登录
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8 m²的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m.
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为x m，BC为y m，由矩形地块的面积为8 m²，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象在第一象限内点的坐标；由木栏总长为10 m，得到2x + y =10，满足条件的(x,y)可看成一次函数$y=-2x +10$的图象在第一象限内点的坐标. 同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点的坐标. 如图2，反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象与直线$l_1:y=-2x +10$的交点坐标为(1,8)和
(1) 根据小颖的分析思路，完成上面的填空.
(2) 若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数$y=-2x +a$，发现直线$y=-2x +a$可以看成直线$y=-2x$通过平移得到的，在平移过程中，当直线过点(2,4)时，直线$y=-2x +a$与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象有唯一交点.
(3) 请在图2中画出直线$y=-2x +a$过点(2,4)时的图象，并求出a的值.
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为x m，BC为y m，由矩形地块的面积为8 m²，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象在第一象限内点的坐标；由木栏总长为10 m，得到2x + y =10，满足条件的(x,y)可看成一次函数$y=-2x +10$的图象在第一象限内点的坐标. 同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点的坐标. 如图2，反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象与直线$l_1:y=-2x +10$的交点坐标为(1,8)和
$(4,2)$
. 因此，木栏总长为10 m时，能围出矩形地块，AB=1 m，BC=8 m或AB=4
m，BC=2
m.(1) 根据小颖的分析思路，完成上面的填空.
(2) 若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数$y=-2x +a$，发现直线$y=-2x +a$可以看成直线$y=-2x$通过平移得到的，在平移过程中，当直线过点(2,4)时，直线$y=-2x +a$与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象有唯一交点.
(3) 请在图2中画出直线$y=-2x +a$过点(2,4)时的图象，并求出a的值.
答案
解:(1)$(4,2)$ 4 2
由$-2x + 10 = \dfrac{8}{x}$,解得$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=8,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=4,\\y_2=2,\end{cases}$
∴反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象与直线$l_1:y=-2x + 10$的交点坐标为$(1,8)$和$(4,2)$,
∴当木栏总长为10 m时,能围出矩形地块,此时$AB=1$ m,$BC=8$ m或$AB=4$ m,$BC=2$ m.
(2)不能.理由如下:
∵木栏的总长为6 m,
∴$2x + y = 6$,则$y = -2x + 6$,
画出直线$y = -2x + 6$的图象,如图中直线$l_2$所示.
∵$l_2$与$y=\dfrac{8}{x}$的图象没有交点,
∴不能围出面积为8 m²的矩形地块.
(3)如图中直线$l_3$所示,$l_3$即为$y = -2x + a$的图象,
将$(2,4)$代入$y = -2x + a$,得$4 = -2×2 + a$,解得$a = 8$.
解析
【分析】
本题采用数形结合的思路将实际问题转化为函数问题求解：①第一问联立反比例函数与一次函数解析式，求解得到的交点坐标对应符合条件的矩形边长；②第二问先写出a=6时对应的一次函数解析式，通过判断该一次函数与反比例函数在第一象限是否有交点，确定能否围出符合要求的矩形；③第三问利用待定系数法，将已知点坐标代入一次函数解析式即可求出a的值。
【解析】
(1) 联立$\begin{cases}y=\dfrac{8}{x}\\y=-2x+10\end{cases}$，消去$y$得$-2x+10=\dfrac{8}{x}$，整理得$x^2-5x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。将$x=4$代入$y=-2x+10$得$y=2$，因此另一个交点为$(4,2)$，对应AB长为4m，BC长为2m。
(2) 当$a=6$时，由木栏总长关系得$2x+y=6$，即$y=-2x+6$，画出该直线后观察可得$y=-2x+6$与$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$无交点，说明不存在符合条件的边长，因此不能围出矩形地块。
(3) 将点$(2,4)$代入$y=-2x+a$，代入计算即可求出a的值，对应直线为过点(2,4)且平行于$y=-2x$的直线。
【答案】
(1) $(4,2)$；4；2
(2) 不能，理由如下：
∵木栏的总长为6 m，
∴$2x + y = 6$，则$y = -2x + 6$，
画出直线$y = -2x + 6$的图象，如图中直线$l_2$所示。
∵$l_2$与$y=\dfrac{8}{x}$的图象没有交点，
∴不能围出面积为8 m²的矩形地块。
(3) 如图中直线$l_3$所示，$l_3$即为$y = -2x + a$的图象，
将$(2,4)$代入$y = -2x + a$，得$4 = -2×2 + a$，解得$a = 8$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数的实际应用、待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际场景考查函数的应用，将几何中的矩形周长、面积问题转化为函数图象交点问题，渗透了数形结合的思想，有助于提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题采用数形结合的思路将实际问题转化为函数问题求解：①第一问联立反比例函数与一次函数解析式，求解得到的交点坐标对应符合条件的矩形边长；②第二问先写出a=6时对应的一次函数解析式，通过判断该一次函数与反比例函数在第一象限是否有交点，确定能否围出符合要求的矩形；③第三问利用待定系数法，将已知点坐标代入一次函数解析式即可求出a的值。
【解析】
(1) 联立$\begin{cases}y=\dfrac{8}{x}\\y=-2x+10\end{cases}$，消去$y$得$-2x+10=\dfrac{8}{x}$，整理得$x^2-5x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。将$x=4$代入$y=-2x+10$得$y=2$，因此另一个交点为$(4,2)$，对应AB长为4m，BC长为2m。
(2) 当$a=6$时，由木栏总长关系得$2x+y=6$，即$y=-2x+6$，画出该直线后观察可得$y=-2x+6$与$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$无交点，说明不存在符合条件的边长，因此不能围出矩形地块。
(3) 将点$(2,4)$代入$y=-2x+a$，代入计算即可求出a的值，对应直线为过点(2,4)且平行于$y=-2x$的直线。
【答案】
(1) $(4,2)$；4；2
(2) 不能，理由如下：
∵木栏的总长为6 m，
∴$2x + y = 6$，则$y = -2x + 6$，
画出直线$y = -2x + 6$的图象，如图中直线$l_2$所示。
∵$l_2$与$y=\dfrac{8}{x}$的图象没有交点，
∴不能围出面积为8 m²的矩形地块。
(3) 如图中直线$l_3$所示，$l_3$即为$y = -2x + a$的图象，
将$(2,4)$代入$y = -2x + a$，得$4 = -2×2 + a$，解得$a = 8$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数的实际应用、待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际场景考查函数的应用，将几何中的矩形周长、面积问题转化为函数图象交点问题，渗透了数形结合的思想，有助于提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
