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9. ★★ |转化思想 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是 BC 边上的高,则下列选项中不能表示 tan B 的是 (
A.$\dfrac{AC}{AB}$
B.$\dfrac{AD}{BD}$
C.$\dfrac{CD}{AD}$
D.$\dfrac{AB}{BC}$
（第9题）
D
)A.$\dfrac{AC}{AB}$
B.$\dfrac{AD}{BD}$
C.$\dfrac{CD}{AD}$
D.$\dfrac{AB}{BC}$
（第9题）答案
9. D 解析:
∵ 在 Rt△ABC 中, ∠BAC = 90°, AD 是 BC 边上的高,
∴ △ABC, △ADB, △ADC 均为直角三角形. 又
∵ ∠C + ∠B = 90°, ∠C + ∠DAC = 90°,
∴ ∠B = ∠DAC. 在 Rt△ABC 中, tan B = $\frac{AC}{AB}$, 故 A 可以表示; 在 Rt△ABD 中, tan B = $\frac{AD}{BD}$, 故 B 可以表示; 在 Rt△ADC 中, tan B = tan∠DAC = $\frac{CD}{AD}$, 故 C 可以表示; D 不能表示 tan B. 故选 D.
∵ 在 Rt△ABC 中, ∠BAC = 90°, AD 是 BC 边上的高,
∴ △ABC, △ADB, △ADC 均为直角三角形. 又
∵ ∠C + ∠B = 90°, ∠C + ∠DAC = 90°,
∴ ∠B = ∠DAC. 在 Rt△ABC 中, tan B = $\frac{AC}{AB}$, 故 A 可以表示; 在 Rt△ABD 中, tan B = $\frac{AD}{BD}$, 故 B 可以表示; 在 Rt△ADC 中, tan B = tan∠DAC = $\frac{CD}{AD}$, 故 C 可以表示; D 不能表示 tan B. 故选 D.
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。再结合已知条件推导和∠B相等的角：由∠BAC=90°、AD是BC边上的高可得∠B和∠DAC都是∠C的余角，因此∠B=∠DAC。接下来分别在包含∠B或∠DAC的直角三角形中表示出tanB，和各选项逐一对比，排除能表示的选项，即可得到答案。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°，即△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形。
∵ ∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴ ∠B=∠DAC。
对各选项逐一判断：
A. 在Rt△ABC中，$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{AB}$，可以表示$\tan B$，不符合题意；
B. 在Rt△ABD中，$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AD}{BD}$，可以表示$\tan B$，不符合题意；
C. 由$∠ B=∠ DAC$得$\tan B=\tan∠ DAC$，在Rt△ADC中，$\tan∠ DAC=\frac{∠DAC的对边}{∠DAC的邻边}=\frac{CD}{AD}$，可以表示$\tan B$，不符合题意；
D. 在Rt△ABC中，$\frac{AB}{BC}=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\cos B$，不能表示$\tan B$，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；同角的余角相等；直角三角形的性质
【点评】
本题主要考查正切的计算，核心是运用转化思想，借助等角的正切值相等，在不同直角三角形中表示$\tan B$，解题时要注意区分锐角三角函数对应的边的关系，避免混淆对边、邻边和斜边。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆锐角正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。再结合已知条件推导和∠B相等的角：由∠BAC=90°、AD是BC边上的高可得∠B和∠DAC都是∠C的余角，因此∠B=∠DAC。接下来分别在包含∠B或∠DAC的直角三角形中表示出tanB，和各选项逐一对比，排除能表示的选项，即可得到答案。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°，即△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形。
∵ ∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴ ∠B=∠DAC。
对各选项逐一判断：
A. 在Rt△ABC中，$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{AB}$，可以表示$\tan B$，不符合题意；
B. 在Rt△ABD中，$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AD}{BD}$，可以表示$\tan B$，不符合题意；
C. 由$∠ B=∠ DAC$得$\tan B=\tan∠ DAC$，在Rt△ADC中，$\tan∠ DAC=\frac{∠DAC的对边}{∠DAC的邻边}=\frac{CD}{AD}$，可以表示$\tan B$，不符合题意；
D. 在Rt△ABC中，$\frac{AB}{BC}=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\cos B$，不能表示$\tan B$，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；同角的余角相等；直角三角形的性质
【点评】
本题主要考查正切的计算，核心是运用转化思想，借助等角的正切值相等，在不同直角三角形中表示$\tan B$，解题时要注意区分锐角三角函数对应的边的关系，避免混淆对边、邻边和斜边。
【难度系数】
0.7
10. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,D为AB的中点,将线段BD沿射线BC方向平移得到线段CE,连接AE,DE.若$AD=3$,$AE=4$,$AB ⊥ AE$,垂足为A,则$\tan∠ BAC$的值是 (
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{3}{5}$
A
)A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{3}{5}$
答案
10. A 解析:连接 CD,如图所示.
∵ D 为 AB 的中点,
∴ AD = BD.
∵ 线段 BD 沿射线 BC 方向平移得到线段 CE,
∴ BD // CE, BD = CE,
∴ AB // CE, AD = CE,
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
∵ AB ⊥ AE,
∴ 四边形 ADCE 是矩形,
∴ ∠ADC = 90°, AE = CD.
∵ AE = 4, AD = 3,
∴ tan∠BAC = $\frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$,故选 A.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由D是AB中点可得AD=BD，再结合平移的性质，平移后线段平行且相等，可得BD与CE平行且相等，进而推出AD与CE平行且相等，即可判定四边形ADCE是平行四边形；再结合AB⊥AE的条件，可判定该平行四边形是矩形，得到CD=AE且CD⊥AB；最后在Rt△ADC中，根据正切的定义（正切值为角的对边与邻边的比值），代入对应数值即可求出tan∠BAC的值。
【解析】
解：连接CD，如图所示。
∵ D为AB的中点，
∴ $AD = BD$。
∵ 线段BD沿射线BC方向平移得到线段CE，
∴ $BD // CE$，$BD = CE$，
∴ $AB // CE$，$AD = CE$，
∴ 四边形ADCE是平行四边形。
∵ $AB ⊥ AE$，即$∠ DAE=90°$，
∴ 平行四边形ADCE是矩形，
∴ $∠ ADC = 90°$，$CD = AE$。
∵ $AE = 4$，$AD = 3$，
∴ 在$Rt△ ADC$中，$\tan∠ BAC = \frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，矩形的判定与性质，正切的定义
【点评】
本题属于几何综合小题，将平移、特殊四边形的判定与性质、锐角三角函数的知识结合考查，解题的关键是合理作出辅助线，证明四边形ADCE为矩形，进而将已知条件转化到直角三角形中计算三角函数值。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由D是AB中点可得AD=BD，再结合平移的性质，平移后线段平行且相等，可得BD与CE平行且相等，进而推出AD与CE平行且相等，即可判定四边形ADCE是平行四边形；再结合AB⊥AE的条件，可判定该平行四边形是矩形，得到CD=AE且CD⊥AB；最后在Rt△ADC中，根据正切的定义（正切值为角的对边与邻边的比值），代入对应数值即可求出tan∠BAC的值。
【解析】
解：连接CD，如图所示。
∵ D为AB的中点，
∴ $AD = BD$。
∵ 线段BD沿射线BC方向平移得到线段CE，
∴ $BD // CE$，$BD = CE$，
∴ $AB // CE$，$AD = CE$，
∴ 四边形ADCE是平行四边形。
∵ $AB ⊥ AE$，即$∠ DAE=90°$，
∴ 平行四边形ADCE是矩形，
∴ $∠ ADC = 90°$，$CD = AE$。
∵ $AE = 4$，$AD = 3$，
∴ 在$Rt△ ADC$中，$\tan∠ BAC = \frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，矩形的判定与性质，正切的定义
【点评】
本题属于几何综合小题，将平移、特殊四边形的判定与性质、锐角三角函数的知识结合考查，解题的关键是合理作出辅助线，证明四边形ADCE为矩形，进而将已知条件转化到直角三角形中计算三角函数值。
【难度系数】
0.7
11. ★★★ (2024·江西中考)将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB=
$\frac{1}{2}$
。答案
11. $\frac{1}{2}$ 解析:如图①,设等腰直角△MNQ 的直角边为 a,则 MQ = $\sqrt{2}a$,小正方形的边长为 a,
∴ MP = 2a,
∴ EM = $\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}a$,
∴ MT = EM = $2\sqrt{2}a$,
∴ QT = $2\sqrt{2}a-\sqrt{2}a=\sqrt{2}a$. 如图②,过点 C 作 CH ⊥ AB 的延长线于点 H,则 CH = BD, BH = CD, 由图①可得, AB = BD = $2\sqrt{2}a$, CD = $\sqrt{2}a+\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a$,
∴ CH = $2\sqrt{2}a$, BH = $2\sqrt{2}a$,
∴ AH = $2\sqrt{2}a+2\sqrt{2}a=4\sqrt{2}a$,
∴ tan∠CAB = $\frac{CH}{AH}=\frac{2\sqrt{2}a}{4\sqrt{2}a}=\frac{1}{2}$,故答案为 $\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要求$\tan∠ CAB$的值，根据正切的定义，需构造包含$∠ CAB$的直角三角形，因此过点C作AB延长线的垂线CH，得到$\mathrm{Rt}△ ACH$。接下来利用七巧板各部件边长的比例关系，设最小的等腰直角三角形直角边长为参数$a$，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质，逐步推导得到图②中$AH$、$CH$的长度，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
设图①中最小的等腰直角三角形的直角边长为$a$，
由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：小等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}a$，小正方形的边长为$a$，
则大正方形EMTQ的边长$EM=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}a$。
在图②中，过点C作$CH⊥ AB$，交AB的延长线于点H，
结合七巧板拼接的边长对应关系可得：
$AB=BD=CH=2\sqrt{2}a$，$BH=CD=\sqrt{2}a+\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a$，
因此$AH=AB+BH=2\sqrt{2}a+2\sqrt{2}a=4\sqrt{2}a$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$\tan∠ CAB=\frac{CH}{AH}=\frac{2\sqrt{2}a}{4\sqrt{2}a}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题结合七巧板的拼接问题考查锐角三角函数的计算，解题的核心是通过设参数明确七巧板各部分的边长关系，再结合正切的定义求解，既考查了几何图形的基本性质，也渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠ CAB$的值，根据正切的定义，需构造包含$∠ CAB$的直角三角形，因此过点C作AB延长线的垂线CH，得到$\mathrm{Rt}△ ACH$。接下来利用七巧板各部件边长的比例关系，设最小的等腰直角三角形直角边长为参数$a$，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质，逐步推导得到图②中$AH$、$CH$的长度，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
设图①中最小的等腰直角三角形的直角边长为$a$，
由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：小等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}a$，小正方形的边长为$a$，
则大正方形EMTQ的边长$EM=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}a$。
在图②中，过点C作$CH⊥ AB$，交AB的延长线于点H，
结合七巧板拼接的边长对应关系可得：
$AB=BD=CH=2\sqrt{2}a$，$BH=CD=\sqrt{2}a+\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a$，
因此$AH=AB+BH=2\sqrt{2}a+2\sqrt{2}a=4\sqrt{2}a$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$\tan∠ CAB=\frac{CH}{AH}=\frac{2\sqrt{2}a}{4\sqrt{2}a}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题结合七巧板的拼接问题考查锐角三角函数的计算，解题的核心是通过设参数明确七巧板各部分的边长关系，再结合正切的定义求解，既考查了几何图形的基本性质，也渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
12. 如图，某小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13 m，它的坡度为$i=1:2.4$，$AB ⊥ BC$，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为$13°$，即$∠ ADC=13°$（此时点B，C，D在同一直线上）。
(1)求这个车库的高度AB；
(2)求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离。（结果精确到0.1 m，参考数据：$\tan 13° \approx 0.231$）
(1)求这个车库的高度AB；
(2)求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离。（结果精确到0.1 m，参考数据：$\tan 13° \approx 0.231$）
答案
12. (1)由题意,得 ∠ABC = 90°, i = 1:2.4,
∴ 在 Rt△ABC 中, i = $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{12}$,设 AB = 5x,则 BC = 12x.
∵ AB² + BC² = AC²,
∴ AC = 13x.
∵ AC = 13 m,
∴ x = 1,
∴ AB = 5 m. 故这个车库的高度 AB 为 5 m.
(2)由(1)得 BC = 12 m, 在 Rt△ABD 中, tan∠ADC = $\frac{AB}{DB}$.
∵ ∠ADC = 13°, AB = 5 m,
∴ DB = $\frac{5}{\tan13°}≈21.6$(m),
∴ DC = DB - BC = 21.6 - 12 = 9.6(m). 故斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离为 9.6 m.
∴ 在 Rt△ABC 中, i = $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{12}$,设 AB = 5x,则 BC = 12x.
∵ AB² + BC² = AC²,
∴ AC = 13x.
∵ AC = 13 m,
∴ x = 1,
∴ AB = 5 m. 故这个车库的高度 AB 为 5 m.
(2)由(1)得 BC = 12 m, 在 Rt△ABD 中, tan∠ADC = $\frac{AB}{DB}$.
∵ ∠ADC = 13°, AB = 5 m,
∴ DB = $\frac{5}{\tan13°}≈21.6$(m),
∴ DC = DB - BC = 21.6 - 12 = 9.6(m). 故斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离为 9.6 m.
解析
【分析】
(1) 求车库高度AB时，首先明确△ABC是直角三角形，已知坡度i是垂直高度AB与水平宽度BC的比值，同时已知斜边AC的长度，因此可通过设未知数，结合勾股定理建立方程求解AB。(2) 求DC的长度时，DC=DB-BC，BC可由第一问结论得到，DB是新斜坡的水平宽度，在Rt△ABD中，已知坡角∠ADC和高度AB，可利用正切的定义求出DB，再减去BC即可得到DC的长度。
【解析】
(1) 由题意得$∠ ABC=90°$，坡度$i=\frac{AB}{BC}=1:2.4=\frac{5}{12}$，
设$AB=5x$，则$BC=12x$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，
即$(5x)^2+(12x)^2=13^2$，解得$13x=13$，即$x=1$，
$\therefore AB=5x=5\ \mathrm{m}$。
(2) 由(1)可知$BC=12x=12\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADC=13°$，$\tan∠ ADC=\frac{AB}{DB}$，
$\therefore DB=\frac{AB}{\tan13°}\approx\frac{5}{0.231}\approx21.6\ \mathrm{m}$，
$\because$点$B、C、D$在同一直线上，
$\therefore DC=DB-BC=21.6-12=9.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 这个车库的高度$AB$为$5\ \mathrm{m}$；
(2) 斜坡改进后的起点$D$与原起点$C$的距离约为$9.6\ \mathrm{m}$。
【知识点】
坡度坡角问题，勾股定理，正切的应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题核心是理解坡度的定义，灵活运用勾股定理和锐角三角函数求解对应边长，解题时需理清所求线段与已知线段的和差关系。
【难度系数】
0.7
(1) 求车库高度AB时，首先明确△ABC是直角三角形，已知坡度i是垂直高度AB与水平宽度BC的比值，同时已知斜边AC的长度，因此可通过设未知数，结合勾股定理建立方程求解AB。(2) 求DC的长度时，DC=DB-BC，BC可由第一问结论得到，DB是新斜坡的水平宽度，在Rt△ABD中，已知坡角∠ADC和高度AB，可利用正切的定义求出DB，再减去BC即可得到DC的长度。
【解析】
(1) 由题意得$∠ ABC=90°$，坡度$i=\frac{AB}{BC}=1:2.4=\frac{5}{12}$，
设$AB=5x$，则$BC=12x$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，
即$(5x)^2+(12x)^2=13^2$，解得$13x=13$，即$x=1$，
$\therefore AB=5x=5\ \mathrm{m}$。
(2) 由(1)可知$BC=12x=12\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADC=13°$，$\tan∠ ADC=\frac{AB}{DB}$，
$\therefore DB=\frac{AB}{\tan13°}\approx\frac{5}{0.231}\approx21.6\ \mathrm{m}$，
$\because$点$B、C、D$在同一直线上，
$\therefore DC=DB-BC=21.6-12=9.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 这个车库的高度$AB$为$5\ \mathrm{m}$；
(2) 斜坡改进后的起点$D$与原起点$C$的距离约为$9.6\ \mathrm{m}$。
【知识点】
坡度坡角问题，勾股定理，正切的应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题核心是理解坡度的定义，灵活运用勾股定理和锐角三角函数求解对应边长，解题时需理清所求线段与已知线段的和差关系。
【难度系数】
0.7
13. ★★★ 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°, AD//BC, BC = $\frac{1}{2}$AD, AC与BD交于点E, AC⊥BD,求tan∠BAC的值. 
答案
13.
∵ AD // BC, ∠DAB = 90°,
∴ ∠ABC = 90°, ∠BAC + ∠EAD = 90°.
∵ AC ⊥ BD,
∴ ∠AED = 90°,
∴ ∠ADB + ∠EAD = 90°,
∴ ∠BAC = ∠ADB,
∴ △ABC ∽ △DAB,
∴ $\frac{AB}{DA}=\frac{BC}{AB}$.
∵ BC = $\frac{1}{2}$AD,
∴ AD = 2BC,
∴ AB² = BC · AD = BC · 2BC = 2BC²,
∴ AB = $\sqrt{2}$BC. 在 Rt△ABC 中, tan∠BAC = $\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{\sqrt{2}BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵ AD // BC, ∠DAB = 90°,
∴ ∠ABC = 90°, ∠BAC + ∠EAD = 90°.
∵ AC ⊥ BD,
∴ ∠AED = 90°,
∴ ∠ADB + ∠EAD = 90°,
∴ ∠BAC = ∠ADB,
∴ △ABC ∽ △DAB,
∴ $\frac{AB}{DA}=\frac{BC}{AB}$.
∵ BC = $\frac{1}{2}$AD,
∴ AD = 2BC,
∴ AB² = BC · AD = BC · 2BC = 2BC²,
∴ AB = $\sqrt{2}$BC. 在 Rt△ABC 中, tan∠BAC = $\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{\sqrt{2}BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
要求$\tan∠ BAC$的值，首先观察到$∠ BAC$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据正切的定义，只需要求出$\mathrm{Rt}△ ABC$中$BC$与$AB$的比值即可。首先利用$AD// BC$、$∠ DAB=90°$可推出$∠ ABC=90°$；再结合$AC⊥ BD$，利用同角的余角相等可推出$∠ BAC=∠ ADB$，即可证明$△ ABC∽△ DAB$，再根据相似三角形对应边成比例，结合$BC=\frac{1}{2}AD$的条件，就能推导出$AB$与$BC$的数量关系，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
$\because AD// BC$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ DAB=90°$，$∠ BAC+∠ EAD=90°$。
$\because AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADB+∠ EAD=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ADB$，
又$\because ∠ ABC=∠ DAB=90°$，
$\therefore △ ABC∽△ DAB$，
$\therefore \frac{AB}{DA}=\frac{BC}{AB}$，即$AB^2=BC· AD$。
$\because BC=\frac{1}{2}AD$，
$\therefore AD=2BC$，
代入得$AB^2=BC· 2BC=2BC^2$，
$\because AB$、$BC$均为正数，
$\therefore AB=\sqrt{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{\sqrt{2}BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义
【点评】
本题综合考查了几何中角的推导、三角形相似和锐角三角函数的相关知识，解题的突破口是利用互余角的关系证明角相等，进而得到相似三角形，建立边之间的比例关系，是一道典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠ BAC$的值，首先观察到$∠ BAC$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据正切的定义，只需要求出$\mathrm{Rt}△ ABC$中$BC$与$AB$的比值即可。首先利用$AD// BC$、$∠ DAB=90°$可推出$∠ ABC=90°$；再结合$AC⊥ BD$，利用同角的余角相等可推出$∠ BAC=∠ ADB$，即可证明$△ ABC∽△ DAB$，再根据相似三角形对应边成比例，结合$BC=\frac{1}{2}AD$的条件，就能推导出$AB$与$BC$的数量关系，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
$\because AD// BC$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ DAB=90°$，$∠ BAC+∠ EAD=90°$。
$\because AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADB+∠ EAD=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ADB$，
又$\because ∠ ABC=∠ DAB=90°$，
$\therefore △ ABC∽△ DAB$，
$\therefore \frac{AB}{DA}=\frac{BC}{AB}$，即$AB^2=BC· AD$。
$\because BC=\frac{1}{2}AD$，
$\therefore AD=2BC$，
代入得$AB^2=BC· 2BC=2BC^2$，
$\because AB$、$BC$均为正数，
$\therefore AB=\sqrt{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{\sqrt{2}BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义
【点评】
本题综合考查了几何中角的推导、三角形相似和锐角三角函数的相关知识，解题的突破口是利用互余角的关系证明角相等，进而得到相似三角形，建立边之间的比例关系，是一道典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
14. ★★ (成都中考)如图,在矩形ABCD中, AD=nAB(n＞1),点E是AD边上一动点(点E不与A,D重合),连接BE,以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFG∽矩形ABCD,EG交直线CD于点H.
【尝试初探】(1)在点E的运动过程中,△ABE与△DEH始终保持相似关系,请说明理由;
【深入探究】(2)若n=2,随着点E位置的变化,点H的位置随之发生变化,当点H是线段CD中点时,求tan∠ABE的值;
【拓展延伸】(3)连接BH,FH,当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时,求tan∠ABE的值(用含n的代数式表示).
【尝试初探】(1)在点E的运动过程中,△ABE与△DEH始终保持相似关系,请说明理由;
【深入探究】(2)若n=2,随着点E位置的变化,点H的位置随之发生变化,当点H是线段CD中点时,求tan∠ABE的值;
【拓展延伸】(3)连接BH,FH,当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时,求tan∠ABE的值(用含n的代数式表示).
答案
14. (1) 根据题意得 ∠A = ∠D = ∠BEG = 90°,
∴ ∠AEB + ∠DEH = 90°, ∠AEB + ∠ABE = 90°,
∴ ∠DEH = ∠ABE,
∴ △ABE∽△DEH.
(2) 根据题意得 AB = 2DH, AD = 2AB,
∴ AD = 4DH. 设 DH = x, AE = a, 则 AB = 2x, AD = 4x,
∴ DE = 4x - a.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DH}$,
∴ $\frac{2x}{4x-a}=\frac{a}{x}$, 解得 $x=\frac{(2+\sqrt{2})a}{2}$ 或 $\frac{(2-\sqrt{2})a}{2}$,
∴ AB = $(2+\sqrt{2})a$ 或 $(2-\sqrt{2})a$,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
(3)
∵ 矩形 EBFG∽矩形 ABCD, AD = nAB (n＞1),
∴ EG = nBE. 如图①, 当 FH = BH 时,
∵ ∠BEH = ∠FGH = 90°, BE = FG,
∴ Rt△BEH ≅ Rt△FGH,
∴ EH = GH = $\frac{1}{2}$EG,
∴ EH = $\frac{n}{2}$BE.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=\frac{n}{2}$, 即 DE = $\frac{n}{2}$AB,
∴ AE = AD - DE = $\frac{n}{2}$AB,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\frac{n}{2}$.
如图②, 当 FH = BF = nBE 时, HG = $\sqrt{FH^2-FG^2}=\sqrt{n^2-1}·FG=\sqrt{n^2-1}BE$,
∴ EH = EG - HG = $(n-\sqrt{n^2-1})BE$.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=n-\sqrt{n^2-1}$, 即 DE = $(n-\sqrt{n^2-1})AB$,
∴ AE = AD - DE = $\sqrt{n^2-1}AB$,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\sqrt{n^2-1}$. 综上所述, tan∠ABE 的值为 $\frac{n}{2}$ 或 $\sqrt{n^2-1}$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE∽△DEH，先利用矩形性质得到∠A、∠D、∠BEG均为直角，再通过同角的余角相等推出一组对应角相等，即可用两角对应相等判定两三角形相似。
(2) 当n=2、H为CD中点时，先得出各边的倍数关系，设参数表示各边长度，利用(1)的相似结论列比例方程求解，再根据正切的定义计算tan∠ABE的值。
(3) △BFH以FH为腰，分FH=BH和FH=BF两种情况讨论：先根据矩形相似得到边的比例关系，分别结合全等三角形、勾股定理求出EH的长度，再结合相似三角形的比例关系求出AE与AB的比值，即tan∠ABE的值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵四边形EBFG是矩形，
∴∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=180°-∠BEG=90°，
又
∵Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH。
(2) 解：当n=2时，AD=2AB，
∵H是CD中点，CD=AB，
∴AB=2DH，即AD=4DH。
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，DE=4x-a，
由△ABE∽△DEH得$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DH}$，
代入得$\frac{2x}{4x-a}=\frac{a}{x}$，整理得$2x^2-4ax+a^2=0$，
解得$x=\frac{(2±\sqrt{2})a}{2}$，
∴AB=2x=$(2±\sqrt{2})a$，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\frac{a}{(2±\sqrt{2})a}=\frac{2∓\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$。
(3) 解：
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，AD=nAB，
∴$\frac{EG}{BE}=\frac{AD}{AB}=n$，即EG=nBE，且BE=FG。
分两种情况讨论：
① 当FH=BH时，在Rt△BEH和Rt△FGH中，$\begin{cases}BH=FH\\BE=FG\end{cases}$，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH(HL)，
∴EH=GH=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{n}{2}$BE，
由△ABE∽△DEH得$\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=\frac{n}{2}$，即DE=$\frac{n}{2}$AB，
∴AE=AD-DE=nAB-$\frac{n}{2}$AB=$\frac{n}{2}$AB，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\frac{n}{2}$。
② 当FH=BF时，矩形EBFG中BF=EG=nBE，故FH=nBE，
在Rt△FGH中，由勾股定理得HG=$\sqrt{FH^2-FG^2}=\sqrt{n^2BE^2-BE^2}=\sqrt{n^2-1}·BE$，
∴EH=EG-HG=$(n-\sqrt{n^2-1})BE$，
由△ABE∽△DEH得$\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=n-\sqrt{n^2-1}$，即DE=$(n-\sqrt{n^2-1})AB$，
∴AE=AD-DE=nAB-$(n-\sqrt{n^2-1})AB=\sqrt{n^2-1}·AB$，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\sqrt{n^2-1}$。
综上，tan∠ABE的值为$\frac{n}{2}$或$\sqrt{n^2-1}$。
【答案】
14. (1) 根据题意得 ∠A = ∠D = ∠BEG = 90°,
∴ ∠AEB + ∠DEH = 90°, ∠AEB + ∠ABE = 90°,
∴ ∠DEH = ∠ABE,
∴ △ABE∽△DEH.
(2) 根据题意得 AB = 2DH, AD = 2AB,
∴ AD = 4DH. 设 DH = x, AE = a, 则 AB = 2x, AD = 4x,
∴ DE = 4x - a.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DH}$,
∴ $\frac{2x}{4x-a}=\frac{a}{x}$, 解得 $x=\frac{(2+\sqrt{2})a}{2}$ 或 $\frac{(2-\sqrt{2})a}{2}$,
∴ AB = $(2+\sqrt{2})a$ 或 $(2-\sqrt{2})a$,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
(3)
∵ 矩形 EBFG∽矩形 ABCD, AD = nAB (n＞1),
∴ EG = nBE. 如图①, 当 FH = BH 时,
∵ ∠BEH = ∠FGH = 90°, BE = FG,
∴ Rt△BEH ≅ Rt△FGH,
∴ EH = GH = $\frac{1}{2}$EG,
∴ EH = $\frac{n}{2}$BE.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=\frac{n}{2}$, 即 DE = $\frac{n}{2}$AB,
∴ AE = AD - DE = $\frac{n}{2}$AB,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\frac{n}{2}$.
如图②, 当 FH = BF = nBE 时, HG = $\sqrt{FH^2-FG^2}=\sqrt{n^2-1}·FG=\sqrt{n^2-1}BE$,
∴ EH = EG - HG = $(n-\sqrt{n^2-1})BE$.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=n-\sqrt{n^2-1}$, 即 DE = $(n-\sqrt{n^2-1})AB$,
∴ AE = AD - DE = $\sqrt{n^2-1}AB$,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\sqrt{n^2-1}$. 综上所述, tan∠ABE 的值为 $\frac{n}{2}$ 或 $\sqrt{n^2-1}$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题为几何综合题，融合了矩形相似、三角形相似、等腰三角形性质等多个考点，重点考查逻辑推理能力和分类讨论思想，解题时需注意不要漏解等腰三角形的情况。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明△ABE∽△DEH，先利用矩形性质得到∠A、∠D、∠BEG均为直角，再通过同角的余角相等推出一组对应角相等，即可用两角对应相等判定两三角形相似。
(2) 当n=2、H为CD中点时，先得出各边的倍数关系，设参数表示各边长度，利用(1)的相似结论列比例方程求解，再根据正切的定义计算tan∠ABE的值。
(3) △BFH以FH为腰，分FH=BH和FH=BF两种情况讨论：先根据矩形相似得到边的比例关系，分别结合全等三角形、勾股定理求出EH的长度，再结合相似三角形的比例关系求出AE与AB的比值，即tan∠ABE的值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵四边形EBFG是矩形，
∴∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=180°-∠BEG=90°，
又
∵Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH。
(2) 解：当n=2时，AD=2AB，
∵H是CD中点，CD=AB，
∴AB=2DH，即AD=4DH。
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，DE=4x-a，
由△ABE∽△DEH得$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DH}$，
代入得$\frac{2x}{4x-a}=\frac{a}{x}$，整理得$2x^2-4ax+a^2=0$，
解得$x=\frac{(2±\sqrt{2})a}{2}$，
∴AB=2x=$(2±\sqrt{2})a$，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\frac{a}{(2±\sqrt{2})a}=\frac{2∓\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$。
(3) 解：
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，AD=nAB，
∴$\frac{EG}{BE}=\frac{AD}{AB}=n$，即EG=nBE，且BE=FG。
分两种情况讨论：
① 当FH=BH时，在Rt△BEH和Rt△FGH中，$\begin{cases}BH=FH\\BE=FG\end{cases}$，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH(HL)，
∴EH=GH=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{n}{2}$BE，
由△ABE∽△DEH得$\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=\frac{n}{2}$，即DE=$\frac{n}{2}$AB，
∴AE=AD-DE=nAB-$\frac{n}{2}$AB=$\frac{n}{2}$AB，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\frac{n}{2}$。
② 当FH=BF时，矩形EBFG中BF=EG=nBE，故FH=nBE，
在Rt△FGH中，由勾股定理得HG=$\sqrt{FH^2-FG^2}=\sqrt{n^2BE^2-BE^2}=\sqrt{n^2-1}·BE$，
∴EH=EG-HG=$(n-\sqrt{n^2-1})BE$，
由△ABE∽△DEH得$\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=n-\sqrt{n^2-1}$，即DE=$(n-\sqrt{n^2-1})AB$，
∴AE=AD-DE=nAB-$(n-\sqrt{n^2-1})AB=\sqrt{n^2-1}·AB$，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\sqrt{n^2-1}$。
综上，tan∠ABE的值为$\frac{n}{2}$或$\sqrt{n^2-1}$。
【答案】
14. (1) 根据题意得 ∠A = ∠D = ∠BEG = 90°,
∴ ∠AEB + ∠DEH = 90°, ∠AEB + ∠ABE = 90°,
∴ ∠DEH = ∠ABE,
∴ △ABE∽△DEH.
(2) 根据题意得 AB = 2DH, AD = 2AB,
∴ AD = 4DH. 设 DH = x, AE = a, 则 AB = 2x, AD = 4x,
∴ DE = 4x - a.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DH}$,
∴ $\frac{2x}{4x-a}=\frac{a}{x}$, 解得 $x=\frac{(2+\sqrt{2})a}{2}$ 或 $\frac{(2-\sqrt{2})a}{2}$,
∴ AB = $(2+\sqrt{2})a$ 或 $(2-\sqrt{2})a$,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
(3)
∵ 矩形 EBFG∽矩形 ABCD, AD = nAB (n＞1),
∴ EG = nBE. 如图①, 当 FH = BH 时,
∵ ∠BEH = ∠FGH = 90°, BE = FG,
∴ Rt△BEH ≅ Rt△FGH,
∴ EH = GH = $\frac{1}{2}$EG,
∴ EH = $\frac{n}{2}$BE.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=\frac{n}{2}$, 即 DE = $\frac{n}{2}$AB,
∴ AE = AD - DE = $\frac{n}{2}$AB,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\frac{n}{2}$.
如图②, 当 FH = BF = nBE 时, HG = $\sqrt{FH^2-FG^2}=\sqrt{n^2-1}·FG=\sqrt{n^2-1}BE$,
∴ EH = EG - HG = $(n-\sqrt{n^2-1})BE$.
∵ △ABE∽△DEH,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EH}{BE}=n-\sqrt{n^2-1}$, 即 DE = $(n-\sqrt{n^2-1})AB$,
∴ AE = AD - DE = $\sqrt{n^2-1}AB$,
∴ tan∠ABE = $\frac{AE}{AB}=\sqrt{n^2-1}$. 综上所述, tan∠ABE 的值为 $\frac{n}{2}$ 或 $\sqrt{n^2-1}$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题为几何综合题，融合了矩形相似、三角形相似、等腰三角形性质等多个考点，重点考查逻辑推理能力和分类讨论思想，解题时需注意不要漏解等腰三角形的情况。
【难度系数】
0.3
