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1. [2025内江中考]若关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
1.C
∵一元二次方程$(a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根,
∴$a - 1≠0$,$Δ=2^2 - 4(a - 1)×1 = 8 - 4a≥0$,
∴$a≤2$且$a≠1$.
∵一元二次方程$(a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根,
∴$a - 1≠0$,$Δ=2^2 - 4(a - 1)×1 = 8 - 4a≥0$,
∴$a≤2$且$a≠1$.
解析
【分析】
要确定一元二次方程有实数根时参数a的取值范围，需分两步思考：第一步，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则就不是一元二次方程，由此可得到a的第一个限制条件；第二步，一元二次方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，代入系数计算判别式并解不等式，得到a的第二个限制条件，最后将两个条件取公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$a - 1≠0$，解得$a≠1$。
又
∵ 该一元二次方程有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，
代入得$\Delta = 2^2 - 4×(a - 1)×1 = 4 - 4a + 4 = 8 - 4a ≥ 0$，
解不等式$8 - 4a ≥ 0$，移项得$4a ≤ 8$，解得$a ≤ 2$。
结合两个限制条件，可得$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础常考题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，需同时满足方程定义的要求和根的判别式的取值要求，才能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程有实数根时参数a的取值范围，需分两步思考：第一步，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则就不是一元二次方程，由此可得到a的第一个限制条件；第二步，一元二次方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，代入系数计算判别式并解不等式，得到a的第二个限制条件，最后将两个条件取公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$a - 1≠0$，解得$a≠1$。
又
∵ 该一元二次方程有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，
代入得$\Delta = 2^2 - 4×(a - 1)×1 = 4 - 4a + 4 = 8 - 4a ≥ 0$，
解不等式$8 - 4a ≥ 0$，移项得$4a ≤ 8$，解得$a ≤ 2$。
结合两个限制条件，可得$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础常考题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，需同时满足方程定义的要求和根的判别式的取值要求，才能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
2. [2025安徽中考]下列方程中，有两个不相等的实数根的是（
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
D
）A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
2.D 选项A,$x^2 + 1 = 0$,$Δ=0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$(也可以根据$x^2 = -1 ＜ 0$判断),无实数根;选项B,$x^2 - 2x + 1 = 0$,$Δ=(-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$(也可以根据$(x - 1)^2 = 0$判断),有两个相等的实数根;选项C,$x^2 + x + 1 = 0$,$Δ=1^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$,无实数根;选项D,$x^2 + x - 1 = 0$,$Δ=1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$,有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时无实数根。解题时先确定每个选项中一元二次方程的$a$、$b$、$c$的值，分别计算$\Delta$，再筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 + 1 = 0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta=0^2 - 4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2 + x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta=1^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2 + x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta=1^2 - 4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，熟练掌握判别式的计算方法和不同取值对应的根的特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时无实数根。解题时先确定每个选项中一元二次方程的$a$、$b$、$c$的值，分别计算$\Delta$，再筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 + 1 = 0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta=0^2 - 4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2 + x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta=1^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2 + x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta=1^2 - 4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，熟练掌握判别式的计算方法和不同取值对应的根的特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. [2024河北中考]淇淇在计算正数$a$的平方时，误算成$a$与2的积，求得的答案比正确答案小1，则$a=$（
A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$
C
）A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$
答案
3.C 由题意得,$2a + 1 = a^2$,移项,得$a^2 - 2a - 1 = 0$,配方,得$(a - 1)^2 = 2$,解得$a_1 = 1 + \sqrt{2}$,$a_2 = 1 - \sqrt{2}$(舍去)($a$是正数).
解析
【分析】
解题时首先要找准题目中的等量关系：正确结果是正数a的平方即$a^2$，错误结果是a与2的积即$2a$，题目明确错误结果比正确结果小1，也就是正确结果减去错误结果等于1，据此可以列出一元二次方程；接下来解这个一元二次方程，最后结合a是正数的条件对求出的根进行取舍，就能得到正确答案。
【解析】
根据题意列方程：$a^2 - 2a = 1$
移项得：$a^2 - 2a - 1 = 0$
配方：方程两边同时加1，得$a^2 - 2a + 1 = 2$，即$(a-1)^2=2$
开平方得：$a-1=\pm\sqrt{2}$
解得：$a_1=1+\sqrt{2}$，$a_2=1-\sqrt{2}$
因为a是正数，$1-\sqrt{2}＜0$不符合要求，舍去，故$a=1+\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、配方法解方程、方程根的取舍
【点评】
本题依托计算出错的常见情境命题，解题核心是准确梳理数量关系列出方程，需要注意题干中“正数a”的限制条件，避免未验根错选含不符合要求根的选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要找准题目中的等量关系：正确结果是正数a的平方即$a^2$，错误结果是a与2的积即$2a$，题目明确错误结果比正确结果小1，也就是正确结果减去错误结果等于1，据此可以列出一元二次方程；接下来解这个一元二次方程，最后结合a是正数的条件对求出的根进行取舍，就能得到正确答案。
【解析】
根据题意列方程：$a^2 - 2a = 1$
移项得：$a^2 - 2a - 1 = 0$
配方：方程两边同时加1，得$a^2 - 2a + 1 = 2$，即$(a-1)^2=2$
开平方得：$a-1=\pm\sqrt{2}$
解得：$a_1=1+\sqrt{2}$，$a_2=1-\sqrt{2}$
因为a是正数，$1-\sqrt{2}＜0$不符合要求，舍去，故$a=1+\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、配方法解方程、方程根的取舍
【点评】
本题依托计算出错的常见情境命题，解题核心是准确梳理数量关系列出方程，需要注意题干中“正数a”的限制条件，避免未验根错选含不符合要求根的选项。
【难度系数】
0.7
4. [2025宿迁中考]方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$,则$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026) =$
-4048
.答案
4.-4048 将$m,n$代入$x^2 - 2024x - 2025 = 0$,得$m^2 - 2024m - 2025 = 0$,$n^2 - 2024n - 2025 = 0$,且$m + n = 2024$,$mn = -2025$,
∴$m^2 = 2024m + 2025$,$n^2 = 2024n + 2025$,
∴$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026) = (2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026) = (m - 1)(n - 1) = mn - (m + n)$(整体代入)$+ 1 = -2025 - 2024 + 1 = -4048$.
∴$m^2 = 2024m + 2025$,$n^2 = 2024n + 2025$,
∴$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026) = (2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026) = (m - 1)(n - 1) = mn - (m + n)$(整体代入)$+ 1 = -2025 - 2024 + 1 = -4048$.
解析
【分析】
本题要求含方程两根的代数式的值，解题思路可分为三步：首先根据一元二次方程根的定义，将两根代入原方程，得到关于$m^2$、$n^2$的表达式，实现降次；其次将$m^2$、$n^2$的表达式代入所求代数式，化简得到可利用根与系数关系计算的形式；最后根据韦达定理求出两根之和与两根之积，整体代入化简后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
∵$m$、$n$是方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$，
整理得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$，
将上述式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m + n = 2024$，$mn = -2025$代入得：
原式$=-2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$-4048$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型题型，核心考查降次思想和整体代换思想，通过根的定义将二次项转化为一次项，避免了直接求根的复杂运算，解题时注意整体代入的应用。
【难度系数】
0.6
本题要求含方程两根的代数式的值，解题思路可分为三步：首先根据一元二次方程根的定义，将两根代入原方程，得到关于$m^2$、$n^2$的表达式，实现降次；其次将$m^2$、$n^2$的表达式代入所求代数式，化简得到可利用根与系数关系计算的形式；最后根据韦达定理求出两根之和与两根之积，整体代入化简后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
∵$m$、$n$是方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$，
整理得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$，
将上述式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m + n = 2024$，$mn = -2025$代入得：
原式$=-2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$-4048$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型题型，核心考查降次思想和整体代换思想，通过根的定义将二次项转化为一次项，避免了直接求根的复杂运算，解题时注意整体代入的应用。
【难度系数】
0.6
5. [2024 广州中考] 定义新运算：$a \otimes b = \begin{cases}a^2 - b & (a ≤ 0), \\ -a + b & (a ＞ 0).\end{cases}$ 例如：$-2 \otimes 4 = (-2)^2 - 4 = 0, 2 \otimes 3 = -2 + 3 = 1.$ 若 $x \otimes 1 = -\dfrac{3}{4}$，则 $x$ 的值为 ______ .
答案
5.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$ 根据题意,得①当$x≤0$时,$x \otimes 1 = -\dfrac{3}{4}$为$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$,解得$x = -\dfrac{1}{2}$(正值已舍去);②当$x＞0$时,$x \otimes 1 = -\dfrac{3}{4}$为$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$,解得$x = \dfrac{7}{4}$.综上,$x$的值是$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$.
解析
【分析】
这是一道分段定义新运算的题目，解题时需先根据新运算的分段规则，分两种情况讨论x的取值范围：①当x≤0时，适用$a^2-b$的运算规则；②当x＞0时，适用$-a+b$的运算规则。分别将$x \otimes 1 = -\dfrac{3}{4}$代入对应规则列方程求解，最后检验所得的解是否符合对应取值范围，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 0$时，$x \otimes 1 = x^2 - 1$，结合题意列方程：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$
解得$x = \dfrac{1}{2}$或$x = -\dfrac{1}{2}$，因为$x ≤ 0$，故舍去$x = \dfrac{1}{2}$，保留$x = -\dfrac{1}{2}$；
② 当$x ＞ 0$时，$x \otimes 1 = -x + 1$，结合题意列方程：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$，$\dfrac{7}{4} ＞ 0$，符合取值要求。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算，解一元二次方程，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解能力和分类讨论思想的应用，解题的关键是根据自变量的取值范围选择对应的运算公式，同时要注意检验解是否符合对应取值区间，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
这是一道分段定义新运算的题目，解题时需先根据新运算的分段规则，分两种情况讨论x的取值范围：①当x≤0时，适用$a^2-b$的运算规则；②当x＞0时，适用$-a+b$的运算规则。分别将$x \otimes 1 = -\dfrac{3}{4}$代入对应规则列方程求解，最后检验所得的解是否符合对应取值范围，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 0$时，$x \otimes 1 = x^2 - 1$，结合题意列方程：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$
解得$x = \dfrac{1}{2}$或$x = -\dfrac{1}{2}$，因为$x ≤ 0$，故舍去$x = \dfrac{1}{2}$，保留$x = -\dfrac{1}{2}$；
② 当$x ＞ 0$时，$x \otimes 1 = -x + 1$，结合题意列方程：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$，$\dfrac{7}{4} ＞ 0$，符合取值要求。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算，解一元二次方程，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解能力和分类讨论思想的应用，解题的关键是根据自变量的取值范围选择对应的运算公式，同时要注意检验解是否符合对应取值区间，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
6. 教材问题变式 [2025威海中考]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为
$\dfrac{12\sqrt{2}}{5}$
cm.答案
6.$\dfrac{12\sqrt{2}}{5}$ 如图,设$BC=x$,则$AB=AE=12-x$,$BD=\sqrt{2}x$,$BE=4BD=4\sqrt{2}x$.在$Rt△ABE$中,由勾股定理,得$AE^2 + AB^2 = BE^2$,
∴$(12-x)^2 + (12-x)^2 = (4\sqrt{2}x)^2$,解得$x=\dfrac{12}{5}$或$x=-4$(舍去),
∴$BD=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}$,即折成立方体的棱长为$\dfrac{12\sqrt{2}}{5}$ cm.
解析
【分析】
要解决本题，首先观察图形特征：正方形硬纸板的裁剪线构成多个等腰直角三角形，折成正方体后，小等腰直角三角形的斜边长等于正方体的棱长。我们可通过设未知数表示大正方形内相关线段的长度，再利用勾股定理建立方程求解，最终得到正方体的棱长，具体思路如下：①设小等腰直角三角形的直角边$BC$为$x\ \mathrm{cm}$，先表示出大正方形的直角边$AB$、$AE$的长度；②再表示出线段$BE$的长度，$BE$是4个正方体棱长的和，即4倍的小等腰直角三角形的斜边长；③$△ ABE$是等腰直角三角形，根据勾股定理列方程求解$x$，最后计算正方体棱长（即小等腰直角三角形的斜边长）。
【解析】
设$BC=x\ \mathrm{cm}$，由正方形的性质可知$AB=AE=12-x$，小等腰直角三角形的斜边长$BD=\sqrt{2}x$，$BD$就是折成正方体的棱长。观察图形可得，线段$BE$的长度等于4个正方体棱长之和，即$BE=4BD=4\sqrt{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得$AE^2 + AB^2 = BE^2$，代入各边长度可得：
$(12-x)^2 + (12-x)^2 = (4\sqrt{2}x)^2$
整理得$2(12-x)^2=32x^2$，即$(12-x)^2=16x^2$，结合线段长度为正，得$12-x=4x$，解得$x=\dfrac{12}{5}$（$x=-4$不符合实际，舍去）。
因此正方体棱长$BD=\sqrt{2}x=\sqrt{2}×\dfrac{12}{5}=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\dfrac{12\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
正方体展开图；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题将立体图形展开图与平面几何计算结合，解题的核心是准确找到展开图中线段长度和正方体棱长的对应关系，通过建立方程求解，较好地考查了空间想象能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先观察图形特征：正方形硬纸板的裁剪线构成多个等腰直角三角形，折成正方体后，小等腰直角三角形的斜边长等于正方体的棱长。我们可通过设未知数表示大正方形内相关线段的长度，再利用勾股定理建立方程求解，最终得到正方体的棱长，具体思路如下：①设小等腰直角三角形的直角边$BC$为$x\ \mathrm{cm}$，先表示出大正方形的直角边$AB$、$AE$的长度；②再表示出线段$BE$的长度，$BE$是4个正方体棱长的和，即4倍的小等腰直角三角形的斜边长；③$△ ABE$是等腰直角三角形，根据勾股定理列方程求解$x$，最后计算正方体棱长（即小等腰直角三角形的斜边长）。
【解析】
设$BC=x\ \mathrm{cm}$，由正方形的性质可知$AB=AE=12-x$，小等腰直角三角形的斜边长$BD=\sqrt{2}x$，$BD$就是折成正方体的棱长。观察图形可得，线段$BE$的长度等于4个正方体棱长之和，即$BE=4BD=4\sqrt{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得$AE^2 + AB^2 = BE^2$，代入各边长度可得：
$(12-x)^2 + (12-x)^2 = (4\sqrt{2}x)^2$
整理得$2(12-x)^2=32x^2$，即$(12-x)^2=16x^2$，结合线段长度为正，得$12-x=4x$，解得$x=\dfrac{12}{5}$（$x=-4$不符合实际，舍去）。
因此正方体棱长$BD=\sqrt{2}x=\sqrt{2}×\dfrac{12}{5}=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\dfrac{12\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
正方体展开图；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题将立体图形展开图与平面几何计算结合，解题的核心是准确找到展开图中线段长度和正方体棱长的对应关系，通过建立方程求解，较好地考查了空间想象能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.4
7. 解方程：
(1) [2022 齐齐哈尔中考] $(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$；
(2) [2025 广元中考] $x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$。
(1) [2022 齐齐哈尔中考] $(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$；
(2) [2025 广元中考] $x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$。
答案
7.解:(1)直接开平方法 $(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$,
直接开平方,得$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3 = -3x - 2$,
解得$x_1 = 1$,$x_2 = -1$.
因式分解法 $(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$,
移项,得$(2x + 3)^2 - (3x + 2)^2 = 0$,
因式分解,得$(2x + 3 + 3x + 2)(2x + 3 - 3x - 2) = 0$,
即$5(x + 1)(1 - x) = 0$,解得$x_1 = 1$,$x_2 = -1$.
(2)$x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$,
因式分解,得$(x - \sqrt{2})(x - 1) = 0$,
所以$x - \sqrt{2} = 0$或$x - 1 = 0$,解得$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = 1$.
直接开平方,得$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3 = -3x - 2$,
解得$x_1 = 1$,$x_2 = -1$.
因式分解法 $(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$,
移项,得$(2x + 3)^2 - (3x + 2)^2 = 0$,
因式分解,得$(2x + 3 + 3x + 2)(2x + 3 - 3x - 2) = 0$,
即$5(x + 1)(1 - x) = 0$,解得$x_1 = 1$,$x_2 = -1$.
(2)$x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$,
因式分解,得$(x - \sqrt{2})(x - 1) = 0$,
所以$x - \sqrt{2} = 0$或$x - 1 = 0$,解得$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = 1$.
解析
【分析】
对于方程(1)，左右两边均为完全平方式，可通过两种思路求解：一是根据平方根的性质直接开平方，将二次方程降为两个一元一次方程计算；二是先移项使方程右侧为0，左侧利用平方差公式因式分解，再结合“乘积为0的两个因式至少一个为0”降次求解。对于方程(2)，观察到二次三项式的常数项可拆为$-\sqrt{2}$和$-1$，二者之和恰好等于一次项系数，因此用十字相乘法因式分解后即可快速降次求解。
【解析】
(1) 方法一：直接开平方法
对$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$直接开平方，得：
$2x + 3 = 3x + 2$ 或 $2x + 3 = -3x - 2$
解$2x + 3 = 3x + 2$，移项得$x_1=1$；
解$2x + 3 = -3x - 2$，移项合并得$5x=-5$，解得$x_2=-1$。
方法二：因式分解法
对$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$移项，得：
$(2x + 3)^2 - (3x + 2)^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得：
$(2x + 3 + 3x + 2)(2x + 3 - 3x - 2) = 0$
化简得$5(x + 1)(1 - x) = 0$，则$x+1=0$或$1-x=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
(2) 对$x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$十字相乘因式分解，得：
$(x - \sqrt{2})(x - 1) = 0$
则$x - \sqrt{2} = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-1$；
(2) $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=1$。
【知识点】
直接开平方法；因式分解法解方程；十字相乘法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法应用，解题时要先观察方程结构选择最简便的方法，优先用因式分解法可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
对于方程(1)，左右两边均为完全平方式，可通过两种思路求解：一是根据平方根的性质直接开平方，将二次方程降为两个一元一次方程计算；二是先移项使方程右侧为0，左侧利用平方差公式因式分解，再结合“乘积为0的两个因式至少一个为0”降次求解。对于方程(2)，观察到二次三项式的常数项可拆为$-\sqrt{2}$和$-1$，二者之和恰好等于一次项系数，因此用十字相乘法因式分解后即可快速降次求解。
【解析】
(1) 方法一：直接开平方法
对$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$直接开平方，得：
$2x + 3 = 3x + 2$ 或 $2x + 3 = -3x - 2$
解$2x + 3 = 3x + 2$，移项得$x_1=1$；
解$2x + 3 = -3x - 2$，移项合并得$5x=-5$，解得$x_2=-1$。
方法二：因式分解法
对$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$移项，得：
$(2x + 3)^2 - (3x + 2)^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得：
$(2x + 3 + 3x + 2)(2x + 3 - 3x - 2) = 0$
化简得$5(x + 1)(1 - x) = 0$，则$x+1=0$或$1-x=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
(2) 对$x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$十字相乘因式分解，得：
$(x - \sqrt{2})(x - 1) = 0$
则$x - \sqrt{2} = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-1$；
(2) $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=1$。
【知识点】
直接开平方法；因式分解法解方程；十字相乘法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法应用，解题时要先观察方程结构选择最简便的方法，优先用因式分解法可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
8. 教材复习题变式 [2025南充中考]设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
答案
8.(1)解:把$x_1 = -1$代入$(x - 1)(x - 2) = m^2$,
可得$m^2 = 6$,
∴$m = ±\sqrt{6}$,
∴$(x - 1)(x - 2) = 6$,
∴$x^2 - 3x - 4 = 0$,解得$x_1 = -1$,$x_2 = 4$.
故$x_2 = 4$,$m = ±\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$,
∴$x_1 + x_2 = 3$,$x_1x_2 = 2 - m^2$.
∵$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2 ≤ 0$,
∴$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$.
可得$m^2 = 6$,
∴$m = ±\sqrt{6}$,
∴$(x - 1)(x - 2) = 6$,
∴$x^2 - 3x - 4 = 0$,解得$x_1 = -1$,$x_2 = 4$.
故$x_2 = 4$,$m = ±\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$,
∴$x_1 + x_2 = 3$,$x_1x_2 = 2 - m^2$.
∵$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2 ≤ 0$,
∴$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$.
解析
【分析】
(1) 第一小问解题思路：已知方程的一个根$x_1=-1$，根据“方程的根满足方程”的性质，先将$x_1$代入原方程求出$m^2$的值，即可得到$m$的取值；再把$m^2$代回原方程，解一元二次方程就能得到另一个根$x_2$。
(2) 第二小问解题思路：要证明关于两根的代数式取值小于等于0，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，再将待证明的代数式展开整理，代入两根和、积的表达式化简，最后结合平方数的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解：把$x_1 = -1$代入$(x - 1)(x - 2) = m^2$，
可得$m^2 = (-1-1)×(-1-2)=6$，
∴$m = ±\sqrt{6}$，
∴原方程为$(x - 1)(x - 2) = 6$，
整理得$x^2 - 3x - 4 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 4$。
(2) 证明：方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$，
由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$，
∵$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$，
又
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【知识点】
一元二次方程的根、根与系数的关系、平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，既考查了方程根的性质、一元二次方程求解，又结合根与系数的关系和平方非负性考查代数式证明，解题逻辑清晰，侧重基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问解题思路：已知方程的一个根$x_1=-1$，根据“方程的根满足方程”的性质，先将$x_1$代入原方程求出$m^2$的值，即可得到$m$的取值；再把$m^2$代回原方程，解一元二次方程就能得到另一个根$x_2$。
(2) 第二小问解题思路：要证明关于两根的代数式取值小于等于0，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，再将待证明的代数式展开整理，代入两根和、积的表达式化简，最后结合平方数的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解：把$x_1 = -1$代入$(x - 1)(x - 2) = m^2$，
可得$m^2 = (-1-1)×(-1-2)=6$，
∴$m = ±\sqrt{6}$，
∴原方程为$(x - 1)(x - 2) = 6$，
整理得$x^2 - 3x - 4 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 4$。
(2) 证明：方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$，
由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$，
∵$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$，
又
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【知识点】
一元二次方程的根、根与系数的关系、平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，既考查了方程根的性质、一元二次方程求解，又结合根与系数的关系和平方非负性考查代数式证明，解题逻辑清晰，侧重基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.8
9. 教材练习变式 [2025达州中考] 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品. 已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，才能使文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是
$(60+10x)$
件.(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，才能使文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
答案
9.解:(1)$(60+10x)$
(2)根据题意,得$(40 - 30 - x)(60 + 10x) = 630$,
整理,得$x^2 - 4x + 3 = 0$,解得$x_1 = 1$,$x_2 = 3$.
由于要让利于游客,故$x$的值取3,
故该款巴小虎吉祥物应该降价3元,才能使文旅公司每天的利润是630元.
(3)根据题意,得$W = (40 - 30 - x)(60 + 10x) = -10x^2 + 40x + 600 = -10(x - 2)^2 + 640$.
∵$-10(x - 2)^2 ≤ 0$,且当$x = 2$时,$-10(x - 2)^2$取得最大值,为0,
∴当$x = 2$时,$W$取得最大值,为640,此时售价为38元.
答:当售价为38元时,每天的利润最大,最大利润是640元.
(2)根据题意,得$(40 - 30 - x)(60 + 10x) = 630$,
整理,得$x^2 - 4x + 3 = 0$,解得$x_1 = 1$,$x_2 = 3$.
由于要让利于游客,故$x$的值取3,
故该款巴小虎吉祥物应该降价3元,才能使文旅公司每天的利润是630元.
(3)根据题意,得$W = (40 - 30 - x)(60 + 10x) = -10x^2 + 40x + 600 = -10(x - 2)^2 + 640$.
∵$-10(x - 2)^2 ≤ 0$,且当$x = 2$时,$-10(x - 2)^2$取得最大值,为0,
∴当$x = 2$时,$W$取得最大值,为640,此时售价为38元.
答:当售价为38元时,每天的利润最大,最大利润是640元.
解析
【分析】
(1) 已知原日销量为60件，售价每降低1元日销量增加10件，降价x元时日销量的增量为10x件，总销量为原销量加增量，直接列式即可。
(2) 销售类问题的核心等量关系为：总利润=单件利润×总销量。先表示出降价x元后的单件利润为(40-30-x)元，总销量为(1)问的结果，令总利润等于630元列一元二次方程，解方程后结合“让利于游客”的要求，选择降价更多的解即可。
(3) 先根据总利润的等量关系列出利润W关于x的二次函数表达式，整理为顶点式后，结合二次函数开口向下的性质，顶点处即为利润最大值点，再计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 原日销量60件，降价x元后新增销量10x件，因此每天售出的数量为$60+10x$件。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(40 - 30 - x)(60 + 10x) = 630$
整理得：$x^2 - 4x + 3 = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
由于要让利于游客，因此选择降价更多的$x=3$。
(3) 由题意得利润表达式：
$W = (40 - 30 - x)(60 + 10x) = -10x^2 + 40x + 600$
配方得顶点式：$W = -10(x - 2)^2 + 640$
$\because -10＜0$，$\therefore$当$x=2$时，$W$取得最大值640，此时售价为$40-2=38$元。
【答案】
(1) $\boxed{60+10x}$
(2) 该款巴小虎吉祥物应该降价3元。
(3) 当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，结合了一元二次方程和二次函数的核心知识，解题关键是找准数量间的等量关系，同时要注意题干中的限定条件对解的筛选，能够有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 已知原日销量为60件，售价每降低1元日销量增加10件，降价x元时日销量的增量为10x件，总销量为原销量加增量，直接列式即可。
(2) 销售类问题的核心等量关系为：总利润=单件利润×总销量。先表示出降价x元后的单件利润为(40-30-x)元，总销量为(1)问的结果，令总利润等于630元列一元二次方程，解方程后结合“让利于游客”的要求，选择降价更多的解即可。
(3) 先根据总利润的等量关系列出利润W关于x的二次函数表达式，整理为顶点式后，结合二次函数开口向下的性质，顶点处即为利润最大值点，再计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 原日销量60件，降价x元后新增销量10x件，因此每天售出的数量为$60+10x$件。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(40 - 30 - x)(60 + 10x) = 630$
整理得：$x^2 - 4x + 3 = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
由于要让利于游客，因此选择降价更多的$x=3$。
(3) 由题意得利润表达式：
$W = (40 - 30 - x)(60 + 10x) = -10x^2 + 40x + 600$
配方得顶点式：$W = -10(x - 2)^2 + 640$
$\because -10＜0$，$\therefore$当$x=2$时，$W$取得最大值640，此时售价为$40-2=38$元。
【答案】
(1) $\boxed{60+10x}$
(2) 该款巴小虎吉祥物应该降价3元。
(3) 当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，结合了一元二次方程和二次函数的核心知识，解题关键是找准数量间的等量关系，同时要注意题干中的限定条件对解的筛选，能够有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
