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1. 两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是().
A.75 cm,115 cm
B.60 cm,100 cm
C.85 cm,125 cm
D.45 cm,85 cm
A.75 cm,115 cm
B.60 cm,100 cm
C.85 cm,125 cm
D.45 cm,85 cm
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比）。首先根据已知对应边求出两个三角形的相似比，也就得到了周长比；再结合周长相差40cm的条件，通过设参数的方法表示两个三角形的周长，列方程求解参数，最后计算出两个周长即可匹配选项。
【解析】
∵ 两个三角形是相似三角形，对应边分别为15 cm和23 cm
∴ 两个三角形的相似比为15:23
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为15:23
设较小三角形的周长为15k cm，较大三角形的周长为23k cm（k＞0）
由题意得：23k - 15k = 40
解得：8k = 40，k=5
∴ 较小三角形周长：15×5=75 cm
较大三角形周长：23×5=115 cm
所以这两个三角形的周长分别是75 cm和115 cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质，比例方程应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似三角形周长比等于相似比的规律，通过设参数的方式结合周长差列方程求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比）。首先根据已知对应边求出两个三角形的相似比，也就得到了周长比；再结合周长相差40cm的条件，通过设参数的方法表示两个三角形的周长，列方程求解参数，最后计算出两个周长即可匹配选项。
【解析】
∵ 两个三角形是相似三角形，对应边分别为15 cm和23 cm
∴ 两个三角形的相似比为15:23
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为15:23
设较小三角形的周长为15k cm，较大三角形的周长为23k cm（k＞0）
由题意得：23k - 15k = 40
解得：8k = 40，k=5
∴ 较小三角形周长：15×5=75 cm
较大三角形周长：23×5=115 cm
所以这两个三角形的周长分别是75 cm和115 cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质，比例方程应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似三角形周长比等于相似比的规律，通过设参数的方式结合周长差列方程求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
2. 将一副三角板按如图所示的方式叠放，则$△ AOB$与$△ DOC$的面积之比等于（）。
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
D
解析
【分析】
首先根据三角板的直角特征可得AB与CD平行，进而可判定△AOB和△DOC相似，结合相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，只需利用公共边BC和特殊角的三角函数值，求出两个三角形的相似比，平方后即可得到面积比。
【解析】
解：由三角板的性质可知∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设BC的长度为a，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴$AB = BC · \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}a$，
在Rt△DCB中，∠DBC=45°，∠BCD=90°，
∴$CD = BC = a$，
∴△AOB与△DOC的相似比为$\frac{AB}{CD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△AOB}}{S_{△DOC}} = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合常见三角板的角度特征考查相似三角形的相关应用，解题的关键是准确判断两个三角形相似，再结合相似三角形的面积比与相似比的关系计算，难度不大，需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
首先根据三角板的直角特征可得AB与CD平行，进而可判定△AOB和△DOC相似，结合相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，只需利用公共边BC和特殊角的三角函数值，求出两个三角形的相似比，平方后即可得到面积比。
【解析】
解：由三角板的性质可知∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设BC的长度为a，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴$AB = BC · \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}a$，
在Rt△DCB中，∠DBC=45°，∠BCD=90°，
∴$CD = BC = a$，
∴△AOB与△DOC的相似比为$\frac{AB}{CD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△AOB}}{S_{△DOC}} = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合常见三角板的角度特征考查相似三角形的相关应用，解题的关键是准确判断两个三角形相似，再结合相似三角形的面积比与相似比的关系计算，难度不大，需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，D是边AB上的点，$∠ B = ∠ ACD$，$AC:AB = 1:2$，则$△ ADC$与$△ ACB$的周长比是().
A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$
A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$
答案
B
解析
【分析】
要计算两个三角形的周长比，首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此首先需要判断△ADC和△ACB是否相似。观察两个三角形，它们共用∠A，题目又给出∠B=∠ACD，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，可证明两三角形相似。再找到两个三角形的对应边比，也就是相似比，就能直接得到周长比。
【解析】
在△ADC和△ACB中：
∵ $∠ A = ∠ A$（公共角），$∠ ACD = ∠ B$（已知），
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，已知相似比为$AC:AB=1:2$，
因此$△ ADC$与$△ ACB$的周长比为$1:2$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题核心是先通过角的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要计算两个三角形的周长比，首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此首先需要判断△ADC和△ACB是否相似。观察两个三角形，它们共用∠A，题目又给出∠B=∠ACD，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，可证明两三角形相似。再找到两个三角形的对应边比，也就是相似比，就能直接得到周长比。
【解析】
在△ADC和△ACB中：
∵ $∠ A = ∠ A$（公共角），$∠ ACD = ∠ B$（已知），
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，已知相似比为$AC:AB=1:2$，
因此$△ ADC$与$△ ACB$的周长比为$1:2$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题核心是先通过角的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
4. 若两个相似三角形的周长比是$3:5$，则对应中线的长度比是.
答案
$\boldsymbol{3:5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的比例性质：相似三角形的周长比等于相似比，对应中线、对应高、对应角平分线等对应线段的比也等于相似比。已知周长比可直接得到相似比，再对应到中线比即可，无需复杂计算，直接套用性质即可求解。
【解析】
根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形的周长比等于相似比，已知两个相似三角形的周长比是$3:5$，因此两个三角形的相似比为$3:5$；
2. 相似三角形对应中线的比等于相似比，因此对应中线的长度比等于相似比，即$3:5$。
【答案】
$3:5$
【知识点】
相似三角形周长比性质、相似三角形对应中线比性质
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的直接考查，难度较低，解题的关键是熟记相似三角形的各类比例关系，注意不要将对应线段比、周长比与面积比的性质混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的比例性质：相似三角形的周长比等于相似比，对应中线、对应高、对应角平分线等对应线段的比也等于相似比。已知周长比可直接得到相似比，再对应到中线比即可，无需复杂计算，直接套用性质即可求解。
【解析】
根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形的周长比等于相似比，已知两个相似三角形的周长比是$3:5$，因此两个三角形的相似比为$3:5$；
2. 相似三角形对应中线的比等于相似比，因此对应中线的长度比等于相似比，即$3:5$。
【答案】
$3:5$
【知识点】
相似三角形周长比性质、相似三角形对应中线比性质
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的直接考查，难度较低，解题的关键是熟记相似三角形的各类比例关系，注意不要将对应线段比、周长比与面积比的性质混淆。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,DE//AB,且DE平分△ABC的面积,则$\frac{DE}{AB}=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
解析
【分析】
解题思路：首先观察到DE//AB，可先判定△CDE与△CAB相似；再根据DE平分△ABC的面积，得到两个相似三角形的面积比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，逆推求出相似比$\frac{DE}{AB}$的值。
第一步：由平行线的性质得到两个三角形的对应角相等，判定三角形相似；第二步：根据面积平分的条件，确定两个相似三角形的面积比为1:2；第三步：结合相似三角形面积比与相似比的关系，计算得到边长的比值。
【解析】
解：$\because DE// AB$
$\therefore ∠ CDE=∠ A$，$∠ CED=∠ B$
$\therefore △ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\because DE$平分$△ ABC$的面积
$\therefore \frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CAB}}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得
$(\frac{DE}{AB})^2=\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CAB}}=\frac{1}{2}$
$\because \frac{DE}{AB}＞0$
$\therefore \frac{DE}{AB}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是先由平行关系得到相似三角形，再将面积比的条件转化为相似比的关系进行计算，是相似三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察到DE//AB，可先判定△CDE与△CAB相似；再根据DE平分△ABC的面积，得到两个相似三角形的面积比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，逆推求出相似比$\frac{DE}{AB}$的值。
第一步：由平行线的性质得到两个三角形的对应角相等，判定三角形相似；第二步：根据面积平分的条件，确定两个相似三角形的面积比为1:2；第三步：结合相似三角形面积比与相似比的关系，计算得到边长的比值。
【解析】
解：$\because DE// AB$
$\therefore ∠ CDE=∠ A$，$∠ CED=∠ B$
$\therefore △ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\because DE$平分$△ ABC$的面积
$\therefore \frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CAB}}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得
$(\frac{DE}{AB})^2=\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CAB}}=\frac{1}{2}$
$\because \frac{DE}{AB}＞0$
$\therefore \frac{DE}{AB}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是先由平行关系得到相似三角形，再将面积比的条件转化为相似比的关系进行计算，是相似三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，P为$□ ABCD$的边BC上一点，E，F分别为PA，PD上的点，且$PA=3PE$，$PD=3PF$，$△ PEF$，$△ PDC$，$△ PAB$的面积分别记为$S$，$S_1$，$S_2$.若$S=2$，则$S_1 + S_2 =$.
答案
$\boldsymbol{18}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的线段比例关系入手，结合公共角可判定△PEF与△PAD相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△PAD的面积；再结合平行四边形的性质，可知△PAD的面积等于平行四边形面积的一半，而△PDC与△PAB的面积和也等于平行四边形面积的一半，二者相等即可求出最终结果。
【解析】
1. 证明$△ PEF ∽ △ PAD$：
已知$PA=3PE$，$PD=3PF$，因此$\frac{PE}{PA}=\frac{PF}{PD}=\frac{1}{3}$，又$∠ EPF=∠ APD$（公共角），根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ PEF ∽ △ PAD$，相似比为$\frac{1}{3}$。
2. 求$△ PAD$的面积：
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S}{S_{△ PAD}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。已知$S=2$，代入得$S_{△ PAD}=9S=9×2=18$。
3. 求$S_1+S_2$的值：
设平行四边形$ABCD$中$AD$边上的高为$h$，则$S_{□ ABCD}=AD· h$，$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}AD· h$，因此$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
而$S_1+S_2=S_{□ ABCD}-S_{△ PAD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，故$S_1+S_2=S_{△ PAD}=18$。
【答案】
$\boldsymbol{18}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形和平行四边形性质的综合应用题，解题的关键是先通过线段比例关系判定三角形相似，求出中间三角形的面积，再利用平行四边形与内部三角形的面积关系推导结果，能较好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的线段比例关系入手，结合公共角可判定△PEF与△PAD相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△PAD的面积；再结合平行四边形的性质，可知△PAD的面积等于平行四边形面积的一半，而△PDC与△PAB的面积和也等于平行四边形面积的一半，二者相等即可求出最终结果。
【解析】
1. 证明$△ PEF ∽ △ PAD$：
已知$PA=3PE$，$PD=3PF$，因此$\frac{PE}{PA}=\frac{PF}{PD}=\frac{1}{3}$，又$∠ EPF=∠ APD$（公共角），根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ PEF ∽ △ PAD$，相似比为$\frac{1}{3}$。
2. 求$△ PAD$的面积：
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S}{S_{△ PAD}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。已知$S=2$，代入得$S_{△ PAD}=9S=9×2=18$。
3. 求$S_1+S_2$的值：
设平行四边形$ABCD$中$AD$边上的高为$h$，则$S_{□ ABCD}=AD· h$，$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}AD· h$，因此$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
而$S_1+S_2=S_{□ ABCD}-S_{△ PAD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，故$S_1+S_2=S_{△ PAD}=18$。
【答案】
$\boldsymbol{18}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形和平行四边形性质的综合应用题，解题的关键是先通过线段比例关系判定三角形相似，求出中间三角形的面积，再利用平行四边形与内部三角形的面积关系推导结果，能较好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
