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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，则$\sin A$等于（
A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$
A
）A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
1. A 解析:
∵ 在 Rt△ABC 中,∠ C=90°,AC=2,BC=1,
∴ AB=$\sqrt{5}$,$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,故选 A.
∵ 在 Rt△ABC 中,∠ C=90°,AC=2,BC=1,
∴ AB=$\sqrt{5}$,$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,故选 A.
解析
【分析】
要计算直角三角形中锐角的正弦值，首先需明确锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。本题中∠A的对边已知，斜边未知，因此第一步先用勾股定理求出斜边AB的长度，第二步再根据正弦定义代入计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，
∴ 由勾股定理可得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∠A的对边为BC，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，主要考查对正弦概念的理解和勾股定理的应用，解题时需注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆比值对应的边的关系。
【难度系数】
0.9
要计算直角三角形中锐角的正弦值，首先需明确锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。本题中∠A的对边已知，斜边未知，因此第一步先用勾股定理求出斜边AB的长度，第二步再根据正弦定义代入计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，
∴ 由勾股定理可得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∠A的对边为BC，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，主要考查对正弦概念的理解和勾股定理的应用，解题时需注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆比值对应的边的关系。
【难度系数】
0.9
2. (雅安中考)如图,在$Rt△ ACB$中,$∠ C=90°$,$\sin B=0.5$,若$AC=6$,则$BC$的长为 (
A.8
B.12
C.$6\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
C
)A.8
B.12
C.$6\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
答案
2. C 解析:
∵ 在 Rt△ACB 中,∠ C=90°,sin B=0.5,AC=6,
∴ $AB=\dfrac{AC}{\sin B}=12$,根据勾股定理得 $BC=6\sqrt{3}$,故选 C.
∵ 在 Rt△ACB 中,∠ C=90°,sin B=0.5,AC=6,
∴ $AB=\dfrac{AC}{\sin B}=12$,根据勾股定理得 $BC=6\sqrt{3}$,故选 C.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础题型，解题可分两步思考：第一步，回忆正弦的定义，直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，已知∠B的正弦值和它的对边AC的长度，可先求出斜边AB的长度；第二步，直角三角形中已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边BC的长度。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin B=\dfrac{AC}{AB}$
已知$\sin B=0.5$，$AC=6$，代入得：
$0.5=\dfrac{6}{AB}$，解得$AB=\dfrac{6}{0.5}=12$
再根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，核心考查锐角正弦的定义和勾股定理的应用，计算难度低，是考试中常见的得分类题型。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形的基础题型，解题可分两步思考：第一步，回忆正弦的定义，直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，已知∠B的正弦值和它的对边AC的长度，可先求出斜边AB的长度；第二步，直角三角形中已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边BC的长度。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin B=\dfrac{AC}{AB}$
已知$\sin B=0.5$，$AC=6$，代入得：
$0.5=\dfrac{6}{AB}$，解得$AB=\dfrac{6}{0.5}=12$
再根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，核心考查锐角正弦的定义和勾股定理的应用，计算难度低，是考试中常见的得分类题型。
【难度系数】
0.8
3. (聊城中考改编)如图,在$4×5$的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,$△ABC$的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么$\sin∠ACB$的值为
$\dfrac{4}{5}$
.答案
3. $\dfrac{4}{5}$ 解析:根据网格图形得 $\sin∠ ACB=\dfrac{4}{5}$.
解析
【分析】
要求$\sin∠ ACB$的值，需结合正弦的定义，构造包含$∠ ACB$的直角三角形，找到$∠ ACB$的对边和斜边的长度再求比值。解题时先过点A作BC的垂线，借助网格特征和勾股定理求出对应线段的长度，最后代入正弦公式计算即可。
【解析】
解：过点$A$作$AH⊥ BC$，垂足为$H$。
由网格特征可得：水平方向点$A$到点$C$的距离为4，竖直方向点$A$到点$C$的距离为3，
根据勾股定理可得$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
同时可得$AH$为点$A$到$BC$的水平距离，长度为4。
在$\mathrm{Rt}△ AHC$中，根据正弦的定义：
$\sin∠ ACB=\dfrac{∠ ACB\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的相关计算，解题关键是正确构造直角三角形，结合勾股定理求出对应线段长度，属于基础类考题，解题时注意结合网格特点确定线段长度即可。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠ ACB$的值，需结合正弦的定义，构造包含$∠ ACB$的直角三角形，找到$∠ ACB$的对边和斜边的长度再求比值。解题时先过点A作BC的垂线，借助网格特征和勾股定理求出对应线段的长度，最后代入正弦公式计算即可。
【解析】
解：过点$A$作$AH⊥ BC$，垂足为$H$。
由网格特征可得：水平方向点$A$到点$C$的距离为4，竖直方向点$A$到点$C$的距离为3，
根据勾股定理可得$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
同时可得$AH$为点$A$到$BC$的水平距离，长度为4。
在$\mathrm{Rt}△ AHC$中，根据正弦的定义：
$\sin∠ ACB=\dfrac{∠ ACB\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的相关计算，解题关键是正确构造直角三角形，结合勾股定理求出对应线段长度，属于基础类考题，解题时注意结合网格特点确定线段长度即可。
【难度系数】
0.7
4. ★★ 如图,正方形ABCD的边长为1,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CB的延长线上的D'处,连接AD',则$\sin D'=$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
. 答案
4. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 解析:根据题意得 AB = 1, DB = D' B = $\sqrt{2}$,
∴ AD' = $\sqrt{3}$,
∴ $\sin D'=\dfrac{AB}{AD'}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
∴ AD' = $\sqrt{3}$,
∴ $\sin D'=\dfrac{AB}{AD'}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
要求$\sin D'$，需先将$∠ D'$放在直角三角形中利用正弦定义求解。首先根据正方形性质求出对角线$BD$的长度，再结合旋转的性质得到$BD'=BD$，由点$D'$在$CB$延长线可知$△ ABD'$是直角三角形，利用勾股定理求出斜边$AD'$的长度，最后根据正弦是对边与斜边的比值计算即可。
【解析】
解：
∵正方形$ABCD$的边长为1，
∴$AB=1$，$∠ ABC=90°$，对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵线段$BD$绕点$B$旋转得到$BD'$，
∴$BD'=BD=\sqrt{2}$。
又
∵$D'$在$CB$的延长线上，
∴$∠ ABD'=90°$，即$△ ABD'$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD'$中，由勾股定理得：
$AD'=\sqrt{AB^2+BD'^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$。
根据正弦的定义，$∠ D'$的对边为$AB$，斜边为$AD'$，
∴$\sin D'=\dfrac{AB}{AD'}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，正弦的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合旋转性质得到相等线段，构造出直角三角形，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
要求$\sin D'$，需先将$∠ D'$放在直角三角形中利用正弦定义求解。首先根据正方形性质求出对角线$BD$的长度，再结合旋转的性质得到$BD'=BD$，由点$D'$在$CB$延长线可知$△ ABD'$是直角三角形，利用勾股定理求出斜边$AD'$的长度，最后根据正弦是对边与斜边的比值计算即可。
【解析】
解：
∵正方形$ABCD$的边长为1，
∴$AB=1$，$∠ ABC=90°$，对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵线段$BD$绕点$B$旋转得到$BD'$，
∴$BD'=BD=\sqrt{2}$。
又
∵$D'$在$CB$的延长线上，
∴$∠ ABD'=90°$，即$△ ABD'$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD'$中，由勾股定理得：
$AD'=\sqrt{AB^2+BD'^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$。
根据正弦的定义，$∠ D'$的对边为$AB$，斜边为$AD'$，
∴$\sin D'=\dfrac{AB}{AD'}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，正弦的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合旋转性质得到相等线段，构造出直角三角形，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，则$\cos B$的值为（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
B
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
5. B 解析:
∵ 在 Rt△ABC 中,∠ C=90°,AC=3,AB=5,
∴ BC=4,
∴ $\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{5}$,故选 B.
∵ 在 Rt△ABC 中,∠ C=90°,AC=3,AB=5,
∴ BC=4,
∴ $\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{5}$,故选 B.
解析
【分析】
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠B$的斜边是$AB$，已知$AB=5$，而$∠B$的邻边是$BC$，题目未直接给出$BC$的长度，因此先利用勾股定理求出$BC$的长，再代入余弦定义计算比值即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
∴ 由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
根据锐角余弦的定义，$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；锐角余弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题关键是熟记锐角余弦的计算公式，结合勾股定理准确求出未知直角边的长度即可求解。
【难度系数】
0.85
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠B$的斜边是$AB$，已知$AB=5$，而$∠B$的邻边是$BC$，题目未直接给出$BC$的长度，因此先利用勾股定理求出$BC$的长，再代入余弦定义计算比值即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
∴ 由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
根据锐角余弦的定义，$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；锐角余弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题关键是熟记锐角余弦的计算公式，结合勾股定理准确求出未知直角边的长度即可求解。
【难度系数】
0.85
6. 如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示$\cosα$的值错误的是 (
A.$\dfrac{BD}{BC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
C
)A.$\dfrac{BD}{BC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
答案
6. C 解析:
∵ $∠α=∠ ACD$,
∴ $\cosα=\cos∠ ACD=\dfrac{CD}{AC}$,故 C 选项错误,故选 C.
∵ $∠α=∠ ACD$,
∴ $\cosα=\cos∠ ACD=\dfrac{CD}{AC}$,故 C 选项错误,故选 C.
解析
【分析】
要判断哪个选项的比值不是$\cosα$，首先根据“同角的余角相等”推出$∠α=∠ ACD$，再结合余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，分别在含$∠α$（或和$∠α$相等的$∠ ACD$）的直角三角形中验证每个选项的比值即可。
【解析】
$\because AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CDB=∠ CDA=90°$，
$\therefore ∠α+∠ BCD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠α=∠ ACD$。
逐个分析选项：
A. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\cosα=\dfrac{∠α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BD}{BC}$，该选项正确，不符合题意；
B. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cosα=\dfrac{∠α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BC}{AB}$，该选项正确，不符合题意；
C. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\cos∠ ACD=\dfrac{CD}{AC}$，$\sin∠ ACD=\dfrac{AD}{AC}$，又$\because∠α=∠ ACD$，$\therefore\dfrac{AD}{AC}=\sinα≠\cosα$，该选项错误，符合题意；
D. 由C选项的分析可知，$\cosα=\cos∠ ACD=\dfrac{CD}{AC}$，该选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
余弦的定义；同角的余角相等
【点评】
本题解题的关键是先推出与$∠α$相等的角，再结合余弦的定义在不同直角三角形中表示出$\cosα$，注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆正弦和余弦的表达式。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项的比值不是$\cosα$，首先根据“同角的余角相等”推出$∠α=∠ ACD$，再结合余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，分别在含$∠α$（或和$∠α$相等的$∠ ACD$）的直角三角形中验证每个选项的比值即可。
【解析】
$\because AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CDB=∠ CDA=90°$，
$\therefore ∠α+∠ BCD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠α=∠ ACD$。
逐个分析选项：
A. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\cosα=\dfrac{∠α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BD}{BC}$，该选项正确，不符合题意；
B. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cosα=\dfrac{∠α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BC}{AB}$，该选项正确，不符合题意；
C. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\cos∠ ACD=\dfrac{CD}{AC}$，$\sin∠ ACD=\dfrac{AD}{AC}$，又$\because∠α=∠ ACD$，$\therefore\dfrac{AD}{AC}=\sinα≠\cosα$，该选项错误，符合题意；
D. 由C选项的分析可知，$\cosα=\cos∠ ACD=\dfrac{CD}{AC}$，该选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
余弦的定义；同角的余角相等
【点评】
本题解题的关键是先推出与$∠α$相等的角，再结合余弦的定义在不同直角三角形中表示出$\cosα$，注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆正弦和余弦的表达式。
【难度系数】
0.7
7. （安徽中考改编）如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，点D在AC上，$∠ DBC=∠ A$。若$AC=4$，$\cos A=\dfrac{4}{5}$，则BD的长度为
$\dfrac{15}{4}$
。答案
7. $\dfrac{15}{4}$ 解析:
∵ $∠ C=90°,AC=4,\cos A=\dfrac{4}{5}$,
∴ $AB=\dfrac{AC}{\cos A}=5$,
∴ $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=3$.
∵ $∠ DBC=∠ A$,
∴ $\cos∠ DBC=\cos A=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{5}$,
∴ $BD=3÷\dfrac{4}{5}=\dfrac{15}{4}$.
∵ $∠ C=90°,AC=4,\cos A=\dfrac{4}{5}$,
∴ $AB=\dfrac{AC}{\cos A}=5$,
∴ $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=3$.
∵ $∠ DBC=∠ A$,
∴ $\cos∠ DBC=\cos A=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{5}$,
∴ $BD=3÷\dfrac{4}{5}=\dfrac{15}{4}$.
解析
【分析】
解决本题可以按三步展开思路：第一步，先在$Rt△ ABC$中，结合已知的$\cos A$和$AC$的长度，根据余弦的定义求出斜边$AB$的长度；第二步，用勾股定理计算出$BC$的长度；第三步，利用$∠ DBC=∠ A$得到两个角的余弦值相等，再在$Rt△ BCD$中根据余弦的定义列式，即可求出$BD$的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$\cos A=\dfrac{4}{5}$，
由余弦定义$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，得$AB=\dfrac{AC}{\cos A}=\dfrac{4}{\dfrac{4}{5}}=5$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because ∠ DBC=∠ A$，
$\therefore \cos∠ DBC=\cos A=\dfrac{4}{5}$，
在$Rt△ BCD$中，$\cos∠ DBC=\dfrac{BC}{BD}$，
$\therefore BD=\dfrac{BC}{\cos∠ DBC}=3÷\dfrac{4}{5}=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，等角的三角函数值相等
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是利用等角的三角函数值相等建立不同直角三角形的边的关联，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题可以按三步展开思路：第一步，先在$Rt△ ABC$中，结合已知的$\cos A$和$AC$的长度，根据余弦的定义求出斜边$AB$的长度；第二步，用勾股定理计算出$BC$的长度；第三步，利用$∠ DBC=∠ A$得到两个角的余弦值相等，再在$Rt△ BCD$中根据余弦的定义列式，即可求出$BD$的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$\cos A=\dfrac{4}{5}$，
由余弦定义$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，得$AB=\dfrac{AC}{\cos A}=\dfrac{4}{\dfrac{4}{5}}=5$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because ∠ DBC=∠ A$，
$\therefore \cos∠ DBC=\cos A=\dfrac{4}{5}$，
在$Rt△ BCD$中，$\cos∠ DBC=\dfrac{BC}{BD}$，
$\therefore BD=\dfrac{BC}{\cos∠ DBC}=3÷\dfrac{4}{5}=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，等角的三角函数值相等
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是利用等角的三角函数值相等建立不同直角三角形的边的关联，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. ★★ △ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1），AD⊥BC于点D，下列选项中错误的是 （
A.$\sin α=\cos α$
B.$\tan C=2$
C.$\sin β=\cos β$
D.$\tan α=1$
C
）A.$\sin α=\cos α$
B.$\tan C=2$
C.$\sin β=\cos β$
D.$\tan α=1$
答案
8. C 解析:观察题图可知,△ADB 是等腰直角三角形,BD = AD = 2,AB = $2\sqrt{2}$,CD = 1,AC = $\sqrt{5}$,
∴ $\sinα=\cosα=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ A 选项正确;$\tan C=\dfrac{AD}{CD}=2$,
∴ B 选项正确;$\tanα=\dfrac{BD}{AD}=1$,
∴ D 选项正确;
∵ $\sinβ=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,$\cosβ=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴ $\sinβ≠\cosβ$,
∴ C 选项错误.故选 C.
∴ $\sinα=\cosα=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ A 选项正确;$\tan C=\dfrac{AD}{CD}=2$,
∴ B 选项正确;$\tanα=\dfrac{BD}{AD}=1$,
∴ D 选项正确;
∵ $\sinβ=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,$\cosβ=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴ $\sinβ≠\cosβ$,
∴ C 选项错误.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先结合网格和AD⊥BC的已知条件，确定BD、AD、CD的长度，再利用勾股定理计算出AB、AC的长度，接下来根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项对应的三角函数值，逐一判断选项是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
观察题图可知，AD⊥BC，BD=AD=2，CD=1。
由勾股定理可得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
A选项：$\sinα=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cosα=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sinα=\cosα$，A选项正确，不符合题意；
B选项：$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{2}{1}=2$，B选项正确，不符合题意；
C选项：$\sinβ=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cosβ=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故$\sinβ≠\cosβ$，C选项错误，符合题意；
D选项：$\tanα=\frac{BD}{AD}=\frac{2}{2}=1$，D选项正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的相关计算，解题的核心是准确提取网格中的线段长度，牢记锐角三角函数的对应定义，逐一验证选项即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合网格和AD⊥BC的已知条件，确定BD、AD、CD的长度，再利用勾股定理计算出AB、AC的长度，接下来根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项对应的三角函数值，逐一判断选项是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
观察题图可知，AD⊥BC，BD=AD=2，CD=1。
由勾股定理可得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
A选项：$\sinα=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cosα=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sinα=\cosα$，A选项正确，不符合题意；
B选项：$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{2}{1}=2$，B选项正确，不符合题意；
C选项：$\sinβ=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cosβ=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故$\sinβ≠\cosβ$，C选项错误，符合题意；
D选项：$\tanα=\frac{BD}{AD}=\frac{2}{2}=1$，D选项正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的相关计算，解题的核心是准确提取网格中的线段长度，牢记锐角三角函数的对应定义，逐一验证选项即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. ★★ (1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\cos B=\frac{3}{5}$，则$\sin A$的值是________.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\sin A=\frac{5}{13}$，则$\tan B$的值为________.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\sin A=\frac{5}{13}$，则$\tan B$的值为________.
答案
9. (1) $\dfrac{3}{5}$ 解析:$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$,$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$.
(2) $\dfrac{12}{5}$ 解析:$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5}{13}$,设 $BC=5k$,$AB=13k$,
∴ $AC=12k$,
∴ $\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{5}$.
技法点拨 在直角三角形中,给出某一锐角的一个三角函数值,求另一个三角函数值时,可以用设辅助元(即引入参数)的方法来解决.
(2) $\dfrac{12}{5}$ 解析:$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5}{13}$,设 $BC=5k$,$AB=13k$,
∴ $AC=12k$,
∴ $\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{5}$.
技法点拨 在直角三角形中,给出某一锐角的一个三角函数值,求另一个三角函数值时,可以用设辅助元(即引入参数)的方法来解决.
解析
【分析】
这两道题都是直角三角形中锐角三角函数的求解问题，解题思路如下：
(1) 首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，找到∠B的邻边与斜边的比值就是cosB，再找到∠A的对边与斜边的比值就是sinA，观察两组边的对应关系即可直接得出结果；也可利用直角三角形两锐角互余的性质，通过$\sin A=\cos(90°-A)=\cos B$直接推导。
(2) 已知$\sin A$的比值，可通过设参数的方法表示出对应边的长度，再用勾股定理求出第三条边的长度，最后根据正切函数的定义计算$\tan B$的值即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$；
根据正弦的定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，因此$\sin A=\cos B=\frac{3}{5}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
设$BC=5k$，$AB=13k$（$k＞0$），由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=\sqrt{144k^2}=12k$。
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{5}$；(2) $\dfrac{12}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、互余两角三角函数关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，重点考查对三角函数定义的理解和运用，设参数求解边长的方法是这类题的常用技巧，掌握好基础定义和勾股定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
这两道题都是直角三角形中锐角三角函数的求解问题，解题思路如下：
(1) 首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，找到∠B的邻边与斜边的比值就是cosB，再找到∠A的对边与斜边的比值就是sinA，观察两组边的对应关系即可直接得出结果；也可利用直角三角形两锐角互余的性质，通过$\sin A=\cos(90°-A)=\cos B$直接推导。
(2) 已知$\sin A$的比值，可通过设参数的方法表示出对应边的长度，再用勾股定理求出第三条边的长度，最后根据正切函数的定义计算$\tan B$的值即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$；
根据正弦的定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，因此$\sin A=\cos B=\frac{3}{5}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
设$BC=5k$，$AB=13k$（$k＞0$），由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=\sqrt{144k^2}=12k$。
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{5}$；(2) $\dfrac{12}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、互余两角三角函数关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，重点考查对三角函数定义的理解和运用，设参数求解边长的方法是这类题的常用技巧，掌握好基础定义和勾股定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,$\tan B=\cos∠ DAC$.
(1)求证:$AC=BD$;
(2)若$\sin C=\frac{12}{13},AD=24$,求BC的长.
(1)求证:$AC=BD$;
(2)若$\sin C=\frac{12}{13},AD=24$,求BC的长.
答案
10. (1)
∵ AD 是 BC 边上的高,
∴ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB = 90°,∠ADC=90°.在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中,
∵ $\tan B=\dfrac{AD}{BD}$,$\cos∠ DAC=\dfrac{AD}{AC}$,$\tan B=\cos∠ DAC$,
∴ $\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AD}{AC}$,
∴ AC=BD.
(2) 在 Rt△ADC 中,$\sin C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{12}{13}$,$AD=24$,
∴ AC = 26,
∴ $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=10$.
∵ BC = BD + CD,AC = BD = 26,
∴ BC=26+10=36.
∵ AD 是 BC 边上的高,
∴ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB = 90°,∠ADC=90°.在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中,
∵ $\tan B=\dfrac{AD}{BD}$,$\cos∠ DAC=\dfrac{AD}{AC}$,$\tan B=\cos∠ DAC$,
∴ $\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AD}{AC}$,
∴ AC=BD.
(2) 在 Rt△ADC 中,$\sin C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{12}{13}$,$AD=24$,
∴ AC = 26,
∴ $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=10$.
∵ BC = BD + CD,AC = BD = 26,
∴ BC=26+10=36.
解析
【分析】
(1) 要证明$AC=BD$，首先结合AD是BC边上的高，可得$△ ABD$和$△ ADC$均为直角三角形；再根据锐角三角函数的定义，分别在两个直角三角形中表示出$\tan B$和$\cos∠ DAC$，结合二者相等的条件化简等式，即可得到$AC$和$BD$的等量关系。
(2) 求$BC$的长时，由$BC=BD+CD$，结合第一问结论$BD=AC$，只需先求出$AC$和$CD$的长度即可：先在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，利用$\sin C$的定义和已知$AD$的长度求出$AC$，再用勾股定理求出$CD$，最后代入计算即可得到$BC$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD$是$BC$边上的高，
∴ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB=90°$，$∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan B=\dfrac{AD}{BD}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\cos∠ DAC=\dfrac{AD}{AC}$，
又
∵ $\tan B=\cos∠ DAC$，
∴ $\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AD}{AC}$，
约去非零的$AD$，可得$AC=BD$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\sin C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{12}{13}$，已知$AD=24$，
代入得$\dfrac{24}{AC}=\dfrac{12}{13}$，解得$AC=26$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{26^2-24^2}=10$，
由(1)知$BD=AC=26$，
∴ $BC=BD+CD=26+10=36$。
【答案】
(1) $AC=BD$得证；
(2) $BC$的长为$\boldsymbol{36}$。
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，结合直角三角形的边、角关系建立等量关系，第二问需要结合第一问的结论求解，逻辑链条清晰，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AC=BD$，首先结合AD是BC边上的高，可得$△ ABD$和$△ ADC$均为直角三角形；再根据锐角三角函数的定义，分别在两个直角三角形中表示出$\tan B$和$\cos∠ DAC$，结合二者相等的条件化简等式，即可得到$AC$和$BD$的等量关系。
(2) 求$BC$的长时，由$BC=BD+CD$，结合第一问结论$BD=AC$，只需先求出$AC$和$CD$的长度即可：先在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，利用$\sin C$的定义和已知$AD$的长度求出$AC$，再用勾股定理求出$CD$，最后代入计算即可得到$BC$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD$是$BC$边上的高，
∴ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB=90°$，$∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan B=\dfrac{AD}{BD}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\cos∠ DAC=\dfrac{AD}{AC}$，
又
∵ $\tan B=\cos∠ DAC$，
∴ $\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AD}{AC}$，
约去非零的$AD$，可得$AC=BD$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\sin C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{12}{13}$，已知$AD=24$，
代入得$\dfrac{24}{AC}=\dfrac{12}{13}$，解得$AC=26$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{26^2-24^2}=10$，
由(1)知$BD=AC=26$，
∴ $BC=BD+CD=26+10=36$。
【答案】
(1) $AC=BD$得证；
(2) $BC$的长为$\boldsymbol{36}$。
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，结合直角三角形的边、角关系建立等量关系，第二问需要结合第一问的结论求解，逻辑链条清晰，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
