一、选择题
1. 球的正投影是().

A.圆盘
B.椭圆
C.点
D.圆环

A

【分析】
首先回忆正投影的定义：正投影属于平行投影，是投影线垂直于投影面时产生的投影。接下来分析球的投影特征：球是三维曲面几何体，当进行正投影时，投影线垂直于投影面，球的所有点在投影面上的投影会组成一个和球直径相等的圆形平面，也就是圆盘。再逐一排除错误选项：斜投影（投影线不垂直投影面）时球的投影才是椭圆，排除B；球的投影不可能是点，排除C；圆环是空心圆形，不符合球的投影结果，排除D，即可确定正确选项。
【解析】
正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，球体的正投影是与球体直径相等的圆形平面，即圆盘。
选项B是球的斜投影结果，选项C不符合球的投影特征，选项D的圆环为空心结构，与球的投影结果不符，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正投影的定义 2.几何体的正投影
【点评】
本题考查正投影的基础概念，只要区分开正投影和斜投影的差异，熟记常见几何体的正投影特征就能正确解答。
【难度系数】
0.9

2. 正方形在阳光下的正投影一定是().

A.正方形
B.平行四边形或一条线段
C.矩形
D.菱形

B

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正投影的定义，再结合平面图形正投影的规律分情况讨论：正投影是投影线垂直于投影面的投影，平面图形的正投影形状由平面与投影面的位置关系决定。我们可以分三种位置分析正方形的投影：一是正方形平面平行于投影面，二是正方形平面倾斜于投影面，三是正方形平面垂直于投影面，分别得出对应投影的形状后，再匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
解：正投影是指投影线垂直于投影面的投影，正方形属于平面图形，分以下三种情况讨论其正投影：
1. 当正方形所在平面与投影面平行时，正投影为与原正方形全等的正方形，属于平行四边形；
2. 当正方形所在平面与投影面倾斜（既不平行也不垂直）时，正投影为一般的平行四边形；
3. 当正方形所在平面与投影面垂直时，正方形的所有点投影后共线，正投影为一条线段。
综上，正方形在阳光下的正投影一定是平行四边形或一条线段，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正投影的定义
2. 平面图形的正投影规律
【点评】
本题主要考查正投影的性质，解题的关键是要全面考虑平面图形与投影面的三种位置关系，不要遗漏平面垂直于投影面时投影为线段的特殊情况。
【难度系数】
0.7

3. 一根笔直的小木棒AB，正投影为线段CD，则下列各式一定成立的是（）.

A.$AB=CD$
B.$AB≤ CD$
C.$AB＞CD$
D.$AB≥ CD$

D

【分析】
要判断线段AB和它的正投影CD的长度关系，首先需结合正投影的性质，分小木棒AB与投影面的三种位置情况分析：①AB平行于投影面；②AB倾斜于投影面；③AB垂直于投影面，分别得出每种情况的长度关系后再总结共性，即可确定正确选项。
【解析】
根据正投影的定义和性质，分三种情况讨论：
1. 当线段AB平行于投影面时，线段的正投影长度与原线段长度相等，即$AB=CD$；
2. 当线段AB倾斜于投影面时，线段的正投影长度小于原线段长度，即$AB＞CD$；
3. 当线段AB垂直于投影面时，线段的正投影是一个点，长度为0，此时$AB＞CD$。
综合以上三种情况可得：$AB≥ CD$，因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质；线段正投影规律
【点评】
本题主要考查正投影相关规律的应用，解题的核心是分类讨论线段与投影面的不同位置关系，避免因只考虑平行的情况误选A，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8

二、填空题
4. 如图，△ABC的边AB处于水平位置，投射线竖直向下，CD⊥BA于点D，那么线段BC在直线AB上的正投影是，线段AC在直线AB上的正投影是，线段CD在直线AB上的正投影是。

解：
根据正投影的定义，投射线竖直向下，$CD ⊥ BA$，点$C$在直线$AB$上的正投影为点$D$，点$A$、点$B$在直线$AB$上的正投影分别为自身，因此：
线段$BC$在直线$AB$上的正投影是$\boldsymbol{BD}$（线段$BD$），
线段$AC$在直线$AB$上的正投影是$\boldsymbol{AD}$（线段$AD$），
线段$CD$在直线$AB$上的正投影是$\boldsymbol{点D}$。

【分析】
解题时首先回忆正投影的定义：投射线垂直于投影面（本题中投影所在直线为AB，投射线竖直向下且与AB垂直，符合正投影的条件）。思考步骤如下：第一步明确点在直线上的正投影规律：若点在直线上，正投影为点本身；若点不在直线上，正投影为过该点向直线作垂线的垂足。第二步明确线段的正投影规律：线段的正投影为线段两个端点的正投影的连线，若两端点投影重合则为一个点。第三步依次找到各线段端点的正投影，即可推导出对应线段的正投影。
【解析】
根据正投影的定义，投射线竖直向下且垂直于直线AB，已知CD⊥BA于点D：
1. 点A、点B在直线AB上，因此它们在AB上的正投影为自身；点C不在AB上，过C向AB作垂线的垂足为D，因此点C在AB上的正投影为点D。
2. 线段BC的两个端点B、C的正投影分别为B、D，因此线段BC在AB上的正投影是线段BD。
3. 线段AC的两个端点A、C的正投影分别为A、D，因此线段AC在AB上的正投影是线段AD。
4. 线段CD的两个端点C、D的正投影均为D，两端点投影重合，因此线段CD在AB上的正投影是点D。
【答案】
线段BD；线段AD；点D
【知识点】
正投影的定义；点的正投影；线段的正投影
【点评】
本题是投影部分的基础题型，考查对正投影核心概念的掌握，解题关键是先准确定位各端点的投影，再推导线段的投影，掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9

5.如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影的形状是.

解：根据正投影的性质，沿图示投影线方向照射竖直放置的圆柱体时，圆柱体的上下两个圆形底面的正投影为两条互相平行的等长线段，圆柱侧面的正投影与这两条线段共同围成封闭的矩形。
答：矩形。

【分析】
解决本题可按三步推导：首先回忆正投影的基本性质，投影线垂直于投影面的平行投影为正投影；其次明确圆柱体的结构与投影方向，本题中圆柱体竖直放置，投影线水平正对圆柱侧面；最后拆分分析各部分的投影：上下两个水平的圆形底面与投影线平行，正投影为两条互相平行的等长线段，圆柱侧面的最外侧母线投影为连接上述线段端点的垂直线段，拼接后即可得到完整的正投影形状。
【解析】
根据正投影的性质，沿图示投影线方向照射竖直放置的圆柱体时，圆柱体的上下两个圆形底面的正投影为两条互相平行的等长线段，圆柱侧面的正投影与这两条线段共同围成封闭的矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
正投影的性质；几何体正投影判断
【点评】
本题考查正投影规律的应用，解题时需结合几何体的结构特征拆分分析各部分的投影，注意区分不同投影方向下圆柱投影的形状差异，避免误判为圆形或椭圆形。
【难度系数】
0.8

6. 一正六边形的面积为$S$，它的正投影的面积为$S'$，则$S$ $S'$.(填“$≥$”“$≤$”或“$=$”)

$≥$

【分析】
解题时首先明确正六边形属于平面图形，结合正投影的性质分情况讨论平面与投影面的位置关系即可推导面积关系：第一步先回忆平面图形正投影的规律，当平面与投影面平行时，正投影与原图形全等，面积相等；第二步思考平面与投影面不平行的情况，此时正投影会发生形变，面积小于原图形面积，垂直于投影面时投影为线段，面积为0；综合两种情况即可得出S和S'的大小关系。
【解析】
我们分两种情况讨论正六边形的正投影：
1. 当正六边形所在平面与投影面平行时，正投影与正六边形全等，此时$S'=S$；
2. 当正六边形所在平面与投影面不平行时，正投影是正六边形的变形（倾斜时为缩小的六边形，垂直时为线段），此时投影面积$S'＜S$。
综上可得，$S≥ S'$。
【答案】
$≥$
【知识点】
正投影的性质；平面图形投影规律
【点评】
本题考查正投影相关基础概念，解题的关键是全面考虑平面图形与投影面的不同位置关系，不要遗漏平行时面积相等的特殊情况，属于对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8

三、解答题
7. 已知细木棒AB在投影面H上的正投影为$A_1B_1$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$.
（1）如图(1)，若AB平行于投影面H，求$A_1B_1$的长；
（2）如图(2)，若AB所在直线与投影面H的夹角为$30°$，求$A_1B_1$的长.

解：
(1) 当AB平行于投影面H时，根据正投影的性质，平行于投影面的线段的正投影与原线段长度相等，
∴ $A_1B_1 = AB = 8\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点A作$AC // A_1B_1$，交$BB_1$于点C，
由正投影的定义可知$AA_1 ⊥ H$，$BB_1 ⊥ H$，因此$AA_1 // BB_1$，
可得四边形$AA_1B_1C$是矩形，∴ $AC = A_1B_1$。
由题意知AB与投影面H的夹角为$30°$，即$∠ BAC = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$AC = AB · \cos30° = 8 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $A_1B_1 = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
答：(1) $A_1B_1$的长为$8\ \mathrm{cm}$；(2) $A_1B_1$的长为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。

【分析】
（1）第一问可直接依据正投影的性质求解：当线段平行于投影面时，其正投影长度与原线段长度相等，代入AB的长度即可得到$A_1B_1$的长。
（2）第二问需构造辅助线转化为直角三角形问题求解：先过点A作$AC // A_1B_1$交$BB_1$于点C，结合正投影的定义可证明四边形$AA_1B_1C$是矩形，得到$AC=A_1B_1$；再根据AB与投影面的夹角为$30°$，可知$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=30°$，利用余弦三角函数求出AC的长度，即为$A_1B_1$的长度。
【解析】
（1）当AB平行于投影面H时，根据正投影的性质：平行于投影面的线段的正投影与原线段长度相等，
∴ $A_1B_1 = AB = 8\ \mathrm{cm}$。
（2）过点A作$AC // A_1B_1$，交$BB_1$于点C，
由正投影的定义可知$AA_1 ⊥ H$，$BB_1 ⊥ H$，因此$AA_1 // BB_1$，
结合$AC // A_1B_1$，可得四边形$AA_1B_1C$是矩形，
∴ $AC = A_1B_1$。
由题意知AB与投影面H的夹角为$30°$，即$∠ BAC = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$AC = AB · \cos30° = 8 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $A_1B_1 = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
正投影的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题属于投影相关的基础题型，解题核心是熟练掌握不同位置下线段正投影的特征，当线段倾斜于投影面时，通过构造直角三角形将投影长度转化为三角函数问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.8