登录
三、解答题
7. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且FG落在边BC上，过点A作AD⊥BC于点D。若BC=3，AD=2，EF=$\frac{2}{3}EH$，求EH的长。
7. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且FG落在边BC上，过点A作AD⊥BC于点D。若BC=3，AD=2，EF=$\frac{2}{3}EH$，求EH的长。
答案
解：
设EH的长为x，则$EF=\frac{2}{3}x$。
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ $EH// BC$，
∴ $△ AEH ∽ △ ABC$。
设AD与EH交于点M，
∵ $AD⊥ BC$，$EH// BC$，
∴ $AD⊥ EH$，且$MD=EF=\frac{2}{3}x$，
∴ $AM=AD-MD=2-\frac{2}{3}x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EH}{BC}=\frac{AM}{AD}$
将$BC=3$，$AD=2$代入得：
$\frac{x}{3}=\frac{2-\frac{2}{3}x}{2}$
解得$x=\frac{3}{2}$。
答：EH的长为$\frac{3}{2}$。
设EH的长为x，则$EF=\frac{2}{3}x$。
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ $EH// BC$，
∴ $△ AEH ∽ △ ABC$。
设AD与EH交于点M，
∵ $AD⊥ BC$，$EH// BC$，
∴ $AD⊥ EH$，且$MD=EF=\frac{2}{3}x$，
∴ $AM=AD-MD=2-\frac{2}{3}x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EH}{BC}=\frac{AM}{AD}$
将$BC=3$，$AD=2$代入得：
$\frac{x}{3}=\frac{2-\frac{2}{3}x}{2}$
解得$x=\frac{3}{2}$。
答：EH的长为$\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先根据矩形的对边平行可得EH//BC，由此可推出△AEH∽△ABC。结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，我们可以设EH为未知数x，用x表示出EF的长度，进而得到△AEH的高AM的长度，最后代入相似比的等式建立方程，解方程即可得到EH的长度。
【解析】
设EH的长为x，则$EF=\frac{2}{3}x$。
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ $EH// BC$，
∴ $△ AEH ∽ △ ABC$。
设AD与EH交于点M，
∵ $AD⊥ BC$，$EH// BC$，
∴ $AD⊥ EH$，且$MD=EF=\frac{2}{3}x$，
∴ $AM=AD-MD=2-\frac{2}{3}x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EH}{BC}=\frac{AM}{AD}$
将$BC=3$，$AD=2$代入得：
$\frac{x}{3}=\frac{2-\frac{2}{3}x}{2}$
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形与矩形性质结合的基础应用题，通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，是三角形内接矩形类问题的典型考法，掌握相似三角形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据矩形的对边平行可得EH//BC，由此可推出△AEH∽△ABC。结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，我们可以设EH为未知数x，用x表示出EF的长度，进而得到△AEH的高AM的长度，最后代入相似比的等式建立方程，解方程即可得到EH的长度。
【解析】
设EH的长为x，则$EF=\frac{2}{3}x$。
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ $EH// BC$，
∴ $△ AEH ∽ △ ABC$。
设AD与EH交于点M，
∵ $AD⊥ BC$，$EH// BC$，
∴ $AD⊥ EH$，且$MD=EF=\frac{2}{3}x$，
∴ $AM=AD-MD=2-\frac{2}{3}x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EH}{BC}=\frac{AM}{AD}$
将$BC=3$，$AD=2$代入得：
$\frac{x}{3}=\frac{2-\frac{2}{3}x}{2}$
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形与矩形性质结合的基础应用题，通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，是三角形内接矩形类问题的典型考法，掌握相似三角形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
8. 如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$36°$，点$B$的对应点为点$E$，点$A$的对应点为点$D$，此时点$E$恰好落在边$AC$上，连接$AD$，若$AB=BC$，$AC=2$，求$AB$的长。
（第8题）
（第8题）答案
解：
由旋转的性质可得：
$CD=CA=2$，$DE=AB$，$CE=CB$，$∠ ACD=36°$，$∠ CDE=∠ CAB$，$∠ CED=∠ B$。
$\because AB=BC$，
$\therefore CE=CB=AB$，$∠ BAC=∠ BCA=36°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ BAC-∠ BCA=108°$，
$\therefore ∠ CED=∠ B=108°$，
$\therefore ∠ AED=180°-∠ CED=72°$。
$\because CD=CA$，$∠ ACD=36°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
在$△ ADE$中，$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=36°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ACD=36°$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAD$，
$\therefore △ DAE ∽ △ CAD$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AC· AE$。
$\because ∠ AED=∠ DAE=72°$，
$\therefore AD=DE$，
又$\because DE=AB$，$CE=AB$，
$\therefore AD=AB$，$AE=AC-CE=2-AB$。
设$AB=x$，则$AD=x$，$AE=2-x$，代入得：
$x^2=2(2-x)$
整理得：$x^2+2x-4=0$
解得：$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$（边长为正，舍去）。
答：$AB$的长为$\sqrt{5}-1$。
由旋转的性质可得：
$CD=CA=2$，$DE=AB$，$CE=CB$，$∠ ACD=36°$，$∠ CDE=∠ CAB$，$∠ CED=∠ B$。
$\because AB=BC$，
$\therefore CE=CB=AB$，$∠ BAC=∠ BCA=36°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ BAC-∠ BCA=108°$，
$\therefore ∠ CED=∠ B=108°$，
$\therefore ∠ AED=180°-∠ CED=72°$。
$\because CD=CA$，$∠ ACD=36°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
在$△ ADE$中，$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=36°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ACD=36°$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAD$，
$\therefore △ DAE ∽ △ CAD$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AC· AE$。
$\because ∠ AED=∠ DAE=72°$，
$\therefore AD=DE$，
又$\because DE=AB$，$CE=AB$，
$\therefore AD=AB$，$AE=AC-CE=2-AB$。
设$AB=x$，则$AD=x$，$AE=2-x$，代入得：
$x^2=2(2-x)$
整理得：$x^2+2x-4=0$
解得：$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$（边长为正，舍去）。
答：$AB$的长为$\sqrt{5}-1$。
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系，结合已知AB=BC的等腰三角形条件，计算出△ABC各内角度数，再推导旋转后等腰△ACD的内角，通过角度计算找出相等的角，证明△DAE与△CAD相似，最后将相关线段用AB的长度表示，结合相似三角形的性质列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
由旋转的性质可得：
$CD=CA=2$，$DE=AB$，$CE=CB$，$∠ ACD=36°$，$∠ CDE=∠ CAB$，$∠ CED=∠ B$。
$\because AB=BC$，
$\therefore CE=CB=AB$，$∠ BAC=∠ BCA=36°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ BAC-∠ BCA=108°$，
$\therefore ∠ CED=∠ B=108°$，
$\therefore ∠ AED=180°-∠ CED=72°$。
$\because CD=CA$，$∠ ACD=36°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
在$△ ADE$中，$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=36°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ACD=36°$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAD$，
$\therefore △ DAE ∽ △ CAD$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AC· AE$。
$\because ∠ AED=∠ DAE=72°$，
$\therefore AD=DE$，
又$\because DE=AB$，$CE=AB$，
$\therefore AD=AB$，$AE=AC-CE=2-AB$。
设$AB=x$，则$AD=x$，$AE=2-x$，代入得：
$x^2=2(2-x)$
整理得：$x^2+2x-4=0$
解得：$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$（边长为正，舍去）。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了几何性质推导与代数计算，解题核心是通过角度分析找到相似三角形，再借助方程思想求解线段长度，对学生的角度推导能力和等量关系转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系，结合已知AB=BC的等腰三角形条件，计算出△ABC各内角度数，再推导旋转后等腰△ACD的内角，通过角度计算找出相等的角，证明△DAE与△CAD相似，最后将相关线段用AB的长度表示，结合相似三角形的性质列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
由旋转的性质可得：
$CD=CA=2$，$DE=AB$，$CE=CB$，$∠ ACD=36°$，$∠ CDE=∠ CAB$，$∠ CED=∠ B$。
$\because AB=BC$，
$\therefore CE=CB=AB$，$∠ BAC=∠ BCA=36°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ BAC-∠ BCA=108°$，
$\therefore ∠ CED=∠ B=108°$，
$\therefore ∠ AED=180°-∠ CED=72°$。
$\because CD=CA$，$∠ ACD=36°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
在$△ ADE$中，$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=36°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ACD=36°$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAD$，
$\therefore △ DAE ∽ △ CAD$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AC· AE$。
$\because ∠ AED=∠ DAE=72°$，
$\therefore AD=DE$，
又$\because DE=AB$，$CE=AB$，
$\therefore AD=AB$，$AE=AC-CE=2-AB$。
设$AB=x$，则$AD=x$，$AE=2-x$，代入得：
$x^2=2(2-x)$
整理得：$x^2+2x-4=0$
解得：$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$（边长为正，舍去）。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了几何性质推导与代数计算，解题核心是通过角度分析找到相似三角形，再借助方程思想求解线段长度，对学生的角度推导能力和等量关系转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 如图,等腰直角三角形AEF的顶点E在等腰直角三角形ABC的边BC上,AB的延长线交EF于点D,其中$∠ AEF=∠ ABC=90°$.
(1) 求证: $AD · AC = \sqrt{2} AE^2$；
(2) 若E为边BC的中点,求$\frac{BD}{AD}$的值.
(1) 求证: $AD · AC = \sqrt{2} AE^2$；
(2) 若E为边BC的中点,求$\frac{BD}{AD}$的值.
答案
(1) 证明：
∵ $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 均为等腰直角三角形，$∠ AEF=∠ ABC=90°$，
∴ $∠ ABE=∠ AED=90°$，
又 $\because ∠ BAE=∠ EAD$（公共角），
∴ $△ ABE ∽ △ AED$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，即 $AE^2=AB· AD$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=BC$，由勾股定理得 $AC=\sqrt{2}AB$，即 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$，
将 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$ 代入 $AE^2=AB· AD$，得：
$AE^2=\frac{AC· AD}{\sqrt{2}}$，
整理得 $AD· AC=\sqrt{2}AE^2$，得证。
---
(2) 解：
设 $AB=a$，
∵ $△ ABC$ 是等腰直角三角形，∴ $BC=AB=a$，
∵ $E$ 为 $BC$ 中点，∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2+BE^2=a^2+(\frac{a}{2})^2=\frac{5a^2}{4}$。
由(1)中 $△ ABE ∽ △ AED$，得 $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，
∴ $AD=\frac{AE^2}{AB}=\frac{\frac{5a^2}{4}}{a}=\frac{5a}{4}$。
∵ 点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上，∴ $BD=AD-AB=\frac{5a}{4}-a=\frac{a}{4}$，
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{5a}{4}}=\frac{1}{5}$。
答：$\frac{BD}{AD}$ 的值为 $\frac{1}{5}$。
∵ $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 均为等腰直角三角形，$∠ AEF=∠ ABC=90°$，
∴ $∠ ABE=∠ AED=90°$，
又 $\because ∠ BAE=∠ EAD$（公共角），
∴ $△ ABE ∽ △ AED$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，即 $AE^2=AB· AD$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=BC$，由勾股定理得 $AC=\sqrt{2}AB$，即 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$，
将 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$ 代入 $AE^2=AB· AD$，得：
$AE^2=\frac{AC· AD}{\sqrt{2}}$，
整理得 $AD· AC=\sqrt{2}AE^2$，得证。
---
(2) 解：
设 $AB=a$，
∵ $△ ABC$ 是等腰直角三角形，∴ $BC=AB=a$，
∵ $E$ 为 $BC$ 中点，∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2+BE^2=a^2+(\frac{a}{2})^2=\frac{5a^2}{4}$。
由(1)中 $△ ABE ∽ △ AED$，得 $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，
∴ $AD=\frac{AE^2}{AB}=\frac{\frac{5a^2}{4}}{a}=\frac{5a}{4}$。
∵ 点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上，∴ $BD=AD-AB=\frac{5a}{4}-a=\frac{a}{4}$，
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{5a}{4}}=\frac{1}{5}$。
答：$\frac{BD}{AD}$ 的值为 $\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$AD · AC = \sqrt{2} AE^2$，可先结合等腰直角三角形的边的关系，将式子转化为$AE^2=AB·AD$，该形式符合相似三角形的乘积式结论。观察图形可得$∠ BAE$是$△ ABE$和$△ AED$的公共角，且两个三角形都含有直角，可先证两三角形相似得到比例式，再结合等腰直角$△ ABC$中$AC=\sqrt{2}AB$的关系，代入即可得证。
(2) 求线段比值可采用设参数法，设等腰直角三角形ABC的直角边长为$a$，先利用勾股定理求出$AE$的长度，再借助(1)中得到的相似三角形的性质求出$AD$的长度，进而求出$BD$的长度，最后计算比值即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 均为等腰直角三角形，$∠ AEF=∠ ABC=90°$，
∴ $∠ ABE=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABE=∠ AED=90°$，
又 $\because ∠ BAE=∠ EAD$（公共角），
∴ $△ ABE ∽ △ AED$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，即 $AE^2=AB· AD$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=BC$，由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB$，即 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$，
将 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$ 代入 $AE^2=AB· AD$，得：
$AE^2=\frac{AC· AD}{\sqrt{2}}$，
整理得 $AD· AC=\sqrt{2}AE^2$，原等式得证。
(2) 解：
设 $AB=a$，
∵ $△ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴ $BC=AB=a$，
∵ $E$ 为 $BC$ 中点，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2+BE^2=a^2+(\frac{a}{2})^2=\frac{5a^2}{4}$。
由(1)中 $△ ABE ∽ △ AED$，得 $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，
∴ $AD=\frac{AE^2}{AB}=\frac{\frac{5a^2}{4}}{a}=\frac{5a}{4}$。
∵ 点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上，
∴ $BD=AD-AB=\frac{5a}{4}-a=\frac{a}{4}$，
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{5a}{4}}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{1}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，第一问通过将等积式变形，结合公共角和直角找到相似三角形即可证明，第二问采用设参数的方法，结合前一问的结论可快速求出线段比值，解题时注意前后问题的关联性，合理运用已证结论能有效简化计算。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明等积式$AD · AC = \sqrt{2} AE^2$，可先结合等腰直角三角形的边的关系，将式子转化为$AE^2=AB·AD$，该形式符合相似三角形的乘积式结论。观察图形可得$∠ BAE$是$△ ABE$和$△ AED$的公共角，且两个三角形都含有直角，可先证两三角形相似得到比例式，再结合等腰直角$△ ABC$中$AC=\sqrt{2}AB$的关系，代入即可得证。
(2) 求线段比值可采用设参数法，设等腰直角三角形ABC的直角边长为$a$，先利用勾股定理求出$AE$的长度，再借助(1)中得到的相似三角形的性质求出$AD$的长度，进而求出$BD$的长度，最后计算比值即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 均为等腰直角三角形，$∠ AEF=∠ ABC=90°$，
∴ $∠ ABE=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABE=∠ AED=90°$，
又 $\because ∠ BAE=∠ EAD$（公共角），
∴ $△ ABE ∽ △ AED$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，即 $AE^2=AB· AD$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=BC$，由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB$，即 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$，
将 $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}$ 代入 $AE^2=AB· AD$，得：
$AE^2=\frac{AC· AD}{\sqrt{2}}$，
整理得 $AD· AC=\sqrt{2}AE^2$，原等式得证。
(2) 解：
设 $AB=a$，
∵ $△ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴ $BC=AB=a$，
∵ $E$ 为 $BC$ 中点，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2+BE^2=a^2+(\frac{a}{2})^2=\frac{5a^2}{4}$。
由(1)中 $△ ABE ∽ △ AED$，得 $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$，
∴ $AD=\frac{AE^2}{AB}=\frac{\frac{5a^2}{4}}{a}=\frac{5a}{4}$。
∵ 点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上，
∴ $BD=AD-AB=\frac{5a}{4}-a=\frac{a}{4}$，
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{5a}{4}}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{1}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，第一问通过将等积式变形，结合公共角和直角找到相似三角形即可证明，第二问采用设参数的方法，结合前一问的结论可快速求出线段比值，解题时注意前后问题的关联性，合理运用已证结论能有效简化计算。
【难度系数】
0.6
