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1. (2024·云南中考)在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，则$\tan A$的值为 (
A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
B
)A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
1. B 解析:
∵ 在△ABC 中, ∠ABC = 90°, AB = 3, BC = 4,
∴ tan A = $\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$,故选 B.
∵ 在△ABC 中, ∠ABC = 90°, AB = 3, BC = 4,
∴ tan A = $\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$,故选 B.
解析
【分析】
本题要求直角三角形中锐角A的正切值，解题核心是掌握正切的定义。首先明确△ABC是直角三角形，∠B为直角；其次回忆正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值；最后找到∠A的对边为BC、邻边为AB，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
根据正切的定义，锐角A的正切值为其对边与邻边的比值，即$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AB}$，
代入数值计算得$\tan A = \frac{4}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义；锐角三角函数求值
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对正切概念的理解应用，解题关键是准确区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆边的位置出现计算错误。
【难度系数】
0.9
本题要求直角三角形中锐角A的正切值，解题核心是掌握正切的定义。首先明确△ABC是直角三角形，∠B为直角；其次回忆正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值；最后找到∠A的对边为BC、邻边为AB，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
根据正切的定义，锐角A的正切值为其对边与邻边的比值，即$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AB}$，
代入数值计算得$\tan A = \frac{4}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义；锐角三角函数求值
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对正切概念的理解应用，解题关键是准确区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆边的位置出现计算错误。
【难度系数】
0.9
2. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的2倍,那么锐角A的正切值 (
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.不变
D.不能确定
C
)A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.不变
D.不能确定
答案
2. C 解析:因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍,所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正切值也不变.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先要明确锐角的正切值是由角的大小决定的，只要角的大小不变，正切值就不会变化。接下来思考三边扩大为原来的2倍后角A的大小是否改变：根据相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，扩大边长后的三角形和原三角形相似，对应角相等，因此角A的大小不变，进而就能判断正切值的变化情况。
【解析】
将锐角三角形三边的长都扩大为原来的2倍，所得三角形与原三角形的三边对应成比例，比值为2，因此两个三角形相似，对应角∠A的大小不变。由于锐角的正切值仅由角的大小决定，与边的长短无关，因此锐角A的正切值不变。故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的性质以及锐角三角函数的本质，理解“锐角三角函数值只与角的大小有关，与所在三角形的边长无关”是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确锐角的正切值是由角的大小决定的，只要角的大小不变，正切值就不会变化。接下来思考三边扩大为原来的2倍后角A的大小是否改变：根据相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，扩大边长后的三角形和原三角形相似，对应角相等，因此角A的大小不变，进而就能判断正切值的变化情况。
【解析】
将锐角三角形三边的长都扩大为原来的2倍，所得三角形与原三角形的三边对应成比例，比值为2，因此两个三角形相似，对应角∠A的大小不变。由于锐角的正切值仅由角的大小决定，与边的长短无关，因此锐角A的正切值不变。故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的性质以及锐角三角函数的本质，理解“锐角三角函数值只与角的大小有关，与所在三角形的边长无关”是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在$6×6$的正方形网格中,$△ ABC$的顶点都在小正方形的顶点上,则$\tan∠BAC$的值是 （
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{5}$
（第3题）
C
）A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{5}$
（第3题）答案
3. C 解析:如图,过点 B 作 BD ⊥ AC,交 AC 的延长线于点 D,
则 tan∠BAC = $\frac{BD}{AD}=\frac{3}{4}$,故选 C.解析
【分析】
要求$\tan∠BAC$的值，首先回忆正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，因此需要先构造包含$∠BAC$的直角三角形。我们可以过点$B$作$AC$的垂线，交$AC$的延长线于点$D$，得到$\mathrm{Rt}△ ABD$，再结合网格的特点，设每个小正方形边长为1，数出$∠BAC$的对边$BD$和邻边$AD$的长度，代入正切公式计算即可。
【解析】
解：如图，过点$B$作$BD ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$D$，
设每个小正方形的边长为1，由网格可得：$BD=3$，$AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义可得：
$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{4}$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
正切的定义，构造直角三角形，网格长度计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题关键是结合正切的定义作辅助线构造直角三角形，利用网格的特性快速得到直角边的长度即可求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
要求$\tan∠BAC$的值，首先回忆正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，因此需要先构造包含$∠BAC$的直角三角形。我们可以过点$B$作$AC$的垂线，交$AC$的延长线于点$D$，得到$\mathrm{Rt}△ ABD$，再结合网格的特点，设每个小正方形边长为1，数出$∠BAC$的对边$BD$和邻边$AD$的长度，代入正切公式计算即可。
【解析】
解：如图，过点$B$作$BD ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$D$，
设每个小正方形的边长为1，由网格可得：$BD=3$，$AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义可得：
$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{4}$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
正切的定义，构造直角三角形，网格长度计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题关键是结合正切的定义作辅助线构造直角三角形，利用网格的特性快速得到直角边的长度即可求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
4. (1)(2025·连云港月考)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4$，$\tan A=\dfrac{2}{3}$，则$AC=$
(2)(2025·聊城期中)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3AC$，则$\tan A=$
6
.(2)(2025·聊城期中)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3AC$，则$\tan A=$
$2\sqrt{2}$
.答案
4. (1)6 解析:在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, tan A = $\frac{BC}{AC}$.
∵ BC = 4, tan A = $\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{4}{AC}=\frac{2}{3}$,
∴ AC = 6.故答案为 6.
(2)$2\sqrt{2}$ 解析:在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AB = 3AC,
∴ BC = $\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3AC)^2-AC^2}=2\sqrt{2}AC$,
∴ tan A = $\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}AC}{AC}=2\sqrt{2}$.故答案为 $2\sqrt{2}$.
∵ BC = 4, tan A = $\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{4}{AC}=\frac{2}{3}$,
∴ AC = 6.故答案为 6.
(2)$2\sqrt{2}$ 解析:在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AB = 3AC,
∴ BC = $\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3AC)^2-AC^2}=2\sqrt{2}AC$,
∴ tan A = $\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}AC}{AC}=2\sqrt{2}$.故答案为 $2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
两道题均为直角三角形中与正切相关的基础计算：
(1) 利用正切的定义，即直角三角形中锐角的正切值等于其对边与邻边的比值，已知∠A的正切值和对边BC的长度，代入公式列方程即可求出邻边AC的长度；
(2) 先根据AB和AC的数量关系，结合勾股定理求出BC的表达式，再代入正切的定义化简计算即可得到tanA的值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得$\tan A=\frac{BC}{AC}$。
已知$BC=4$，$\tan A=\frac{2}{3}$，代入得$\frac{4}{AC}=\frac{2}{3}$，
解得$AC=6$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$AB=3AC$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3AC)^2-AC^2}=2\sqrt{2}AC$，
再根据正切的定义得$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}AC}{AC}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 6；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，主要考查正切定义和勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
两道题均为直角三角形中与正切相关的基础计算：
(1) 利用正切的定义，即直角三角形中锐角的正切值等于其对边与邻边的比值，已知∠A的正切值和对边BC的长度，代入公式列方程即可求出邻边AC的长度；
(2) 先根据AB和AC的数量关系，结合勾股定理求出BC的表达式，再代入正切的定义化简计算即可得到tanA的值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得$\tan A=\frac{BC}{AC}$。
已知$BC=4$，$\tan A=\frac{2}{3}$，代入得$\frac{4}{AC}=\frac{2}{3}$，
解得$AC=6$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$AB=3AC$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3AC)^2-AC^2}=2\sqrt{2}AC$，
再根据正切的定义得$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}AC}{AC}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 6；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，主要考查正切定义和勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点$P(a,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$PH⊥ x$轴于点$H$，$\tan∠ POH=\frac{5}{12}$，则$k$的值是
60
。答案
5. 60 解析:
∵ 点 P(a,5)在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上, PH ⊥ x 轴于点 H,
∴ PH = 5. 又
∵ tan∠POH = $\frac{5}{12}$,
∴ OH = $\frac{PH}{\tan∠POH}=12$,
∴ P(12,5),
∴ k = 12×5 = 60,故答案为 60.
∵ 点 P(a,5)在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上, PH ⊥ x 轴于点 H,
∴ PH = 5. 又
∵ tan∠POH = $\frac{5}{12}$,
∴ OH = $\frac{PH}{\tan∠POH}=12$,
∴ P(12,5),
∴ k = 12×5 = 60,故答案为 60.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据点P的纵坐标和PH⊥x轴的条件，得到直角三角形POH的直角边PH的长度；第二步，利用正切的定义，即直角三角形中锐角的正切值等于对边与邻边的比值，结合已知的tan∠POH的值，求出另一条直角边OH的长度，也就是点P的横坐标；第三步，因为点P在反比例函数图象上，将点P坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵ 点$P(a,5)$，且$PH⊥ x$轴于点$H$，
∴ 线段$PH$的长度为点$P$的纵坐标，即$PH=5$，线段$OH$的长度等于点$P$的横坐标$a$（点P在第一象限，$a＞0$）。
在$Rt△ POH$中，$\tan∠ POH=\frac{\mathrm{对边}PH}{\mathrm{邻边}OH}=\frac{5}{12}$，
代入$PH=5$得：$\frac{5}{OH}=\frac{5}{12}$，解得$OH=12$，即$a=12$，
∴ 点P的坐标为$(12,5)$。
∵ 点$P$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$x=12,y=5$代入解析式得：$5=\frac{k}{12}$，
解得$k=12×5=60$。
【答案】
60
【知识点】
正切的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质
【点评】
本题是三角函数与反比例函数的基础综合题，解题的关键是结合正切定义求出点P的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质求解，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先根据点P的纵坐标和PH⊥x轴的条件，得到直角三角形POH的直角边PH的长度；第二步，利用正切的定义，即直角三角形中锐角的正切值等于对边与邻边的比值，结合已知的tan∠POH的值，求出另一条直角边OH的长度，也就是点P的横坐标；第三步，因为点P在反比例函数图象上，将点P坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵ 点$P(a,5)$，且$PH⊥ x$轴于点$H$，
∴ 线段$PH$的长度为点$P$的纵坐标，即$PH=5$，线段$OH$的长度等于点$P$的横坐标$a$（点P在第一象限，$a＞0$）。
在$Rt△ POH$中，$\tan∠ POH=\frac{\mathrm{对边}PH}{\mathrm{邻边}OH}=\frac{5}{12}$，
代入$PH=5$得：$\frac{5}{OH}=\frac{5}{12}$，解得$OH=12$，即$a=12$，
∴ 点P的坐标为$(12,5)$。
∵ 点$P$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$x=12,y=5$代入解析式得：$5=\frac{k}{12}$，
解得$k=12×5=60$。
【答案】
60
【知识点】
正切的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质
【点评】
本题是三角函数与反比例函数的基础综合题，解题的关键是结合正切定义求出点P的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质求解，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
6. ★★★(连云港中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,AC=4,OE=2.求OD的长及$\tan∠ EDO$的值.
答案
6. 在菱形 ABCD 中, AC ⊥ BD, AC = 2AO.
∵ AC = 4,
∴ AO = 2. 在 Rt△AOD 中,
∵ E 为 AD 中点,
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD.
∵ OE = 2,
∴ AD = 4,
∴ OD = $\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴ tan∠EDO = $\frac{AO}{OD}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵ AC = 4,
∴ AO = 2. 在 Rt△AOD 中,
∵ E 为 AD 中点,
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD.
∵ OE = 2,
∴ AD = 4,
∴ OD = $\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴ tan∠EDO = $\frac{AO}{OD}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质确定对角线的位置与数量关系，得到Rt△AOD且AO的长度可求；再根据直角三角形斜边中线的性质，由OE的长度求出斜边AD的长度；接着利用勾股定理计算OD的长度；最后根据正切的定义，在Rt△AOD中找到∠EDO的对边和邻边，计算比值即可得到tan∠EDO的值。
【解析】
在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=2AO。
∵AC=4，
∴AO=2。
在Rt△AOD中，
∵E为AD中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD。
∵OE=2，
∴AD=4，
∴OD=$\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴tan∠EDO=$\frac{AO}{OD}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
OD的长为$2\sqrt{3}$，$\tan∠EDO$的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线的性质；正切的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将特殊四边形的性质、直角三角形的性质与锐角三角函数结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，准确找到直角三角形中对应角的对边与邻边。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质确定对角线的位置与数量关系，得到Rt△AOD且AO的长度可求；再根据直角三角形斜边中线的性质，由OE的长度求出斜边AD的长度；接着利用勾股定理计算OD的长度；最后根据正切的定义，在Rt△AOD中找到∠EDO的对边和邻边，计算比值即可得到tan∠EDO的值。
【解析】
在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=2AO。
∵AC=4，
∴AO=2。
在Rt△AOD中，
∵E为AD中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD。
∵OE=2，
∴AD=4，
∴OD=$\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴tan∠EDO=$\frac{AO}{OD}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
OD的长为$2\sqrt{3}$，$\tan∠EDO$的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线的性质；正切的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将特殊四边形的性质、直角三角形的性质与锐角三角函数结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，准确找到直角三角形中对应角的对边与邻边。
【难度系数】
0.7
7. 如图,传送带和地面成一斜坡,它把物体从地面送到离地面5米高的地方,物体所经过路程是13米,那么斜坡的坡度为 (
A.$1:2.6$
B.$1:\dfrac{5}{13}$
C.$1:2.4$
D.$1:\dfrac{5}{12}$
C
)A.$1:2.6$
B.$1:\dfrac{5}{13}$
C.$1:2.4$
D.$1:\dfrac{5}{12}$
答案
7. C 解析:根据题意得坡度为 5:12,即 1:2.4,故选 C.
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。已知物体被送到离地面5米高，即斜坡垂直高度为5m，物体经过的路程13m即斜坡的斜边长，首先利用勾股定理求出斜坡的水平宽度，再计算垂直高度与水平宽度的比，化简为前项是1的形式即可匹配选项。
【解析】
解：由题意可知，斜坡的垂直高度$ h=5\mathrm{m} $，斜坡的斜边长为$ 13\mathrm{m} $。
根据勾股定理，斜坡的水平宽度$ l=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\mathrm{m} $。
根据坡度的定义，坡度$ i=h:l=5:12 $，将前项化为1，得$ i=1:\frac{12}{5}=1:2.4 $。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
坡度的定义；勾股定理
【点评】
本题核心是对坡度概念的正确理解，需注意坡度是垂直高度和水平宽度的比值，不要误将斜边长度当做水平宽度计算，也不要搞反比值的前后项，整体解题思路简单，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。已知物体被送到离地面5米高，即斜坡垂直高度为5m，物体经过的路程13m即斜坡的斜边长，首先利用勾股定理求出斜坡的水平宽度，再计算垂直高度与水平宽度的比，化简为前项是1的形式即可匹配选项。
【解析】
解：由题意可知，斜坡的垂直高度$ h=5\mathrm{m} $，斜坡的斜边长为$ 13\mathrm{m} $。
根据勾股定理，斜坡的水平宽度$ l=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\mathrm{m} $。
根据坡度的定义，坡度$ i=h:l=5:12 $，将前项化为1，得$ i=1:\frac{12}{5}=1:2.4 $。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
坡度的定义；勾股定理
【点评】
本题核心是对坡度概念的正确理解，需注意坡度是垂直高度和水平宽度的比值，不要误将斜边长度当做水平宽度计算，也不要搞反比值的前后项，整体解题思路简单，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
8. ★★（自贡中考改编）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形$ABCD$，$DC// AB$，$BC$长为6米，坡角为$β$，$AD$的坡角为$α$，若$\tanα = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\tanβ = 1$，则$AD$长为
$6\sqrt{2}$
米.（结果保留根号）答案
8. $6\sqrt{2}$ 解析:过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E,过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F,
∵ BC = 6 米, tan β = 1, 由勾股定理得 CE = $3\sqrt{2}$米.
∵ DF = CE = $3\sqrt{2}$米, tan α = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ AF = $3\sqrt{6}$米,根据勾股定理得 AD = $6\sqrt{2}$米.
∵ BC = 6 米, tan β = 1, 由勾股定理得 CE = $3\sqrt{2}$米.
∵ DF = CE = $3\sqrt{2}$米, tan α = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ AF = $3\sqrt{6}$米,根据勾股定理得 AD = $6\sqrt{2}$米.
解析
【分析】
遇到梯形的坡角计算问题，首先考虑通过作高将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，利用矩形对边相等得到两条高长度相等的关系。首先在含BC的直角三角形中，结合已知的BC长度和tanβ的值求出高的长度，再将高的长度代入含AD的直角三角形中，结合tanα的值，利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于点E。
∵ DC//AB，DF、CE均为AB边上的高，
∴ DF=CE。
在Rt△CEB中，tanβ=1，
∴ β=45°，
∴ CE=BC·sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$3\sqrt{2}$米，即DF=$3\sqrt{2}$米。
在Rt△DFA中，tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ α=30°，
由tanα=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得AF=$\frac{DF}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$3\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$3\sqrt{6}$米，
由勾股定理得AD=$\sqrt{DF^2+AF^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{6})^2}$=$\sqrt{18+54}$=$\sqrt{72}$=$6\sqrt{2}$米。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
梯形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题考查解直角三角形在实际坡度问题中的应用，解题的关键是正确作出辅助线，将梯形问题转化为直角三角形问题求解，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值，能快速建立边角关系计算边长。
【难度系数】
0.7
遇到梯形的坡角计算问题，首先考虑通过作高将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，利用矩形对边相等得到两条高长度相等的关系。首先在含BC的直角三角形中，结合已知的BC长度和tanβ的值求出高的长度，再将高的长度代入含AD的直角三角形中，结合tanα的值，利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于点E。
∵ DC//AB，DF、CE均为AB边上的高，
∴ DF=CE。
在Rt△CEB中，tanβ=1，
∴ β=45°，
∴ CE=BC·sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$3\sqrt{2}$米，即DF=$3\sqrt{2}$米。
在Rt△DFA中，tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ α=30°，
由tanα=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得AF=$\frac{DF}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$3\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$3\sqrt{6}$米，
由勾股定理得AD=$\sqrt{DF^2+AF^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{6})^2}$=$\sqrt{18+54}$=$\sqrt{72}$=$6\sqrt{2}$米。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
梯形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题考查解直角三角形在实际坡度问题中的应用，解题的关键是正确作出辅助线，将梯形问题转化为直角三角形问题求解，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值，能快速建立边角关系计算边长。
【难度系数】
0.7
