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一、选择题
1. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长交BC于点M，交AB的延长线于点G.若AF=2，FB=1，则MG的长为().
A.$2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$
1. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长交BC于点M，交AB的延长线于点G.若AF=2，FB=1，则MG的长为().
A.$2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先根据AF、FB的长度求出正方形的边长，再结合正方形对角线45°角的性质得到等腰直角△AEF，求出AE、EC的长度；接着利用AD//BC得到△AED∽△CEM，通过相似比求出CM、BM的长度；再利用AD//BG得到另一组相似三角形，求出BG的长度；最后在直角△GBM中用勾股定理计算MG的长度即可。
【解析】
1. 求正方形边长：
已知AF=2，FB=1，因此正方形边长$AB=AF+FB=3$，故$AD=BC=AB=3$，且$AD// BC$，$∠ ABC=∠ GBM=90°$，对角线AC与AB的夹角$∠ EAF=45°$。
2. 求AE、EC长度：
$\because EF⊥ AB$，$∠ EAF=45°$，$\therefore △ AEF$是等腰直角三角形，$EF=AF=2$，由勾股定理得$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=2\sqrt{2}$。
正方形对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=3\sqrt{2}$，因此$EC=AC-AE=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
3. 求BM长度：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ CME$，$∠ DAE=∠ MCE$，可得$△ AED∽△ CEM$，相似比为$AE:EC=2\sqrt{2}:\sqrt{2}=2:1$。
由相似性质得$AD:CM=2:1$，代入$AD=3$，解得$CM=\frac{3}{2}$，因此$BM=BC-CM=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
4. 求BG长度：
$\because AD// BG$，$\therefore ∠ ADG=∠ G$，$∠ DAG=∠ GBM=90°$，可得$△ ADG∽△ BMG$，相似比为$AD:BM=3:\frac{3}{2}=2:1$。
由相似性质得$AG:BG=2:1$，又$AG=AB+BG=3+BG$，代入得$\frac{3+BG}{BG}=2$，解得$BG=3$。
5. 计算MG：
在$Rt△ GBM$中，由勾股定理得$MG=\sqrt{BG^2+BM^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形和相似三角形结合的综合题，核心是通过平行线找到两组相似三角形，利用相似比求出未知线段长度，最后结合勾股定理得到结果，对相似的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先根据AF、FB的长度求出正方形的边长，再结合正方形对角线45°角的性质得到等腰直角△AEF，求出AE、EC的长度；接着利用AD//BC得到△AED∽△CEM，通过相似比求出CM、BM的长度；再利用AD//BG得到另一组相似三角形，求出BG的长度；最后在直角△GBM中用勾股定理计算MG的长度即可。
【解析】
1. 求正方形边长：
已知AF=2，FB=1，因此正方形边长$AB=AF+FB=3$，故$AD=BC=AB=3$，且$AD// BC$，$∠ ABC=∠ GBM=90°$，对角线AC与AB的夹角$∠ EAF=45°$。
2. 求AE、EC长度：
$\because EF⊥ AB$，$∠ EAF=45°$，$\therefore △ AEF$是等腰直角三角形，$EF=AF=2$，由勾股定理得$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=2\sqrt{2}$。
正方形对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=3\sqrt{2}$，因此$EC=AC-AE=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
3. 求BM长度：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ CME$，$∠ DAE=∠ MCE$，可得$△ AED∽△ CEM$，相似比为$AE:EC=2\sqrt{2}:\sqrt{2}=2:1$。
由相似性质得$AD:CM=2:1$，代入$AD=3$，解得$CM=\frac{3}{2}$，因此$BM=BC-CM=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
4. 求BG长度：
$\because AD// BG$，$\therefore ∠ ADG=∠ G$，$∠ DAG=∠ GBM=90°$，可得$△ ADG∽△ BMG$，相似比为$AD:BM=3:\frac{3}{2}=2:1$。
由相似性质得$AG:BG=2:1$，又$AG=AB+BG=3+BG$，代入得$\frac{3+BG}{BG}=2$，解得$BG=3$。
5. 计算MG：
在$Rt△ GBM$中，由勾股定理得$MG=\sqrt{BG^2+BM^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形和相似三角形结合的综合题，核心是通过平行线找到两组相似三角形，利用相似比求出未知线段长度，最后结合勾股定理得到结果，对相似的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$5×5$的正方形方格中，$△ ABC$的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与$△ ABC$相似的$△ DEF$，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则$△ DEF$的最大面积是().
A.5
B.10
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$\sqrt{5}$
A.5
B.10
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$\sqrt{5}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：①首先计算原△ABC的三边长，得到三边的比例，判断三角形形状，同时明确相似三角形的边长比例要求；②因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，要让△DEF的面积最大，就要让相似比尽可能大，也就是△DEF的边长尽可能大，且三个顶点都在5×5方格的格点上；③结合格点线段的长度特征，找出符合三边比例的最大格点三角形，计算其面积即可。
【解析】
设小正方形的边长为1，首先利用勾股定理计算△ABC的三边长：
短直角边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，长直角边长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，且满足$(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=(\sqrt{10})^2$，可知△ABC是直角边比为1:2的直角三角形。
与△ABC相似的△DEF也为直角边比1:2的直角三角形，要使面积最大，需取最大的符合比例的格点边长：
在5×5方格中，符合比例的最大格点三角形三边长为$\sqrt{5}$、$2\sqrt{5}$、5，三个顶点均能落在方格顶点上，此时△DEF的面积为：
$\frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 5$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；格点图形构造
【点评】
本题结合格点图形考查相似三角形的性质应用，解题核心是先确定原三角形的边长比例，再根据相似比越大面积越大的规律，找到符合条件的最大格点三角形，对图形观察和构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：①首先计算原△ABC的三边长，得到三边的比例，判断三角形形状，同时明确相似三角形的边长比例要求；②因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，要让△DEF的面积最大，就要让相似比尽可能大，也就是△DEF的边长尽可能大，且三个顶点都在5×5方格的格点上；③结合格点线段的长度特征，找出符合三边比例的最大格点三角形，计算其面积即可。
【解析】
设小正方形的边长为1，首先利用勾股定理计算△ABC的三边长：
短直角边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，长直角边长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，且满足$(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=(\sqrt{10})^2$，可知△ABC是直角边比为1:2的直角三角形。
与△ABC相似的△DEF也为直角边比1:2的直角三角形，要使面积最大，需取最大的符合比例的格点边长：
在5×5方格中，符合比例的最大格点三角形三边长为$\sqrt{5}$、$2\sqrt{5}$、5，三个顶点均能落在方格顶点上，此时△DEF的面积为：
$\frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 5$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；格点图形构造
【点评】
本题结合格点图形考查相似三角形的性质应用，解题核心是先确定原三角形的边长比例，再根据相似比越大面积越大的规律，找到符合条件的最大格点三角形，对图形观察和构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. 在$△ ABC$中，$AB＜AC＜BC$.若在边$BC$上存在一点$D$，使得沿$AD$剪开后得到的两个三角形相似，且较大三角形的面积是较小三角形面积的$2$倍，则$AB:AC:BC=(\quad)$.
A.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$1:\sqrt{3}:2$
C.$2:3:4$
D.$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$
A.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$1:\sqrt{3}:2$
C.$2:3:4$
D.$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$
答案
A
解析
【分析】
首先，沿AD剪开得到的两个三角形为△ABD和△ADC，二者相似且面积比为1:2，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可先推出相似比为$1:\sqrt{2}$。其次，找相似的对应角：∠ADB与∠ADC互补，若二者为相似对应角，则只能均为90°，即AD⊥BC，符合三角形相似的角对应要求。此时可推出∠BAD=∠C，∠DAC=∠B，进而得到∠BAC=90°，△ABC为直角三角形。最后结合相似比和勾股定理即可求出三边的比值。
【解析】
解：
∵沿AD剪开的两个三角形相似，且较大三角形面积是较小的2倍，即面积比为$1:2$，
∴两个三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{2}}=1:\sqrt{2}$。
∵∠ADB + ∠ADC=180°，且相似三角形对应角相等，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。
∴∠B + ∠BAD=90°，又
∵∠BAD + ∠DAC=∠BAC，且由相似可得∠DAC=∠B，
∴∠BAC=∠BAD + ∠B=90°，即△ABC为直角三角形，且△ABD∽△CAD。
由相似比得$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，设$AB=k$，则$AC=\sqrt{2}k$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{k^2 + (\sqrt{2}k)^2}=\sqrt{3}k$，
∴$AB:AC:BC=k:\sqrt{2}k:\sqrt{3}k=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题解题的核心是准确判断相似三角形的对应关系，利用互补的对应角只能为直角推出原三角形是直角三角形，再结合相似比和勾股定理求解，易错点是相似对应角找错导致推导错误。
【难度系数】
0.6
首先，沿AD剪开得到的两个三角形为△ABD和△ADC，二者相似且面积比为1:2，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可先推出相似比为$1:\sqrt{2}$。其次，找相似的对应角：∠ADB与∠ADC互补，若二者为相似对应角，则只能均为90°，即AD⊥BC，符合三角形相似的角对应要求。此时可推出∠BAD=∠C，∠DAC=∠B，进而得到∠BAC=90°，△ABC为直角三角形。最后结合相似比和勾股定理即可求出三边的比值。
【解析】
解：
∵沿AD剪开的两个三角形相似，且较大三角形面积是较小的2倍，即面积比为$1:2$，
∴两个三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{2}}=1:\sqrt{2}$。
∵∠ADB + ∠ADC=180°，且相似三角形对应角相等，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。
∴∠B + ∠BAD=90°，又
∵∠BAD + ∠DAC=∠BAC，且由相似可得∠DAC=∠B，
∴∠BAC=∠BAD + ∠B=90°，即△ABC为直角三角形，且△ABD∽△CAD。
由相似比得$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，设$AB=k$，则$AC=\sqrt{2}k$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{k^2 + (\sqrt{2}k)^2}=\sqrt{3}k$，
∴$AB:AC:BC=k:\sqrt{2}k:\sqrt{3}k=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题解题的核心是准确判断相似三角形的对应关系，利用互补的对应角只能为直角推出原三角形是直角三角形，再结合相似比和勾股定理求解，易错点是相似对应角找错导致推导错误。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 如图,在一块长为8、宽为$2\sqrt{3}$的矩形中,恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角形的顶点都在矩形的边上.其中面积最小的直角三角形的较短直角边长是.
4. 如图,在一块长为8、宽为$2\sqrt{3}$的矩形中,恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角形的顶点都在矩形的边上.其中面积最小的直角三角形的较短直角边长是.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
题目中三个直角三角形形状相同，说明三者两两相似，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解。首先设面积最小的直角三角形较短直角边长为$x$，先明确：最小三角形的较长直角边等于矩形的宽$2\sqrt{3}$，根据相似比可表示出相邻的较大三角形的较长直角边长，再结合矩形的长等于最小三角形较短直角边加该较大三角形的较长直角边列方程，最后根据短直角边的长度限制舍去不合题意的解即可。
【解析】
解：设面积最小的直角三角形的较短直角边长为$ x $。
∵ 三个直角三角形形状相同，
∴ 三个三角形两两相似，对应边成比例。
由题意得，最小直角三角形的较长直角边长等于矩形的宽$2\sqrt{3}$，则该组相似三角形的短直角边与长直角边的比值为$\frac{x}{2\sqrt{3}}$。
相邻的较大直角三角形的较短直角边长等于最小三角形的较长直角边长$2\sqrt{3}$，设它的较长直角边长为$y$，根据相似比可得：
$\frac{2\sqrt{3}}{y}=\frac{x}{2\sqrt{3}}$，解得$y=\frac{12}{x}$。
结合矩形的长为8，可得：
$x+\frac{12}{x}=8$
两边同乘$x$整理得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$。
∵$x$是最小直角三角形的较短直角边，需小于其较长直角边$2\sqrt{3}\approx3.464$，
∴$x=6$不符合题意，舍去。
故$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，解一元二次方程，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何图形中的实际应用，解题关键是结合图形找到相似三角形的对应边关系，再依托矩形边长建立方程求解，注意最后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.65
题目中三个直角三角形形状相同，说明三者两两相似，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解。首先设面积最小的直角三角形较短直角边长为$x$，先明确：最小三角形的较长直角边等于矩形的宽$2\sqrt{3}$，根据相似比可表示出相邻的较大三角形的较长直角边长，再结合矩形的长等于最小三角形较短直角边加该较大三角形的较长直角边列方程，最后根据短直角边的长度限制舍去不合题意的解即可。
【解析】
解：设面积最小的直角三角形的较短直角边长为$ x $。
∵ 三个直角三角形形状相同，
∴ 三个三角形两两相似，对应边成比例。
由题意得，最小直角三角形的较长直角边长等于矩形的宽$2\sqrt{3}$，则该组相似三角形的短直角边与长直角边的比值为$\frac{x}{2\sqrt{3}}$。
相邻的较大直角三角形的较短直角边长等于最小三角形的较长直角边长$2\sqrt{3}$，设它的较长直角边长为$y$，根据相似比可得：
$\frac{2\sqrt{3}}{y}=\frac{x}{2\sqrt{3}}$，解得$y=\frac{12}{x}$。
结合矩形的长为8，可得：
$x+\frac{12}{x}=8$
两边同乘$x$整理得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$。
∵$x$是最小直角三角形的较短直角边，需小于其较长直角边$2\sqrt{3}\approx3.464$，
∴$x=6$不符合题意，舍去。
故$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，解一元二次方程，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何图形中的实际应用，解题关键是结合图形找到相似三角形的对应边关系，再依托矩形边长建立方程求解，注意最后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.65
5. 如图(1)，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90$，$AB=8$，$BC=6$，$D$是边$AB$上一点，且$AD=2$，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$.将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转到图(2)的位置，则图(2)中$\dfrac{BD}{CE}$的值为________.
答案
$\boldsymbol{\dfrac{4}{5}}$
解析
【分析】
首先可通过勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度；再由DE//BC得到△ADE∽△ABC，推出对应边成比例、对应角相等的结论；结合旋转的性质可推出∠BAD=∠CAE，将边的比例式变形后可得到△ABD和△ACE满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定条件，证明两三角形相似后，即可根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{BD}{CE}$的比值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且$∠ DAE=∠ BAC$。
由旋转的性质可知$∠ DAE=∠ BAC$始终成立，
∴$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
由$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$变形得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$∠ BAD=∠ CAE$，
∴$△ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转与相似结合的典型几何题，解题的关键是通过角的等量代换找到相等的夹角，结合边的比例关系证明三角形相似，对基础的几何推理能力有一定考查，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
首先可通过勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度；再由DE//BC得到△ADE∽△ABC，推出对应边成比例、对应角相等的结论；结合旋转的性质可推出∠BAD=∠CAE，将边的比例式变形后可得到△ABD和△ACE满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定条件，证明两三角形相似后，即可根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{BD}{CE}$的比值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且$∠ DAE=∠ BAC$。
由旋转的性质可知$∠ DAE=∠ BAC$始终成立，
∴$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
由$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$变形得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$∠ BAD=∠ CAE$，
∴$△ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转与相似结合的典型几何题，解题的关键是通过角的等量代换找到相等的夹角，结合边的比例关系证明三角形相似，对基础的几何推理能力有一定考查，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
