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三、解答题
7. 如图，在$△ ABC$中，$BC ＞ AC$，点D在边BC上，且$DC = AC$，$∠ ACB$的平分线CF交AD于点F，E是边AB的中点，连接EF.
（1）求证：$EF // BC$；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求$△ ABD$的面积.
7. 如图，在$△ ABC$中，$BC ＞ AC$，点D在边BC上，且$DC = AC$，$∠ ACB$的平分线CF交AD于点F，E是边AB的中点，连接EF.
（1）求证：$EF // BC$；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求$△ ABD$的面积.
答案
（1）证明：
∵ $DC = AC$，$CF$平分$∠ ACB$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$F$为$AD$的中点。
又∵ $E$是边$AB$的中点，
∴ $EF$是$△ ABD$的中位线，
∴ $EF // BC$。
---
（2）解：
∵ $EF // BC$，
∴ $EF // BD$，可得$∠ AEF = ∠ B$，$∠ AFE = ∠ ADB$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABD$。
∵ $E$是$AB$的中点，
∴ $\frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABD}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
即 $S_{△ AEF} = \frac{1}{4}S_{△ ABD}$。
∵ $S_{\mathrm{四边形}BDFE} = S_{△ ABD} - S_{△ AEF} = 6$，
代入得：
$S_{△ ABD} - \frac{1}{4}S_{△ ABD} = 6$
$\frac{3}{4}S_{△ ABD} = 6$
解得 $S_{△ ABD} = 8$。
答：$△ ABD$的面积为$\boldsymbol{8}$。
∵ $DC = AC$，$CF$平分$∠ ACB$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$F$为$AD$的中点。
又∵ $E$是边$AB$的中点，
∴ $EF$是$△ ABD$的中位线，
∴ $EF // BC$。
---
（2）解：
∵ $EF // BC$，
∴ $EF // BD$，可得$∠ AEF = ∠ B$，$∠ AFE = ∠ ADB$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABD$。
∵ $E$是$AB$的中点，
∴ $\frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABD}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
即 $S_{△ AEF} = \frac{1}{4}S_{△ ABD}$。
∵ $S_{\mathrm{四边形}BDFE} = S_{△ ABD} - S_{△ AEF} = 6$，
代入得：
$S_{△ ABD} - \frac{1}{4}S_{△ ABD} = 6$
$\frac{3}{4}S_{△ ABD} = 6$
解得 $S_{△ ABD} = 8$。
答：$△ ABD$的面积为$\boldsymbol{8}$。
解析
【分析】
（1）要证明$EF // BC$，可通过证明$EF$是$△ ABD$的中位线实现：首先由$DC=AC$、$CF$平分$∠ ACB$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$F$是$AD$的中点，结合$E$是$AB$的中点，即可判定$EF$为$△ ABD$的中位线，利用中位线性质即可得到平行结论。
（2）由$EF // BC$可证$△ AEF ∽ △ ABD$，结合$E$是$AB$中点可得相似比为$1:2$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得两个三角形的面积比，再结合四边形$BDFE$的面积，即可求出$△ ABD$的面积。
【解析】
（1）证明：
$\because DC = AC$，$CF$平分$∠ ACB$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，$F$为$AD$的中点。
又$\because E$是边$AB$的中点，
$\therefore EF$是$△ ABD$的中位线，
$\therefore EF // BC$。
（2）解：
$\because EF // BC$，
$\therefore EF // BD$，可得$∠ AEF = ∠ B$，$∠ AFE = ∠ ADB$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABD$。
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore \frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABD}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
即 $S_{△ AEF} = \frac{1}{4}S_{△ ABD}$。
$\because S_{\mathrm{四边形}BDFE} = S_{△ ABD} - S_{△ AEF} = 6$，
代入得：
$S_{△ ABD} - \frac{1}{4}S_{△ ABD} = 6$
$\frac{3}{4}S_{△ ABD} = 6$
解得 $S_{△ ABD} = 8$。
【答案】
（1）$EF // BC$得证；
（2）$\boldsymbol{8}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形中位线定理、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是先利用等腰三角形性质得到中点、推导出中位线，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$EF // BC$，可通过证明$EF$是$△ ABD$的中位线实现：首先由$DC=AC$、$CF$平分$∠ ACB$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$F$是$AD$的中点，结合$E$是$AB$的中点，即可判定$EF$为$△ ABD$的中位线，利用中位线性质即可得到平行结论。
（2）由$EF // BC$可证$△ AEF ∽ △ ABD$，结合$E$是$AB$中点可得相似比为$1:2$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得两个三角形的面积比，再结合四边形$BDFE$的面积，即可求出$△ ABD$的面积。
【解析】
（1）证明：
$\because DC = AC$，$CF$平分$∠ ACB$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，$F$为$AD$的中点。
又$\because E$是边$AB$的中点，
$\therefore EF$是$△ ABD$的中位线，
$\therefore EF // BC$。
（2）解：
$\because EF // BC$，
$\therefore EF // BD$，可得$∠ AEF = ∠ B$，$∠ AFE = ∠ ADB$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABD$。
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore \frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABD}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
即 $S_{△ AEF} = \frac{1}{4}S_{△ ABD}$。
$\because S_{\mathrm{四边形}BDFE} = S_{△ ABD} - S_{△ AEF} = 6$，
代入得：
$S_{△ ABD} - \frac{1}{4}S_{△ ABD} = 6$
$\frac{3}{4}S_{△ ABD} = 6$
解得 $S_{△ ABD} = 8$。
【答案】
（1）$EF // BC$得证；
（2）$\boldsymbol{8}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形中位线定理、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是先利用等腰三角形性质得到中点、推导出中位线，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8. 如图，△AOB 是直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝2OA. 点A 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x＞0)$ 的图象上.若点B 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 的图象上，求k 的值. 
(第8题)
(第8题)答案
解：
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠BDO=∠OCA=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
又∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△BDO∽△OCA，
∴$\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}=2$。
设点A的坐标为$(a,b)$，
∵点A在$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$ab=1$，且$OC=a$，$AC=b$，
∴$BD=2OC=2a$，$OD=2AC=2b$。
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为$(-2b,2a)$，
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴$k=(-2b)· 2a=-4ab=-4×1=-4$。
答：k的值为-4。
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠BDO=∠OCA=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
又∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△BDO∽△OCA，
∴$\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}=2$。
设点A的坐标为$(a,b)$，
∵点A在$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$ab=1$，且$OC=a$，$AC=b$，
∴$BD=2OC=2a$，$OD=2AC=2b$。
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为$(-2b,2a)$，
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴$k=(-2b)· 2a=-4ab=-4×1=-4$。
答：k的值为-4。
解析
【分析】
要解决本题，需结合反比例函数的坐标特征和已知的直角、线段比例条件分析：首先，反比例函数上的点横纵坐标乘积等于比例系数，因此要先建立点B和点A的坐标关联。已知∠AOB=90°且OB=2OA，我们可以过A、B分别作x轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明两个直角三角形相似，相似比为OB:OA=2:1，就能用点A的坐标表示点B的坐标，再结合点A在$y=\frac{1}{x}$上的条件，即可求出k的值。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
$\therefore ∠ BDO=∠ OCA=90°$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ BOD+∠ AOC=90°$，
又$\because ∠ AOC+∠ OAC=90°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ OAC$，
$\therefore △ BDO ∽ △ OCA$，
$\therefore \frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}=2$。
设点A的坐标为$(a,b)$，
$\because$点A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore ab=1$，且$OC=a$，$AC=b$，
$\therefore BD=2OC=2a$，$OD=2AC=2b$。
$\because$点B在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
$\therefore$点B的坐标为$(-2b,2a)$，
$\because$点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
$\therefore k=(-2b)· 2a=-4ab=-4×1=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过作垂线构造相似三角形，利用相似性质关联两点坐标，再结合反比例函数系数k的代数意义求解，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合反比例函数的坐标特征和已知的直角、线段比例条件分析：首先，反比例函数上的点横纵坐标乘积等于比例系数，因此要先建立点B和点A的坐标关联。已知∠AOB=90°且OB=2OA，我们可以过A、B分别作x轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明两个直角三角形相似，相似比为OB:OA=2:1，就能用点A的坐标表示点B的坐标，再结合点A在$y=\frac{1}{x}$上的条件，即可求出k的值。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
$\therefore ∠ BDO=∠ OCA=90°$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ BOD+∠ AOC=90°$，
又$\because ∠ AOC+∠ OAC=90°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ OAC$，
$\therefore △ BDO ∽ △ OCA$，
$\therefore \frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}=2$。
设点A的坐标为$(a,b)$，
$\because$点A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore ab=1$，且$OC=a$，$AC=b$，
$\therefore BD=2OC=2a$，$OD=2AC=2b$。
$\because$点B在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
$\therefore$点B的坐标为$(-2b,2a)$，
$\because$点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
$\therefore k=(-2b)· 2a=-4ab=-4×1=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过作垂线构造相似三角形，利用相似性质关联两点坐标，再结合反比例函数系数k的代数意义求解，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$□ ABCD$中，AC，BD相交于点O，点E在边BC上，AE交BD于点F.
（1）若E是边BC的三等分点（靠近点B），求：
① $\frac{BF}{DF}$的值；
② $△ BEF$与$△ DAF$的面积比；
（2）当$\frac{BF}{FO}=\frac{n}{m}$时，求$\frac{BE}{EC}$的值.
（1）若E是边BC的三等分点（靠近点B），求：
① $\frac{BF}{DF}$的值；
② $△ BEF$与$△ DAF$的面积比；
（2）当$\frac{BF}{FO}=\frac{n}{m}$时，求$\frac{BE}{EC}$的值.
答案
解：
(1) ① ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$，
∴ $∠ BEF = ∠ DAF$，$∠ EBF = ∠ ADF$，
∴ $△ BEF ∽ △ DAF$，
∴ $\frac{BF}{DF} = \frac{BE}{AD}$。
∵ E是边BC的三等分点（靠近点B），
∴ $BE = \frac{1}{3}BC$，
又$AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
即 $\frac{BF}{DF} = \frac{1}{3}$。
② ∵ $△ BEF ∽ △ DAF$，相似比为 $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ BEF}}{S_{△ DAF}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB = OD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $\frac{BF}{FO} = \frac{n}{m}$，设$BF = nk$，$FO = mk$（$k≠0$），
∴ $OB = BF + FO = (n+m)k$，
∴ $BD = 2OB = 2(n+m)k$，
∴ $DF = BD - BF = 2(n+m)k - nk = (n+2m)k$。
∵ $AD// BC$，∴ $△ BEF ∽ △ DAF$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{BF}{DF} = \frac{nk}{(n+2m)k} = \frac{n}{n+2m}$。
∵ $AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{BC} = \frac{n}{n+2m}$，
设$BE = nt$，则$BC = (n+2m)t$，
∴ $EC = BC - BE = 2mt$，
∴ $\frac{BE}{EC} = \frac{nt}{2mt} = \frac{n}{2m}$。
(1) ① ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$，
∴ $∠ BEF = ∠ DAF$，$∠ EBF = ∠ ADF$，
∴ $△ BEF ∽ △ DAF$，
∴ $\frac{BF}{DF} = \frac{BE}{AD}$。
∵ E是边BC的三等分点（靠近点B），
∴ $BE = \frac{1}{3}BC$，
又$AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
即 $\frac{BF}{DF} = \frac{1}{3}$。
② ∵ $△ BEF ∽ △ DAF$，相似比为 $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ BEF}}{S_{△ DAF}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB = OD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $\frac{BF}{FO} = \frac{n}{m}$，设$BF = nk$，$FO = mk$（$k≠0$），
∴ $OB = BF + FO = (n+m)k$，
∴ $BD = 2OB = 2(n+m)k$，
∴ $DF = BD - BF = 2(n+m)k - nk = (n+2m)k$。
∵ $AD// BC$，∴ $△ BEF ∽ △ DAF$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{BF}{DF} = \frac{nk}{(n+2m)k} = \frac{n}{n+2m}$。
∵ $AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{BC} = \frac{n}{n+2m}$，
设$BE = nt$，则$BC = (n+2m)t$，
∴ $EC = BC - BE = 2mt$，
∴ $\frac{BE}{EC} = \frac{nt}{2mt} = \frac{n}{2m}$。
解析
【分析】
本题以平行四边形为背景，考查相似三角形的判定及性质的应用，解题思路如下：
（1）①首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明△BEF∽△DAF，可得对应边成比例$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{AD}$；再结合E是BC三等分点的条件，得到BE与AD的比值，即可求出$\frac{BF}{DF}$的值。
②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合①得到的相似比，直接计算两个三角形的面积比。
（2）首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合$\frac{BF}{FO}=\frac{n}{m}$的条件，设参数表示出BF、FO、OB、BD、DF的长度，再借助△BEF∽△DAF的对应边比例关系，得到BE与BC的比值，最后用BC减去BE得到EC的长度表达式，即可求出$\frac{BE}{EC}$的值。
【解析】
(1) ①
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$，
∴ $∠BEF = ∠DAF$，$∠EBF = ∠ADF$，
∴ $△BEF ∽ △DAF$，
∴ $\frac{BF}{DF} = \frac{BE}{AD}$。
∵ E是边BC的三等分点（靠近点B），
∴ $BE = \frac{1}{3}BC$，
又$AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
即 $\frac{BF}{DF} = \frac{1}{3}$。
②
∵ $△BEF ∽ △DAF$，相似比为 $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△BEF}}{S_{△DAF}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB = OD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $\frac{BF}{FO} = \frac{n}{m}$，设$BF = nk$，$FO = mk$（$k≠0$），
∴ $OB = BF + FO = (n+m)k$，
∴ $BD = 2OB = 2(n+m)k$，
∴ $DF = BD - BF = 2(n+m)k - nk = (n+2m)k$。
∵ $AD// BC$，
∴ $△BEF ∽ △DAF$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{BF}{DF} = \frac{nk}{(n+2m)k} = \frac{n}{n+2m}$。
∵ $AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{BC} = \frac{n}{n+2m}$，
设$BE = nt$，则$BC = (n+2m)t$，
∴ $EC = BC - BE = 2mt$，
∴ $\frac{BE}{EC} = \frac{nt}{2mt} = \frac{n}{2m}$。
【答案】
(1) ① $\frac{1}{3}$；② $\frac{1}{9}$；(2) $\frac{n}{2m}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，将平行四边形性质与相似的判定、性质结合考查，解题时通过平行线快速找到相似三角形是突破口，设参数表示线段长度的方法可以有效简化比例运算，帮助理清线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6
本题以平行四边形为背景，考查相似三角形的判定及性质的应用，解题思路如下：
（1）①首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明△BEF∽△DAF，可得对应边成比例$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{AD}$；再结合E是BC三等分点的条件，得到BE与AD的比值，即可求出$\frac{BF}{DF}$的值。
②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合①得到的相似比，直接计算两个三角形的面积比。
（2）首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合$\frac{BF}{FO}=\frac{n}{m}$的条件，设参数表示出BF、FO、OB、BD、DF的长度，再借助△BEF∽△DAF的对应边比例关系，得到BE与BC的比值，最后用BC减去BE得到EC的长度表达式，即可求出$\frac{BE}{EC}$的值。
【解析】
(1) ①
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$，
∴ $∠BEF = ∠DAF$，$∠EBF = ∠ADF$，
∴ $△BEF ∽ △DAF$，
∴ $\frac{BF}{DF} = \frac{BE}{AD}$。
∵ E是边BC的三等分点（靠近点B），
∴ $BE = \frac{1}{3}BC$，
又$AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
即 $\frac{BF}{DF} = \frac{1}{3}$。
②
∵ $△BEF ∽ △DAF$，相似比为 $\frac{BE}{AD} = \frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△BEF}}{S_{△DAF}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB = OD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $\frac{BF}{FO} = \frac{n}{m}$，设$BF = nk$，$FO = mk$（$k≠0$），
∴ $OB = BF + FO = (n+m)k$，
∴ $BD = 2OB = 2(n+m)k$，
∴ $DF = BD - BF = 2(n+m)k - nk = (n+2m)k$。
∵ $AD// BC$，
∴ $△BEF ∽ △DAF$，
∴ $\frac{BE}{AD} = \frac{BF}{DF} = \frac{nk}{(n+2m)k} = \frac{n}{n+2m}$。
∵ $AD = BC$，
∴ $\frac{BE}{BC} = \frac{n}{n+2m}$，
设$BE = nt$，则$BC = (n+2m)t$，
∴ $EC = BC - BE = 2mt$，
∴ $\frac{BE}{EC} = \frac{nt}{2mt} = \frac{n}{2m}$。
【答案】
(1) ① $\frac{1}{3}$；② $\frac{1}{9}$；(2) $\frac{n}{2m}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，将平行四边形性质与相似的判定、性质结合考查，解题时通过平行线快速找到相似三角形是突破口，设参数表示线段长度的方法可以有效简化比例运算，帮助理清线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6
