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三、解答题
7. 已知一次函数$y=x+2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$，它们的图象均经过点$P(p,5)$。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点Q是上述一次函数与反比例函数的图象在第三象限的交点，求点Q的坐标。
7. 已知一次函数$y=x+2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$，它们的图象均经过点$P(p,5)$。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点Q是上述一次函数与反比例函数的图象在第三象限的交点，求点Q的坐标。
答案
解：
（1）∵点$P(p,5)$在一次函数$y=x+2$的图象上，
∴将$y=5$代入$y=x+2$，得$5 = p + 2$，
解得$p=3$，即点$P$的坐标为$(3,5)$。
∵点$P(3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
代入得$5=\frac{k}{3}$，解得$k=15$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{15}{x}$。
（2）联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = \frac{15}{x} \end{cases}$
将$y=x+2$代入$y=\frac{15}{x}$，得$x+2=\frac{15}{x}$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 + 2x -15 = 0$，
因式分解得$(x+5)(x-3)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-5$。
将$x_1=3$代入$y=x+2$得$y_1=5$，将$x_2=-5$代入$y=x+2$得$y_2=-3$，
即两函数的交点为$(3,5)$和$(-5,-3)$。
∵点$Q$在第三象限，
∴点$Q$的坐标为$(-5,-3)$。
（1）∵点$P(p,5)$在一次函数$y=x+2$的图象上，
∴将$y=5$代入$y=x+2$，得$5 = p + 2$，
解得$p=3$，即点$P$的坐标为$(3,5)$。
∵点$P(3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
代入得$5=\frac{k}{3}$，解得$k=15$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{15}{x}$。
（2）联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = \frac{15}{x} \end{cases}$
将$y=x+2$代入$y=\frac{15}{x}$，得$x+2=\frac{15}{x}$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 + 2x -15 = 0$，
因式分解得$(x+5)(x-3)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-5$。
将$x_1=3$代入$y=x+2$得$y_1=5$，将$x_2=-5$代入$y=x+2$得$y_2=-3$，
即两函数的交点为$(3,5)$和$(-5,-3)$。
∵点$Q$在第三象限，
∴点$Q$的坐标为$(-5,-3)$。
解析
【分析】
（1）函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，已知点P在一次函数图象上，先将P点坐标代入一次函数解析式求出p的值，得到P点的具体坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到反比例函数的表达式。
（2）两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立两个函数的解析式组成方程组，求解得到所有交点坐标后，结合第三象限内的点横、纵坐标均为负数的特征，即可筛选出点Q的坐标。
【解析】
（1）
∵点$P(p,5)$在一次函数$y=x+2$的图象上，
∴将$y=5$代入$y=x+2$，得$5 = p + 2$，
解得$p=3$，即点$P$的坐标为$(3,5)$。
∵点$P(3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
代入得$5=\frac{k}{3}$，解得$k=15$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{15}{x}$。
（2）联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = \frac{15}{x} \end{cases}$
将$y=x+2$代入$y=\frac{15}{x}$，得$x+2=\frac{15}{x}$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 + 2x -15 = 0$，
因式分解得$(x+5)(x-3)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-5$。
将$x_1=3$代入$y=x+2$得$y_1=5$，将$x_2=-5$代入$y=x+2$得$y_2=-3$，
即两函数的交点为$(3,5)$和$(-5,-3)$。
∵点$Q$在第三象限，
∴点$Q$的坐标为$(-5,-3)$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{15}{x}$
（2）$(-5,-3)$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 函数交点坐标求解
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，主要考查待定系数法求解析式、联立方程求交点的常用方法，解题时需注意根据交点所在区域的特征对结果进行筛选，属于高频考点的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，已知点P在一次函数图象上，先将P点坐标代入一次函数解析式求出p的值，得到P点的具体坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到反比例函数的表达式。
（2）两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立两个函数的解析式组成方程组，求解得到所有交点坐标后，结合第三象限内的点横、纵坐标均为负数的特征，即可筛选出点Q的坐标。
【解析】
（1）
∵点$P(p,5)$在一次函数$y=x+2$的图象上，
∴将$y=5$代入$y=x+2$，得$5 = p + 2$，
解得$p=3$，即点$P$的坐标为$(3,5)$。
∵点$P(3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
代入得$5=\frac{k}{3}$，解得$k=15$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{15}{x}$。
（2）联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = \frac{15}{x} \end{cases}$
将$y=x+2$代入$y=\frac{15}{x}$，得$x+2=\frac{15}{x}$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 + 2x -15 = 0$，
因式分解得$(x+5)(x-3)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-5$。
将$x_1=3$代入$y=x+2$得$y_1=5$，将$x_2=-5$代入$y=x+2$得$y_2=-3$，
即两函数的交点为$(3,5)$和$(-5,-3)$。
∵点$Q$在第三象限，
∴点$Q$的坐标为$(-5,-3)$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{15}{x}$
（2）$(-5,-3)$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 函数交点坐标求解
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，主要考查待定系数法求解析式、联立方程求交点的常用方法，解题时需注意根据交点所在区域的特征对结果进行筛选，属于高频考点的基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 已知直线$y=-3x$与双曲线$y=\frac{m-5}{x}$交于点$P(-1, n)$.
(1) 求$m$的值；
(2) 请画出直线$y=-3x$和双曲线$y=\frac{m-5}{x}$；
(3) 若点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$在双曲线$y=\frac{m-5}{x}$上，且$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，试比较$y_1, y_2$的大小.
(1) 求$m$的值；
(2) 请画出直线$y=-3x$和双曲线$y=\frac{m-5}{x}$；
(3) 若点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$在双曲线$y=\frac{m-5}{x}$上，且$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，试比较$y_1, y_2$的大小.
答案
解：
(1) 把点$P(-1, n)$代入直线$y=-3x$，得：
$n = -3×(-1) = 3$，
∴点$P$的坐标为$(-1, 3)$。
把$P(-1, 3)$代入双曲线$y=\dfrac{m-5}{x}$，得：
$3 = \dfrac{m-5}{-1}$，
解得 $m=2$。
(2) 由(1)得双曲线解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
直线$y=-3x$过原点，经过点$(1,-3)$、$(-1,3)$，在坐标系中连接这两点即可画出该直线；
双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的两支分别位于第二、第四象限，描出点$(-3,1)$、$(-1,3)$、$(1,-3)$、$(3,-1)$，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，即可画出该双曲线。
(3) ∵ 双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的比例系数$k=-3＜0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
又∵ $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，即点$A$、$B$都在第二象限的双曲线上，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
(1) 把点$P(-1, n)$代入直线$y=-3x$，得：
$n = -3×(-1) = 3$，
∴点$P$的坐标为$(-1, 3)$。
把$P(-1, 3)$代入双曲线$y=\dfrac{m-5}{x}$，得：
$3 = \dfrac{m-5}{-1}$，
解得 $m=2$。
(2) 由(1)得双曲线解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
直线$y=-3x$过原点，经过点$(1,-3)$、$(-1,3)$，在坐标系中连接这两点即可画出该直线；
双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的两支分别位于第二、第四象限，描出点$(-3,1)$、$(-1,3)$、$(1,-3)$、$(3,-1)$，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，即可画出该双曲线。
(3) ∵ 双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的比例系数$k=-3＜0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
又∵ $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，即点$A$、$B$都在第二象限的双曲线上，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
解析
【分析】
解题按三个小问依次思考：
(1) 求m的值：交点P同时在直线和双曲线上，先把P的横坐标代入直线解析式求出n，得到P点完整坐标，再将P点坐标代入双曲线解析式，即可求出m的值；
(2) 画函数图象：画直线只需找两个点，两点连线即可；画双曲线先根据解析式的比例系数判断所在象限，再描若干个特殊点，用平滑曲线连接同象限内的点即可；
(3) 比较y₁、y₂的大小：先判断反比例函数在同一象限内的增减性，再结合x₁＜x₂＜0可知两点在同一象限，结合增减性即可比较y值大小。
【解析】
(1) 把点$P(-1, n)$代入直线$y=-3x$，得：
$n = -3×(-1) = 3$，
∴点$P$的坐标为$(-1, 3)$。
把$P(-1, 3)$代入双曲线$y=\dfrac{m-5}{x}$，得：
$3 = \dfrac{m-5}{-1}$，
解得 $m=2$。
(2) 由(1)得双曲线解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
直线$y=-3x$过原点，经过点$(1,-3)$、$(-1,3)$，在坐标系中连接这两点即可画出该直线；
双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的两支分别位于第二、第四象限，描出点$(-3,1)$、$(-1,3)$、$(1,-3)$、$(3,-1)$，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，即可画出该双曲线。
(3)
∵ 双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的比例系数$k=-3＜0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
又
∵ $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，即点$A$、$B$都在第二象限的双曲线上，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=2}$；
(2) 画图方法见解析；
(3) $\boldsymbol{y_1 ＜ y_2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，函数图象的画法
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了代数计算能力，也考查了作图能力，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不要忽略该前提条件。
【难度系数】
0.8
解题按三个小问依次思考：
(1) 求m的值：交点P同时在直线和双曲线上，先把P的横坐标代入直线解析式求出n，得到P点完整坐标，再将P点坐标代入双曲线解析式，即可求出m的值；
(2) 画函数图象：画直线只需找两个点，两点连线即可；画双曲线先根据解析式的比例系数判断所在象限，再描若干个特殊点，用平滑曲线连接同象限内的点即可；
(3) 比较y₁、y₂的大小：先判断反比例函数在同一象限内的增减性，再结合x₁＜x₂＜0可知两点在同一象限，结合增减性即可比较y值大小。
【解析】
(1) 把点$P(-1, n)$代入直线$y=-3x$，得：
$n = -3×(-1) = 3$，
∴点$P$的坐标为$(-1, 3)$。
把$P(-1, 3)$代入双曲线$y=\dfrac{m-5}{x}$，得：
$3 = \dfrac{m-5}{-1}$，
解得 $m=2$。
(2) 由(1)得双曲线解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
直线$y=-3x$过原点，经过点$(1,-3)$、$(-1,3)$，在坐标系中连接这两点即可画出该直线；
双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的两支分别位于第二、第四象限，描出点$(-3,1)$、$(-1,3)$、$(1,-3)$、$(3,-1)$，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，即可画出该双曲线。
(3)
∵ 双曲线$y=-\dfrac{3}{x}$的比例系数$k=-3＜0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
又
∵ $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，即点$A$、$B$都在第二象限的双曲线上，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=2}$；
(2) 画图方法见解析；
(3) $\boldsymbol{y_1 ＜ y_2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，函数图象的画法
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了代数计算能力，也考查了作图能力，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不要忽略该前提条件。
【难度系数】
0.8
9. 如图，已知一次函数 $ y_1 = kx + b $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} $ 的图象在第一、三象限分别交于 $ A(6, 1) $，$ B(a, -3) $ 两点，连接 $ OA $，$ OB $。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 $ △ ABO $ 的面积；
（3）请直接写出当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 $ △ ABO $ 的面积；
（3）请直接写出当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围。
答案
解：
(1) 把点$A(6,1)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，
得$1=\frac{m}{6}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{6}{x}$。
∵点$B(a,-3)$在反比例函数$y_2=\frac{6}{x}$的图象上，
∴$-3=\frac{6}{a}$，解得$a=-2$，即$B(-2,-3)$。
将$A(6,1)$，$B(-2,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}6k + b = 1\\-2k + b = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-2\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=\frac{1}{2}x - 2$。
(2) 设一次函数$y_1=\frac{1}{2}x - 2$与x轴的交点为C，
令$y_1=0$，则$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$，$OC=4$。
$S_{△ ABO}=S_{△ AOC} + S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}· OC· |y_A| + \frac{1}{2}· OC· |y_B|$
$=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3$
$=8$
∴$△ ABO$的面积为8。
(3) 自变量$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 6$。
(1) 把点$A(6,1)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，
得$1=\frac{m}{6}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{6}{x}$。
∵点$B(a,-3)$在反比例函数$y_2=\frac{6}{x}$的图象上，
∴$-3=\frac{6}{a}$，解得$a=-2$，即$B(-2,-3)$。
将$A(6,1)$，$B(-2,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}6k + b = 1\\-2k + b = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-2\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=\frac{1}{2}x - 2$。
(2) 设一次函数$y_1=\frac{1}{2}x - 2$与x轴的交点为C，
令$y_1=0$，则$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$，$OC=4$。
$S_{△ ABO}=S_{△ AOC} + S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}· OC· |y_A| + \frac{1}{2}· OC· |y_B|$
$=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3$
$=8$
∴$△ ABO$的面积为8。
(3) 自变量$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 6$。
解析
【分析】
（1）求函数解析式采用待定系数法：首先将已知点$A(6,1)$代入反比例函数表达式求出$m$，即可得到反比例函数解析式；再将$B$点的纵坐标代入反比例解析式求出横坐标$a$，得到$B$点完整坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组得到$k$、$b$的值，即可得到一次函数解析式。
（2）求$△ ABO$的面积采用割补法：先求出一次函数与$x$轴的交点$C$，将$△ ABO$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形同底为$OC$，高分别为$A$、$B$两点纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到$△ ABO$的面积。
（3）求$y_1＞y_2$时$x$的取值范围采用数形结合思想：观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方对应的$x$区间即可，注意分$x＜0$和$x＞0$两个区间讨论，不要漏解。
【解析】
(1) 把点$A(6,1)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，
得$1=\frac{m}{6}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{6}{x}$。
∵点$B(a,-3)$在反比例函数$y_2=\frac{6}{x}$的图象上，
∴$-3=\frac{6}{a}$，解得$a=-2$，即$B(-2,-3)$。
将$A(6,1)$，$B(-2,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}6k + b = 1\\-2k + b = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-2\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=\frac{1}{2}x - 2$。
(2) 设一次函数$y_1=\frac{1}{2}x - 2$与x轴的交点为C，
令$y_1=0$，则$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$，$OC=4$。
$S_{△ ABO}=S_{△ AOC} + S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}· OC· |y_A| + \frac{1}{2}· OC· |y_B|$
$=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3$
$=8$
∴$△ ABO$的面积为8。
(3) 观察图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 6$。
【答案】
(1) 反比例函数：$\boldsymbol{y_2=\frac{6}{x}}$，一次函数：$\boldsymbol{y_1=\frac{1}{2}x - 2}$
(2) $\boldsymbol{8}$
(3) $\boldsymbol{-2 ＜ x ＜ 0}$或$\boldsymbol{x ＞ 6}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 坐标系图形面积计算
3. 函数图象比大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题型，涵盖了函数章节的核心考点，解题过程中用到的待定系数法、割补法、数形结合思想都是函数类题目常用的方法，熟练掌握这些方法即可解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
（1）求函数解析式采用待定系数法：首先将已知点$A(6,1)$代入反比例函数表达式求出$m$，即可得到反比例函数解析式；再将$B$点的纵坐标代入反比例解析式求出横坐标$a$，得到$B$点完整坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组得到$k$、$b$的值，即可得到一次函数解析式。
（2）求$△ ABO$的面积采用割补法：先求出一次函数与$x$轴的交点$C$，将$△ ABO$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形同底为$OC$，高分别为$A$、$B$两点纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到$△ ABO$的面积。
（3）求$y_1＞y_2$时$x$的取值范围采用数形结合思想：观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方对应的$x$区间即可，注意分$x＜0$和$x＞0$两个区间讨论，不要漏解。
【解析】
(1) 把点$A(6,1)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，
得$1=\frac{m}{6}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{6}{x}$。
∵点$B(a,-3)$在反比例函数$y_2=\frac{6}{x}$的图象上，
∴$-3=\frac{6}{a}$，解得$a=-2$，即$B(-2,-3)$。
将$A(6,1)$，$B(-2,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}6k + b = 1\\-2k + b = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-2\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=\frac{1}{2}x - 2$。
(2) 设一次函数$y_1=\frac{1}{2}x - 2$与x轴的交点为C，
令$y_1=0$，则$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$，$OC=4$。
$S_{△ ABO}=S_{△ AOC} + S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}· OC· |y_A| + \frac{1}{2}· OC· |y_B|$
$=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3$
$=8$
∴$△ ABO$的面积为8。
(3) 观察图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 6$。
【答案】
(1) 反比例函数：$\boldsymbol{y_2=\frac{6}{x}}$，一次函数：$\boldsymbol{y_1=\frac{1}{2}x - 2}$
(2) $\boldsymbol{8}$
(3) $\boldsymbol{-2 ＜ x ＜ 0}$或$\boldsymbol{x ＞ 6}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 坐标系图形面积计算
3. 函数图象比大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题型，涵盖了函数章节的核心考点，解题过程中用到的待定系数法、割补法、数形结合思想都是函数类题目常用的方法，熟练掌握这些方法即可解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
