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某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元售出,1月售出400个,2月、3月这种台灯的销量持续增加,在售价不变的情况下,3月的销量为576个.设2月、3月该台灯销量的月平均增长率不变.
(1)求2月、3月该台灯销量的月平均增长率.
(2)从4月起,在3月销量的基础上,商场决定降价促销.经调查发现,当该台灯每个的售价在35元至40元范围内时,该台灯的售价每降低1元,其销量增加12个,当该台灯的售价定为多少元时,商场4月销售这种台灯可获利4 800元?
(3)若按(2)中的条件降价销售,月利润是否可达10 560元?请说明理由.
(4)为扩大销售品类,该商场负责人去某市参加商品订货会,参加会议的每两家公司都签订了1份合同,所有参会公司共签订了36份合同,则共有多少家公司参加了该商品订货会?
(5)为迎五一劳动节,该商场负责人在商场门口摆放了一个如图所示的长方形工艺品(CD边在地上),并计划在该工艺品的中间镶上三条宽度相同的丝绸花边.已知该工艺品的长AB为3 m、宽AC为2 m,若丝绸花边的面积为3 m²,求该丝绸花边的宽.
(1)求2月、3月该台灯销量的月平均增长率.
(2)从4月起,在3月销量的基础上,商场决定降价促销.经调查发现,当该台灯每个的售价在35元至40元范围内时,该台灯的售价每降低1元,其销量增加12个,当该台灯的售价定为多少元时,商场4月销售这种台灯可获利4 800元?
(3)若按(2)中的条件降价销售,月利润是否可达10 560元?请说明理由.
(4)为扩大销售品类,该商场负责人去某市参加商品订货会,参加会议的每两家公司都签订了1份合同,所有参会公司共签订了36份合同,则共有多少家公司参加了该商品订货会?
(5)为迎五一劳动节,该商场负责人在商场门口摆放了一个如图所示的长方形工艺品(CD边在地上),并计划在该工艺品的中间镶上三条宽度相同的丝绸花边.已知该工艺品的长AB为3 m、宽AC为2 m,若丝绸花边的面积为3 m²,求该丝绸花边的宽.
答案
(1)解:设2月、3月该台灯销量的月平均增长率为x,
根据题意,得400(1+x)²=576,
解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不合题意,舍去).
答:2月、3月该台灯销量的月平均增长率为20%.
(2)解:设该台灯每个降价y元,
根据题意,得(576+12y)(40-30-y)=4 800,
解得y₁=2,y₂=-40(不合题意,舍去),
∴该台灯每个的售价为40-2=38(元).
答:当该台灯每个的售价定为38元时,商场4月销售这种台灯可获利4 800元.
(3)解:不能.理由如下:
设该台灯每台降价a元,
根据题意得,(576+12a)(40-30-a)=10 560,
整理,得a²+38a+400=0.
∵Δ=-156＜0,
∴该方程没有实数根,
∴月利润不能达到10 560元.
(4)解:设共有z家公司参加了该商品订货会,
根据题意得,$\frac{1}{2}z(z-1)=36$,
解得z₁=9,z₂=-8(不合题意,舍去).
答:共有9家公司参加了该商品订货会.
(5)解:设丝绸花边的宽为m m,
通过平移,可知剩余图形的面积为(3-2m)(2-m)=3×2-3,
解得m₁=0.5,m₂=3(不合题意,舍去).
答:该丝绸花边的宽为0.5 m.
根据题意,得400(1+x)²=576,
解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不合题意,舍去).
答:2月、3月该台灯销量的月平均增长率为20%.
(2)解:设该台灯每个降价y元,
根据题意,得(576+12y)(40-30-y)=4 800,
解得y₁=2,y₂=-40(不合题意,舍去),
∴该台灯每个的售价为40-2=38(元).
答:当该台灯每个的售价定为38元时,商场4月销售这种台灯可获利4 800元.
(3)解:不能.理由如下:
设该台灯每台降价a元,
根据题意得,(576+12a)(40-30-a)=10 560,
整理,得a²+38a+400=0.
∵Δ=-156＜0,
∴该方程没有实数根,
∴月利润不能达到10 560元.
(4)解:设共有z家公司参加了该商品订货会,
根据题意得,$\frac{1}{2}z(z-1)=36$,
解得z₁=9,z₂=-8(不合题意,舍去).
答:共有9家公司参加了该商品订货会.
(5)解:设丝绸花边的宽为m m,
通过平移,可知剩余图形的面积为(3-2m)(2-m)=3×2-3,
解得m₁=0.5,m₂=3(不合题意,舍去).
答:该丝绸花边的宽为0.5 m.
解析
【分析】
本题是一元二次方程的实际应用综合题，分5小问，解题思路如下：
(1) 属于增长率问题，核心公式为：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=最终量，n为增长次数。本题1月销量为初始量400个，3月为最终量576个，增长次数为2次，设增长率为x列方程求解，舍去不符合实际的负根即可。
(2) 属于销售利润问题，总利润=单个商品利润×销售量。设降价y元，单个利润为（原售价-进价-降价），销售量为3月销量加上降价增加的销量，根据总利润4800元列方程，舍去不合理解后计算最终售价。
(3) 同样用利润等量关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断是否有实根，若判别式小于0则方程无实根，说明利润无法达到。
(4) 属于两两签约问题，每两家签1份合同，总合同数为z家公司中选2家的组合数，即总份数=$\frac{1}{2}z(z-1)$，据此列方程求解舍去负根。
(5) 属于几何面积问题，采用平移法：将三条花边分别平移到长方形的边缘，剩余空白部分为规则矩形，空白面积=原长方形面积-花边面积，据此设花边宽为m，用含m的式子表示空白矩形的长和宽，列方程求解舍去不合理解即可。
【解析】
(1) 设2月、3月该台灯销量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：$400(1+x)^2=576$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设该台灯每个降价y元，
单个利润为：$40-30-y=10-y$（元），
4月销售量为：$576+12y$（个），
根据总利润4800元列方程：$(576+12y)(10-y)=4800$，
解得：$y_1=2$，$y_2=-40$（降价金额不能为负，不合题意，舍去），
因此售价为$40-2=38$（元）。
(3) 不能达到，理由如下：
设该台灯每台降价a元，
根据题意列方程：$(576+12a)(10-a)=10560$，
整理得：$a^2+38a+400=0$，
根的判别式$\Delta=38^2-4×1×400=1444-1600=-156＜0$，
因此该方程没有实数根，即月利润不能达到10560元。
(4) 设共有z家公司参加了该商品订货会，
每两家签订1份合同，总合同数为$\frac{1}{2}z(z-1)$，
列方程：$\frac{1}{2}z(z-1)=36$，
整理得：$z^2-z-72=0$，
解得：$z_1=9$，$z_2=-8$（公司数量不能为负，不合题意，舍去）。
(5) 设丝绸花边的宽为$m$ m，
将花边平移后，空白部分为矩形，长为$(3-2m)$ m，宽为$(2-m)$ m，空白面积为$3×2 -3=3$（$m^2$），
列方程：$(3-2m)(2-m)=3$，
整理得：$2m^2-7m+3=0$，
解得：$m_1=0.5$，$m_2=3$（花边宽不能超过工艺品宽2m，不合题意，舍去）。
【答案】
(1) 2月、3月该台灯销量的月平均增长率为20%；
(2) 当该台灯每个的售价定为38元时，商场4月销售这种台灯可获利4800元；
(3) 月利润不能达到10560元，理由见解析；
(4) 共有9家公司参加了该商品订货会；
(5) 该丝绸花边的宽为0.5m。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程根的判别式
3. 图形面积计算
【点评】
本题综合考查了一元二次方程在不同实际场景中的应用，涵盖了增长率、销售利润、两两计数、几何面积等高频考点，解题核心是找准各类场景下的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，是一元二次方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程的实际应用综合题，分5小问，解题思路如下：
(1) 属于增长率问题，核心公式为：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=最终量，n为增长次数。本题1月销量为初始量400个，3月为最终量576个，增长次数为2次，设增长率为x列方程求解，舍去不符合实际的负根即可。
(2) 属于销售利润问题，总利润=单个商品利润×销售量。设降价y元，单个利润为（原售价-进价-降价），销售量为3月销量加上降价增加的销量，根据总利润4800元列方程，舍去不合理解后计算最终售价。
(3) 同样用利润等量关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断是否有实根，若判别式小于0则方程无实根，说明利润无法达到。
(4) 属于两两签约问题，每两家签1份合同，总合同数为z家公司中选2家的组合数，即总份数=$\frac{1}{2}z(z-1)$，据此列方程求解舍去负根。
(5) 属于几何面积问题，采用平移法：将三条花边分别平移到长方形的边缘，剩余空白部分为规则矩形，空白面积=原长方形面积-花边面积，据此设花边宽为m，用含m的式子表示空白矩形的长和宽，列方程求解舍去不合理解即可。
【解析】
(1) 设2月、3月该台灯销量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：$400(1+x)^2=576$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设该台灯每个降价y元，
单个利润为：$40-30-y=10-y$（元），
4月销售量为：$576+12y$（个），
根据总利润4800元列方程：$(576+12y)(10-y)=4800$，
解得：$y_1=2$，$y_2=-40$（降价金额不能为负，不合题意，舍去），
因此售价为$40-2=38$（元）。
(3) 不能达到，理由如下：
设该台灯每台降价a元，
根据题意列方程：$(576+12a)(10-a)=10560$，
整理得：$a^2+38a+400=0$，
根的判别式$\Delta=38^2-4×1×400=1444-1600=-156＜0$，
因此该方程没有实数根，即月利润不能达到10560元。
(4) 设共有z家公司参加了该商品订货会，
每两家签订1份合同，总合同数为$\frac{1}{2}z(z-1)$，
列方程：$\frac{1}{2}z(z-1)=36$，
整理得：$z^2-z-72=0$，
解得：$z_1=9$，$z_2=-8$（公司数量不能为负，不合题意，舍去）。
(5) 设丝绸花边的宽为$m$ m，
将花边平移后，空白部分为矩形，长为$(3-2m)$ m，宽为$(2-m)$ m，空白面积为$3×2 -3=3$（$m^2$），
列方程：$(3-2m)(2-m)=3$，
整理得：$2m^2-7m+3=0$，
解得：$m_1=0.5$，$m_2=3$（花边宽不能超过工艺品宽2m，不合题意，舍去）。
【答案】
(1) 2月、3月该台灯销量的月平均增长率为20%；
(2) 当该台灯每个的售价定为38元时，商场4月销售这种台灯可获利4800元；
(3) 月利润不能达到10560元，理由见解析；
(4) 共有9家公司参加了该商品订货会；
(5) 该丝绸花边的宽为0.5m。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程根的判别式
3. 图形面积计算
【点评】
本题综合考查了一元二次方程在不同实际场景中的应用，涵盖了增长率、销售利润、两两计数、几何面积等高频考点，解题核心是找准各类场景下的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，是一元二次方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
