cm}$。
∴ $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=14+15+13=42\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AB· CD=\dfrac{1}{2}×14×12=84\ \mathrm{cm^2}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，相似比$k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{14}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，得：
$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=k=\dfrac{5}{14}$，$C_{△ ADE}=42×\dfrac{5}{14}=15\ \mathrm{cm}$；
$\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\dfrac{5}{14})^2=\dfrac{25}{196}$，$S_{△ ADE}=84×\dfrac{25}{196}=\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$△ ADE$的面积为$\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$，周长为$15\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形周长与面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是先通过已知条件求出大三角形的周长、面积及两个三角形的相似比，再借助相似三角形的性质推导小三角形的对应量，同时考查了勾股定理的简单应用，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到DE//BC，可判定△ADE与△ABC相似，因此要求△ADE的面积和周长，只需先求出△ABC的面积、周长以及两个三角形的相似比即可。第一步先根据AB的总长和AD与BD的比例求出AD、BD的长度；第二步利用CD⊥AB的垂直条件，结合勾股定理计算AC、BC的长，进而求出△ABC的周长和面积；第三步确定相似比为AD与AB的比值，最后根据相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，计算得到△ADE的周长和面积。
【解析】
解：
∵ $AB = 14\ \mathrm{cm}$，$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{5}{9}$，
∴ $AD = 14×\dfrac{5}{5+9}=5\ \mathrm{cm}$，$BD=14-5=9\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD⊥ AB$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{cm}$。
∴ $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=14+15+13=42\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AB· CD=\dfrac{1}{2}×14×12=84\ \mathrm{cm^2}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，相似比$k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{14}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，得：
$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=k=\dfrac{5}{14}$，$C_{△ ADE}=42×\dfrac{5}{14}=15\ \mathrm{cm}$；
$\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\dfrac{5}{14})^2=\dfrac{25}{196}$，$S_{△ ADE}=84×\dfrac{25}{196}=\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$△ ADE$的面积为$\dfrac{75}{7}\ \mathrm{cm^2}$，周长为$15\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形周长与面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是先通过已知条件求出大三角形的周长、面积及两个三角形的相似比，再借助相似三角形的性质推导小三角形的对应量，同时考查了勾股定理的简单应用，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
9. 如图，DE 将等边三角形ABC分为面积相等的两部分，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于点G，H.若DG=m，EH=n，求GH的长.(用m，n表示)
答案
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
由折叠的性质可得：△FDE≌△BDE，
∴ ∠F=∠B=60°，$S_{△ FDE}=S_{△ BDE}$，$DF=BD$，$EF=BE$。
由题意DE将△ABC分为面积相等的两部分，故$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即$S_{△ FDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ ∠A=60°，∠AGD=∠FGH，∠F=60°，
∴ △ADG、△FGH、△ECH均为等边三角形，
∴ $AD=DG=m$，$CH=EH=n$，设$GH=x$，则$GF=HF=x$。
∴ $DF=DG+GF=m+x$，$EF=EH+HF=n+x$，
∴ $BD=DF=m+x$，$BE=EF=n+x$。
设等边△ABC的边长为$a$，则$a=AC=AG+GH+CH=m+x+n$。
由三角形面积公式，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}· BD· BE· \sin60°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· a^2· \sin60°$，
代入$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$得：
$BD· BE=\frac{1}{2}a^2$
将$BD=a-AD=a-m$，$BE=a-EC=a-n$，$a=m+n+x$代入上式：
$(a-m)(a-n)=\frac{1}{2}a^2$
展开整理：
$a^2-(m+n)a+mn=\frac{1}{2}a^2$
$a^2-2(m+n)a+2mn=0$
将$a=m+n+x$代入：
$(m+n+x)^2 - 2(m+n)(m+n+x) + 2mn=0$
化简得：
$x^2=m^2+n^2$
∵ $x＞0$，
∴ $x=\sqrt{m^2+n^2}$，即$GH=\sqrt{m^2+n^2}$。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
由折叠的性质可得：△FDE≌△BDE，
∴ ∠F=∠B=60°，$S_{△ FDE}=S_{△ BDE}$，$DF=BD$，$EF=BE$。
由题意DE将△ABC分为面积相等的两部分，故$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即$S_{△ FDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ ∠A=60°，∠AGD=∠FGH，∠F=60°，
∴ △ADG、△FGH、△ECH均为等边三角形，
∴ $AD=DG=m$，$CH=EH=n$，设$GH=x$，则$GF=HF=x$。
∴ $DF=DG+GF=m+x$，$EF=EH+HF=n+x$，
∴ $BD=DF=m+x$，$BE=EF=n+x$。
设等边△ABC的边长为$a$，则$a=AC=AG+GH+CH=m+x+n$。
由三角形面积公式，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}· BD· BE· \sin60°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· a^2· \sin60°$，
代入$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$得：
$BD· BE=\frac{1}{2}a^2$
将$BD=a-AD=a-m$，$BE=a-EC=a-n$，$a=m+n+x$代入上式：
$(a-m)(a-n)=\frac{1}{2}a^2$
展开整理：
$a^2-(m+n)a+mn=\frac{1}{2}a^2$
$a^2-2(m+n)a+2mn=0$
将$a=m+n+x$代入：
$(m+n+x)^2 - 2(m+n)(m+n+x) + 2mn=0$
化简得：
$x^2=m^2+n^2$
∵ $x＞0$，
∴ $x=\sqrt{m^2+n^2}$，即$GH=\sqrt{m^2+n^2}$。
解析
【分析】
解题时先从已知图形性质入手：①先利用等边三角形的性质得所有内角为60°，再结合折叠的性质得△FDE与△BDE全等、面积相等，结合DE平分△ABC面积的条件，得到△FDE的面积是△ABC面积的一半；②根据角度关系可判断△ADG、△FGH、△ECH均为等边三角形，因此各小等边三角形的边长相等，可将图中相关线段用m、n和待求的GH（设为x）表示；③最后利用含60°角的三角形面积公式，结合面积关系列出方程，化简求解即可得到GH的长度。
【解析】
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
由折叠的性质可得：△FDE≌△BDE，
∴ ∠F=∠B=60°，$S_{△ FDE}=S_{△ BDE}$，$DF=BD$，$EF=BE$。
∵ DE将△ABC分为面积相等的两部分，
∴ $S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即$S_{△ FDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ ∠A=∠F=60°，∠AGD=∠FGH（对顶角相等），
∴ △ADG、△FGH均为等边三角形，同理可得△ECH为等边三角形，
∴ $AD=DG=m$，$CH=EH=n$，设$GH=x$，则$GF=HF=GH=x$。
∴ $DF=DG+GF=m+x$，$EF=EH+HF=n+x$，
∴ $BD=DF=m+x$，$BE=EF=n+x$。
设等边△ABC的边长为$a$，则$AC=AG+GH+CH=AD+GH+CH=m+x+n=a$，即$a=m+n+x$，同时$BD=a-AD=a-m$，$BE=a-EC=a-n$。
根据含60°角的三角形面积公式：$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}· BD· BE· \sin60°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· a^2· \sin60°$，
代入$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，两边同时约去$\frac{1}{2}\sin60°$得：
$BD· BE=\frac{1}{2}a^2$
将$BD=a-m$，$BE=a-n$代入上式：
$(a-m)(a-n)=\frac{1}{2}a^2$
展开整理得：
$a^2-(m+n)a+mn=\frac{1}{2}a^2$
即$a^2-2(m+n)a+2mn=0$
将$a=m+n+x$代入上式：
$(m+n+x)^2 - 2(m+n)(m+n+x) + 2mn=0$
将$(m+n+x)$看作整体化简：
$[(m+n+x)-(m+n)]^2-(m+n)^2+2mn=0$
即$x^2=m^2+2mn+n^2-2mn=m^2+n^2$
∵ $x＞0$，
∴ $x=\sqrt{m^2+n^2}$，即$GH=\sqrt{m^2+n^2}$。
【答案】
$GH=\sqrt{m^2+n^2}$
【知识点】
1.等边三角形的判定与性质
2.折叠的性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与方程思想的应用，解题的关键是通过角度关系识别出图中的等边三角形，梳理清楚各线段之间的数量关系，再结合面积条件建立方程求解，对几何分析能力和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题时先从已知图形性质入手：①先利用等边三角形的性质得所有内角为60°，再结合折叠的性质得△FDE与△BDE全等、面积相等，结合DE平分△ABC面积的条件，得到△FDE的面积是△ABC面积的一半；②根据角度关系可判断△ADG、△FGH、△ECH均为等边三角形，因此各小等边三角形的边长相等，可将图中相关线段用m、n和待求的GH（设为x）表示；③最后利用含60°角的三角形面积公式，结合面积关系列出方程，化简求解即可得到GH的长度。
【解析】
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
由折叠的性质可得：△FDE≌△BDE，
∴ ∠F=∠B=60°，$S_{△ FDE}=S_{△ BDE}$，$DF=BD$，$EF=BE$。
∵ DE将△ABC分为面积相等的两部分，
∴ $S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即$S_{△ FDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ ∠A=∠F=60°，∠AGD=∠FGH（对顶角相等），
∴ △ADG、△FGH均为等边三角形，同理可得△ECH为等边三角形，
∴ $AD=DG=m$，$CH=EH=n$，设$GH=x$，则$GF=HF=GH=x$。
∴ $DF=DG+GF=m+x$，$EF=EH+HF=n+x$，
∴ $BD=DF=m+x$，$BE=EF=n+x$。
设等边△ABC的边长为$a$，则$AC=AG+GH+CH=AD+GH+CH=m+x+n=a$，即$a=m+n+x$，同时$BD=a-AD=a-m$，$BE=a-EC=a-n$。
根据含60°角的三角形面积公式：$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}· BD· BE· \sin60°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· a^2· \sin60°$，
代入$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，两边同时约去$\frac{1}{2}\sin60°$得：
$BD· BE=\frac{1}{2}a^2$
将$BD=a-m$，$BE=a-n$代入上式：
$(a-m)(a-n)=\frac{1}{2}a^2$
展开整理得：
$a^2-(m+n)a+mn=\frac{1}{2}a^2$
即$a^2-2(m+n)a+2mn=0$
将$a=m+n+x$代入上式：
$(m+n+x)^2 - 2(m+n)(m+n+x) + 2mn=0$
将$(m+n+x)$看作整体化简：
$[(m+n+x)-(m+n)]^2-(m+n)^2+2mn=0$
即$x^2=m^2+2mn+n^2-2mn=m^2+n^2$
∵ $x＞0$，
∴ $x=\sqrt{m^2+n^2}$，即$GH=\sqrt{m^2+n^2}$。
【答案】
$GH=\sqrt{m^2+n^2}$
【知识点】
1.等边三角形的判定与性质
2.折叠的性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与方程思想的应用，解题的关键是通过角度关系识别出图中的等边三角形，梳理清楚各线段之间的数量关系，再结合面积条件建立方程求解，对几何分析能力和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.4
