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8. 如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱. AB 的长为 5 m，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC 的长为 3 m. 若同时测得 DE 在阳光下的投影长为 6 m，求 DE 的长. 
答案
解：
连接AC，设DE在阳光下的投影为EF，EF=6m，连接DF。
由题意得：AB⊥BC，DE⊥EF，
∵ 同一时刻的太阳光线互相平行，∴ AC//DF，
∴ ∠ACB=∠DFE，
又∵ ∠ABC=∠DEF=90°，
∴ △ABC∽△DEF，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，
将AB=5m，BC=3m，EF=6m代入得：
$\frac{5}{DE}=\frac{3}{6}$，
解得DE=10 m。
答：DE的长为10 m。
连接AC，设DE在阳光下的投影为EF，EF=6m，连接DF。
由题意得：AB⊥BC，DE⊥EF，
∵ 同一时刻的太阳光线互相平行，∴ AC//DF，
∴ ∠ACB=∠DFE，
又∵ ∠ABC=∠DEF=90°，
∴ △ABC∽△DEF，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，
将AB=5m，BC=3m，EF=6m代入得：
$\frac{5}{DE}=\frac{3}{6}$，
解得DE=10 m。
答：DE的长为10 m。
解析
【分析】
这是平行投影的实际应用题，解题思路如下：首先回忆平行投影的性质，同一时刻太阳光线互相平行；两根立柱都垂直于地面，因此立柱和各自的投影可分别构成直角三角形，结合平行光线的性质可证明两个直角三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可计算出DE的长度。
【解析】
连接AC，设DE在阳光下的投影为EF，EF=6m，连接DF。
由题意得：AB⊥BC，DE⊥EF，
∵ 同一时刻的太阳光线互相平行，
∴ AC//DF，
∴ ∠ACB=∠DFE，
又
∵ ∠ABC=∠DEF=90°，
∴ △ABC∽△DEF，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，
将AB=5m，BC=3m，EF=6m代入得：
$\frac{5}{DE}=\frac{3}{6}$，
解得DE=10 m。
【答案】
10 m
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是结合生活实际的基础应用题，解题核心是利用平行投影的性质得到相似三角形，再通过相似三角形的边的比例关系求解，能很好地考查学生将知识点应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.8
这是平行投影的实际应用题，解题思路如下：首先回忆平行投影的性质，同一时刻太阳光线互相平行；两根立柱都垂直于地面，因此立柱和各自的投影可分别构成直角三角形，结合平行光线的性质可证明两个直角三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可计算出DE的长度。
【解析】
连接AC，设DE在阳光下的投影为EF，EF=6m，连接DF。
由题意得：AB⊥BC，DE⊥EF，
∵ 同一时刻的太阳光线互相平行，
∴ AC//DF，
∴ ∠ACB=∠DFE，
又
∵ ∠ABC=∠DEF=90°，
∴ △ABC∽△DEF，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，
将AB=5m，BC=3m，EF=6m代入得：
$\frac{5}{DE}=\frac{3}{6}$，
解得DE=10 m。
【答案】
10 m
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是结合生活实际的基础应用题，解题核心是利用平行投影的性质得到相似三角形，再通过相似三角形的边的比例关系求解，能很好地考查学生将知识点应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.8
9. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB // CD，AB=2 m，CD=4 m，点P到CD的距离是3 m.求点P到AB的距离.
答案
解：∵ $AB // CD$，
∴ $△ PAB ∽ △ PCD$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于对应边的比。
设点$P$到$AB$的距离为$x\ \mathrm{m}$，
则 $\frac{AB}{CD} = \frac{x}{3}$，
代入$AB=2\ \mathrm{m}$，$CD=4\ \mathrm{m}$，得 $\frac{2}{4} = \frac{x}{3}$，
解得 $x=1.5$。
答：点$P$到$AB$的距离为$1.5\ \mathrm{m}$。
∴ $△ PAB ∽ △ PCD$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于对应边的比。
设点$P$到$AB$的距离为$x\ \mathrm{m}$，
则 $\frac{AB}{CD} = \frac{x}{3}$，
代入$AB=2\ \mathrm{m}$，$CD=4\ \mathrm{m}$，得 $\frac{2}{4} = \frac{x}{3}$，
解得 $x=1.5$。
答：点$P$到$AB$的距离为$1.5\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这是一道结合中心投影的几何求解问题，解题思路如下：首先，由AB平行CD，结合公共角∠P，可判定△PAB与△PCD相似；其次，回忆相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的比，本题中点P到AB的距离是△PAB的高，点P到CD的距离是△PCD的高，二者为相似三角形的对应高；最后设P到AB的距离为未知数，根据相似比列方程求解即可。
【解析】
解：
∵ $AB // CD$，
∴ $△ PAB ∽ △ PCD$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于对应边的比。
设点$P$到$AB$的距离为$x\ \mathrm{m}$，
则 $\frac{AB}{CD} = \frac{x}{3}$，
代入$AB=2\ \mathrm{m}$，$CD=4\ \mathrm{m}$，得 $\frac{2}{4} = \frac{x}{3}$，
解得 $x=1.5$。
【答案】
点P到AB的距离为$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、中心投影
【点评】
这是相似三角形在投影问题中的典型基础应用题，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边与对应高的比例关系，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道结合中心投影的几何求解问题，解题思路如下：首先，由AB平行CD，结合公共角∠P，可判定△PAB与△PCD相似；其次，回忆相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的比，本题中点P到AB的距离是△PAB的高，点P到CD的距离是△PCD的高，二者为相似三角形的对应高；最后设P到AB的距离为未知数，根据相似比列方程求解即可。
【解析】
解：
∵ $AB // CD$，
∴ $△ PAB ∽ △ PCD$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于对应边的比。
设点$P$到$AB$的距离为$x\ \mathrm{m}$，
则 $\frac{AB}{CD} = \frac{x}{3}$，
代入$AB=2\ \mathrm{m}$，$CD=4\ \mathrm{m}$，得 $\frac{2}{4} = \frac{x}{3}$，
解得 $x=1.5$。
【答案】
点P到AB的距离为$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、中心投影
【点评】
这是相似三角形在投影问题中的典型基础应用题，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边与对应高的比例关系，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树.数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次测量时阳光光线与地面所成角度为$60°$，第二次测量时阳光光线与地面所成角度为$30°$，两次测得的影长相差8 m.求树高AB.
答案
解：由题意知，$AB ⊥ BC$，即$∠ ABD = ∠ ABC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 60°$，
$\because \tan∠ ADB = \frac{AB}{BD}$，
$\therefore BD = \frac{AB}{\tan60°} = \frac{AB}{\sqrt{3}}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 30°$，
$\because \tan∠ C = \frac{AB}{BC}$，
$\therefore BC = \frac{AB}{\tan30°} = \sqrt{3}AB$。
由题意得 $BC - BD = 8\ \mathrm{m}$，代入得：
$\sqrt{3}AB - \frac{AB}{\sqrt{3}} = 8$
整理得：$\frac{2AB}{\sqrt{3}} = 8$，
解得 $AB = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：树高$AB$为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 60°$，
$\because \tan∠ ADB = \frac{AB}{BD}$，
$\therefore BD = \frac{AB}{\tan60°} = \frac{AB}{\sqrt{3}}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 30°$，
$\because \tan∠ C = \frac{AB}{BC}$，
$\therefore BC = \frac{AB}{\tan30°} = \sqrt{3}AB$。
由题意得 $BC - BD = 8\ \mathrm{m}$，代入得：
$\sqrt{3}AB - \frac{AB}{\sqrt{3}} = 8$
整理得：$\frac{2AB}{\sqrt{3}} = 8$，
解得 $AB = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：树高$AB$为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这是一道结合投影场景的解直角三角形实际应用题，解题时首先明确树AB与地面垂直，可得到两个共享直角边AB的直角三角形。我们将树高AB设为未知量，利用锐角三角函数中的正切分别表示出两次测量的影长BD和BC，再根据两次影长相差8m的等量关系列方程，即可求解出树高AB。
【解析】
解：由题意知，$AB ⊥ BC$，即$∠ ABD = ∠ ABC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 60°$，
$\because \tan∠ ADB = \frac{AB}{BD}$，
$\therefore BD = \frac{AB}{\tan60°} = \frac{AB}{\sqrt{3}}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 30°$，
$\because \tan∠ C = \frac{AB}{BC}$，
$\therefore BC = \frac{AB}{\tan30°} = \sqrt{3}AB$。
由题意得 $BC - BD = 8\ \mathrm{m}$，代入得：
$\sqrt{3}AB - \frac{AB}{\sqrt{3}} = 8$
整理得：$\frac{2AB}{\sqrt{3}} = 8$，
解得 $AB = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：树高$AB$为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形，正切函数，投影应用
【点评】
本题属于三角函数应用的基础题型，解题切入点是将实际投影问题转化为直角三角形问题，通过公共直角边建立两个直角三角形的边长联系，结合已知等量关系列方程求解即可，解题需熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
这是一道结合投影场景的解直角三角形实际应用题，解题时首先明确树AB与地面垂直，可得到两个共享直角边AB的直角三角形。我们将树高AB设为未知量，利用锐角三角函数中的正切分别表示出两次测量的影长BD和BC，再根据两次影长相差8m的等量关系列方程，即可求解出树高AB。
【解析】
解：由题意知，$AB ⊥ BC$，即$∠ ABD = ∠ ABC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 60°$，
$\because \tan∠ ADB = \frac{AB}{BD}$，
$\therefore BD = \frac{AB}{\tan60°} = \frac{AB}{\sqrt{3}}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 30°$，
$\because \tan∠ C = \frac{AB}{BC}$，
$\therefore BC = \frac{AB}{\tan30°} = \sqrt{3}AB$。
由题意得 $BC - BD = 8\ \mathrm{m}$，代入得：
$\sqrt{3}AB - \frac{AB}{\sqrt{3}} = 8$
整理得：$\frac{2AB}{\sqrt{3}} = 8$，
解得 $AB = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：树高$AB$为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形，正切函数，投影应用
【点评】
本题属于三角函数应用的基础题型，解题切入点是将实际投影问题转化为直角三角形问题，通过公共直角边建立两个直角三角形的边长联系，结合已知等量关系列方程求解即可，解题需熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
