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1. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流$ I $（单位：A）与电阻$ R $（单位：Ω）成反比例，其函数图象如图所示，当$ R=10\ \Omega $时，电流$ I $是().
A.3 A
B.4 A
C.3.2 A
D.3.6 A
A.3 A
B.4 A
C.3.2 A
D.3.6 A
答案
D
解析
【分析】
首先根据电流$I$与电阻$R$成反比例的关系，可设反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$），接下来利用函数图象上的已知点$M(4,9)$，代入解析式求出定值$k$，得到完整的函数解析式后，再将$R=10\ \Omega$代入解析式，即可求出对应的电流$I$的值，选出正确选项。
【解析】
解：
∵ 电流$I$与电阻$R$成反比例，
∴ 设反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k$为常数，$k≠0$）。
∵ 函数图象过点$M(4,9)$，即当$R=4\ \Omega$时，$I=9\ \mathrm{A}$，
将其代入解析式得：$9=\frac{k}{4}$，
解得：$k=4×9=36$，
∴ 反比例函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
当$R=10\ \Omega$时，代入解析式得：$I=\frac{36}{10}=3.6\ \mathrm{A}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的简单实际应用问题，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数解析式，再代入自变量的值求对应的函数值，题目结合了电学基础常识，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.85
首先根据电流$I$与电阻$R$成反比例的关系，可设反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$），接下来利用函数图象上的已知点$M(4,9)$，代入解析式求出定值$k$，得到完整的函数解析式后，再将$R=10\ \Omega$代入解析式，即可求出对应的电流$I$的值，选出正确选项。
【解析】
解：
∵ 电流$I$与电阻$R$成反比例，
∴ 设反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k$为常数，$k≠0$）。
∵ 函数图象过点$M(4,9)$，即当$R=4\ \Omega$时，$I=9\ \mathrm{A}$，
将其代入解析式得：$9=\frac{k}{4}$，
解得：$k=4×9=36$，
∴ 反比例函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
当$R=10\ \Omega$时，代入解析式得：$I=\frac{36}{10}=3.6\ \mathrm{A}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的简单实际应用问题，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数解析式，再代入自变量的值求对应的函数值，题目结合了电学基础常识，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.85
2. 为做好校园卫生工作，学校对教室进行喷雾消毒，如图，已知喷雾时教室内每立方米空气的含药量 $ y $ 与时间 $ x $ 成正比例，喷完后 $ y $ 与 $ x $ 成反比例，当每立方米空气的含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是()。
A.每立方米空气中含药量从6 mg上升到8 mg需要2 min
B.每立方米空气的含药量下降过程中，$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y=\dfrac{20}{x} $
C.为了确保对人体无毒害作用，喷完20 min后学生才能进入教室
D.每立方米空气的含药量不低于4 mg的持续时间为7.5 min
A.每立方米空气中含药量从6 mg上升到8 mg需要2 min
B.每立方米空气的含药量下降过程中，$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y=\dfrac{20}{x} $
C.为了确保对人体无毒害作用，喷完20 min后学生才能进入教室
D.每立方米空气的含药量不低于4 mg的持续时间为7.5 min
答案
D
解析
【分析】
本题是正比例函数与反比例函数结合的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知含药量变化分两个阶段：0~5min喷雾阶段，y与x成正比例；喷完后x≥5的阶段，y与x成反比例。第一步先代入已知点(5,8)分别求出两个阶段的函数解析式，第二步再结合每个选项的要求代入解析式计算，逐一判断选项正误即可。
【解析】
首先求两个阶段的函数解析式：
1. 当$0≤ x≤5$时，设正比例函数解析式为$y=k_1x$，将点$(5,8)$代入得：
$8=5k_1$，解得$k_1=\frac{8}{5}$，即$y=\frac{8}{5}x$。
2. 当$x≥5$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将点$(5,8)$代入得：
$8=\frac{k_2}{5}$，解得$k_2=40$，即$y=\frac{40}{x}$。
接下来逐一判断选项：
选项A：令$y=6$，代入$y=\frac{8}{5}x$得$6=\frac{8}{5}x$，解得$x=3.75\mathrm{min}$，上升到8mg的时间是5min，所需时间为$5-3.75=1.25\mathrm{min}≠2\mathrm{min}$，A错误。
选项B：下降阶段$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{40}{x}$，不是$y=\frac{20}{x}$，B错误。
选项C：令$y=1.6$，代入$y=\frac{40}{x}$得$1.6=\frac{40}{x}$，解得$x=25\mathrm{min}$，即消毒开始25min后含药量才低于1.6mg，喷完是$x=5\mathrm{min}$，喷完20min时含药量刚好为1.6mg，未达到无害标准，C错误。
选项D：求含药量不低于4mg的持续时间，即$y≥4$的时长：
上升阶段令$y=4$，代入$y=\frac{8}{5}x$得$x=2.5\mathrm{min}$；
下降阶段令$y=4$，代入$y=\frac{40}{x}$得$x=10\mathrm{min}$；
持续时间为$10-2.5=7.5\mathrm{min}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，函数图像实际应用
【点评】
本题结合消毒的生活场景考查正反比例函数的综合应用，解题核心是先根据已知点求出两段函数的解析式，再结合问题代入数值计算，需要注意临界值的取值判断，避免掉入易错选项的陷阱。
【难度系数】
0.7
本题是正比例函数与反比例函数结合的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知含药量变化分两个阶段：0~5min喷雾阶段，y与x成正比例；喷完后x≥5的阶段，y与x成反比例。第一步先代入已知点(5,8)分别求出两个阶段的函数解析式，第二步再结合每个选项的要求代入解析式计算，逐一判断选项正误即可。
【解析】
首先求两个阶段的函数解析式：
1. 当$0≤ x≤5$时，设正比例函数解析式为$y=k_1x$，将点$(5,8)$代入得：
$8=5k_1$，解得$k_1=\frac{8}{5}$，即$y=\frac{8}{5}x$。
2. 当$x≥5$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将点$(5,8)$代入得：
$8=\frac{k_2}{5}$，解得$k_2=40$，即$y=\frac{40}{x}$。
接下来逐一判断选项：
选项A：令$y=6$，代入$y=\frac{8}{5}x$得$6=\frac{8}{5}x$，解得$x=3.75\mathrm{min}$，上升到8mg的时间是5min，所需时间为$5-3.75=1.25\mathrm{min}≠2\mathrm{min}$，A错误。
选项B：下降阶段$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{40}{x}$，不是$y=\frac{20}{x}$，B错误。
选项C：令$y=1.6$，代入$y=\frac{40}{x}$得$1.6=\frac{40}{x}$，解得$x=25\mathrm{min}$，即消毒开始25min后含药量才低于1.6mg，喷完是$x=5\mathrm{min}$，喷完20min时含药量刚好为1.6mg，未达到无害标准，C错误。
选项D：求含药量不低于4mg的持续时间，即$y≥4$的时长：
上升阶段令$y=4$，代入$y=\frac{8}{5}x$得$x=2.5\mathrm{min}$；
下降阶段令$y=4$，代入$y=\frac{40}{x}$得$x=10\mathrm{min}$；
持续时间为$10-2.5=7.5\mathrm{min}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，函数图像实际应用
【点评】
本题结合消毒的生活场景考查正反比例函数的综合应用，解题核心是先根据已知点求出两段函数的解析式，再结合问题代入数值计算，需要注意临界值的取值判断，避免掉入易错选项的陷阱。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在BC边上运动,连接DP,过点A作AE⊥DP,垂足为点E,设DP=x,AE=y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是(). 
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要寻找y与x的等量关系，已知AE⊥DP，AE是DP边上的高，可结合三角形面积建立关系：观察图形可知△ADP的面积固定，等于矩形ABCD面积的一半，不随点P的运动变化。接下来用两种方式表示△ADP的面积，即可列出x与y的等式，整理得到函数解析式；再结合点P的运动范围确定x的取值区间，就能判断对应的函数图象。
【解析】
连接AP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴$S_{矩形ABCD}=AB×BC=3×4=12$，
△ADP以AD为底时，高等于AB的长度，因此$S_{△ APD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵AE⊥DP，DP=x，AE=y，
∴$S_{△ APD}=\frac{1}{2}· DP· AE=\frac{1}{2}xy$，
联立得$\frac{1}{2}xy=6$，整理得$y=\frac{12}{x}$，即y是x的反比例函数。
接下来确定x的取值范围：
点P在BC边上运动，当P与点C重合时，DP最短，$DP=CD=AB=3$；
当P与点B重合时，DP最长，由勾股定理得$DP=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此x的取值范围是$3≤ x≤5$，对应y的取值范围是$\frac{12}{5}≤ y≤4$。
综上，y与x的函数图象是第一象限内反比例函数$y=\frac{12}{x}$在$x\in[3,5]$上的一段，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何动态与函数结合的典型题型，解题关键是利用面积法快速建立函数关系，同时要注意结合动点的运动区间确定自变量的取值范围，避免误选完整的反比例函数图象。
【难度系数】
0.7
解题时首先要寻找y与x的等量关系，已知AE⊥DP，AE是DP边上的高，可结合三角形面积建立关系：观察图形可知△ADP的面积固定，等于矩形ABCD面积的一半，不随点P的运动变化。接下来用两种方式表示△ADP的面积，即可列出x与y的等式，整理得到函数解析式；再结合点P的运动范围确定x的取值区间，就能判断对应的函数图象。
【解析】
连接AP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴$S_{矩形ABCD}=AB×BC=3×4=12$，
△ADP以AD为底时，高等于AB的长度，因此$S_{△ APD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵AE⊥DP，DP=x，AE=y，
∴$S_{△ APD}=\frac{1}{2}· DP· AE=\frac{1}{2}xy$，
联立得$\frac{1}{2}xy=6$，整理得$y=\frac{12}{x}$，即y是x的反比例函数。
接下来确定x的取值范围：
点P在BC边上运动，当P与点C重合时，DP最短，$DP=CD=AB=3$；
当P与点B重合时，DP最长，由勾股定理得$DP=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此x的取值范围是$3≤ x≤5$，对应y的取值范围是$\frac{12}{5}≤ y≤4$。
综上，y与x的函数图象是第一象限内反比例函数$y=\frac{12}{x}$在$x\in[3,5]$上的一段，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何动态与函数结合的典型题型，解题关键是利用面积法快速建立函数关系，同时要注意结合动点的运动区间确定自变量的取值范围，避免误选完整的反比例函数图象。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，A，B是双曲线$y=\frac{k}{x}$的一个分支上的两点，且点B(a，b)在点A(1，2)的右侧，则b的取值范围是。
4. 如图，A，B是双曲线$y=\frac{k}{x}$的一个分支上的两点，且点B(a，b)在点A(1，2)的右侧，则b的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{0＜b＜2}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，已知反比例函数图象过点A，可利用待定系数法先求出反比例函数的系数k，确定函数解析式；第二步，根据k的正负判断反比例函数的增减性，结合图象可知该分支在第一象限，第一象限内y随x的增大而减小；第三步，点B在A的右侧说明其横坐标大于1，结合增减性和第一象限内函数值恒大于0的特点，即可推出b的取值范围。
【解析】
1. 把点A(1,2)代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
2. 由于$k=2＞0$，该反比例函数的图象在第一、三象限，题中所示分支位于第一象限，且在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
3. 点B(a,b)在点A的右侧，因此B点的横坐标$a＞1$，又因为该分支在第一象限，函数值恒大于0，结合增减性可得：当$x＞1$时，对应的函数值$b$满足$0＜b＜2$。
【答案】
$0＜b＜2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数基础应用题，核心考查反比例函数的图象与性质，解题关键是先确定函数解析式，再结合增减性和图象所在象限推导函数值的范围，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，已知反比例函数图象过点A，可利用待定系数法先求出反比例函数的系数k，确定函数解析式；第二步，根据k的正负判断反比例函数的增减性，结合图象可知该分支在第一象限，第一象限内y随x的增大而减小；第三步，点B在A的右侧说明其横坐标大于1，结合增减性和第一象限内函数值恒大于0的特点，即可推出b的取值范围。
【解析】
1. 把点A(1,2)代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
2. 由于$k=2＞0$，该反比例函数的图象在第一、三象限，题中所示分支位于第一象限，且在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
3. 点B(a,b)在点A的右侧，因此B点的横坐标$a＞1$，又因为该分支在第一象限，函数值恒大于0，结合增减性可得：当$x＞1$时，对应的函数值$b$满足$0＜b＜2$。
【答案】
$0＜b＜2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数基础应用题，核心考查反比例函数的图象与性质，解题关键是先确定函数解析式，再结合增减性和图象所在象限推导函数值的范围，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度$y$与高架桥上每百米行驶的车的数量$x$的函数关系如图所示，当$x ≥ 10$时，$y$与$x$成反比的函数关系，当车辆的行驶速度低于20 km/h时，交通就会拥堵。为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶的车的数量$x$应该满足的范围是。（第4题）
答案
$\boldsymbol{0＜x≤40}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图像，当0＜x＜10时，车辆行驶速度恒为80km/h，远高于20km/h，不会发生拥堵；当x≥10时，y与x成反比例函数关系，我们先利用已知点坐标求出反比例函数解析式，再根据“避免拥堵即行驶速度y≥20km/h”的条件，结合反比例函数的增减性求出对应的x的取值范围，最后合并两部分的范围，同时注意x表示车辆数量，需满足实际意义x＞0即可。
【解析】
解：当$x≥10$时，设$y$与$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=10$，$y=80$代入解析式得：
$80=\frac{k}{10}$，解得$k=800$，
即反比例函数解析式为$y=\frac{800}{x}(x≥10)$。
要避免交通拥堵，需满足$y≥20$，代入得：
$\frac{800}{x}≥20$，
因为$x＞0$，不等式两边同时乘$x$不等号方向不变，得$20x≤800$，解得$x≤40$。
结合$x≥10$的前提，此时$10≤ x≤40$。
又因为当$0＜x＜10$时，$y=80＞20$，不会发生拥堵，且$x$表示每百米车辆数量，取值为正。
综上，高架桥上每百米行驶的车的数量$x$应满足$0＜x≤40$。
【答案】
$\boldsymbol{0＜x≤40}$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际生活中的交通场景考查反比例函数的应用，解题的关键是先求出反比例函数解析式，再结合限制条件求解自变量范围，解题时要注意结合自变量的实际意义，不要遗漏隐含的取值限制。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察图像，当0＜x＜10时，车辆行驶速度恒为80km/h，远高于20km/h，不会发生拥堵；当x≥10时，y与x成反比例函数关系，我们先利用已知点坐标求出反比例函数解析式，再根据“避免拥堵即行驶速度y≥20km/h”的条件，结合反比例函数的增减性求出对应的x的取值范围，最后合并两部分的范围，同时注意x表示车辆数量，需满足实际意义x＞0即可。
【解析】
解：当$x≥10$时，设$y$与$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=10$，$y=80$代入解析式得：
$80=\frac{k}{10}$，解得$k=800$，
即反比例函数解析式为$y=\frac{800}{x}(x≥10)$。
要避免交通拥堵，需满足$y≥20$，代入得：
$\frac{800}{x}≥20$，
因为$x＞0$，不等式两边同时乘$x$不等号方向不变，得$20x≤800$，解得$x≤40$。
结合$x≥10$的前提，此时$10≤ x≤40$。
又因为当$0＜x＜10$时，$y=80＞20$，不会发生拥堵，且$x$表示每百米车辆数量，取值为正。
综上，高架桥上每百米行驶的车的数量$x$应满足$0＜x≤40$。
【答案】
$\boldsymbol{0＜x≤40}$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际生活中的交通场景考查反比例函数的应用，解题的关键是先求出反比例函数解析式，再结合限制条件求解自变量范围，解题时要注意结合自变量的实际意义，不要遗漏隐含的取值限制。
【难度系数】
0.7
