1. 一题多解 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高. 在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物 OB 的影长 OC 为 16 米,OA 的影长 OD 为 20 米,小明的影长 FG 为 2.4 米,其中 O,C,D,F,G 五点在同一直线上,A,B,O 三点在同一直线上,且 $ AO ⊥ OD $,$ EF ⊥ FG $.已知小明的身高 EF 为 1.8 米,则旗杆的高 AB 为 米.

1. 3 解析:
∵ AD // EG,
∴ ∠ADO = ∠EGF. 又
∵ ∠AOD = ∠EFG=90°,
∴ △AOD∽△EFG,
∴ $\frac{AO}{EF}=\frac{OD}{FG}$, 即 $\frac{AO}{1.8}=\frac{20}{2.4}$,
∴ AO=15 米. 同理得 $△ BOC ∽ △ AOD$, $\therefore \frac{BO}{AO}=\frac{OC}{OD}$, 即 $\frac{BO}{15}=\frac{16}{20}$, $\therefore BO=12$ 米, $\therefore AB=AO-BO=15-12=3$(米).
一题多解 如图,过点 C 作 $CM ⊥ OD$,交 AD 于点 M.易得 $△ EGF ∽ △ MDC$, $\therefore \frac{EF}{MC}=\frac{FG}{CD}$, 即 $\frac{1.8}{CM}=\frac{2.4}{20-16}$, $\therefore CM=3$ 米. 易得四边形 MCBA 为平行四边形, $\therefore AB=CM=3$ 米.

2. 新情境 数学文化 我国古代在利用“计里画方”的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和记照板来测量距离.在如图所示测量AB高度的示意图中,记照板内芯的高度$EF = 10\ \mathrm{cm}$.观测者的眼睛$C$与$BF$在同一水平线上.若$BF = 90\ \mathrm{cm}$,$CF = 30\ \mathrm{cm}$,则$AB$的高度为.

2. 40 cm 解析: 由题意可知 $EF // AB$, $\therefore △ EFC ∽ △ ABC$, $\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{CF}{CB}$. $\because BF = 90\ \mathrm{cm}, CF = 30\ \mathrm{cm}$, $\therefore CB = BF + CF = 120\ \mathrm{cm}$. 又$\because EF = 10\ \mathrm{cm}$, $\therefore \frac{10}{AB}=\frac{30}{120}$, $\therefore AB=40\ \mathrm{cm}$.

3. 如图,从点A(0,2)发出一束光,经x轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为。

3. $\sqrt{41}$ 解析:过点 B 作 $BD ⊥ x$ 轴于 D.$\because A(0,2),B(4,3)$, $\therefore OA=2, BD=3, OD=4$. 根据题意,得 $∠ ACO = ∠ BCD$. 又$\because ∠ AOC = ∠ BDC = 90°$, $\therefore △ AOC ∽ △ BDC$, $\therefore \frac{OA}{BD}=\frac{OC}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$, $\therefore OC = \frac{2}{5}OD = \frac{2}{5} × 4 = \frac{8}{5}$, $\therefore CD = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$, $\therefore AC = \sqrt{OA^2+OC^2} = \frac{2\sqrt{41}}{5}$, $BC = \sqrt{CD^2+BD^2} = \frac{3\sqrt{41}}{5}$, $\therefore AC+BC=\sqrt{41}$,即这束光从点 A 到点 B 所经过的路径的长为$\sqrt{41}$.

4. 数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度,有如图两种方案:
方案一:小明在地面上竖直放置一根标杆EF,沿着直线BF后退到点D,使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上(如图①).测量:人与标杆的距离DF=1米,人与旗杆的距离DB=16米,人的目高和标杆的高度差EG=0.9米,人的眼睛距离地面的高度CD=1.6米.
方案二:小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同一时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一栋楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长为21米,留在墙上的影高为2米(如图②).
任选一个方案,分别画出符合题意的示意图,并求出旗杆的高度.

4. 方案一: 如图①所示, 由已知得 $CD // EF // AB$, $\therefore △ ECG ∽ △ ACH$, $\therefore \frac{CG}{CH}=\frac{EG}{AH}$, 即 $\frac{1}{16}=\frac{0.9}{AH}$, 解得 $AH=14.4$ 米, $\therefore AB=AH+BH=14.4+1.6=16$(米).故旗杆的高度是 16 米.
方案二: 如图②所示,延长 AC,BD 相交于点 E,则 $CD : DE=1 : 1.5$,得 $DE=1.5CD=1.5 × 2=3$(米).已知 $CD // AB$, $\therefore △ CDE ∽ △ ABE$, $\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$, 即 $\frac{2}{AB}=\frac{3}{21+3}$, 解得 $AB = 16$ 米.故旗杆的高度是 16 米.

5. 如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处.经测量，CB长$5\sqrt{3}$米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的$∠ ABG=150°$.请你帮小明求出大树CD的高度.

5. 如图所示,延长 CB 交 EF 于点 H,过点 F 作 $FM ⊥ EB$ 交 EB 的延长线于点 M.
$\because ∠ ABG = 150°,\ BE ⊥ CB$, $\therefore ∠ MBF = 150° - 90° = 60°$, $\therefore ∠ MFB=30°$.$\because BF$ 的长为 2 米, $\therefore BM=1$ 米, $\therefore MF = \sqrt{BF^2-BM^2} = \sqrt{3}$米.$\because BE ⊥ CB,MF ⊥ BE$, $\therefore BH // MF$, $\therefore △ EBH ∽ △ EMF$, $\therefore \frac{BH}{MF}=\frac{EB}{EM}$. 又$\because EB = 1.8$ 米, $\therefore \frac{BH}{\sqrt{3}}=\frac{1.8}{1.8+1}$, $\therefore BH = \frac{9\sqrt{3}}{14}$米.
$\because BE // CD$, $\therefore △ HBE ∽ △ HCD$, $\therefore \frac{BH}{CH}=\frac{BE}{CD}$. $\because CB = 5\sqrt{3}$ 米, $\therefore \frac{\frac{9\sqrt{3}}{14}}{5\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{3}}{14}}=\frac{1.8}{CD}$, $\therefore CD = 15.8$ 米, $\therefore$ 大树 CD 的高度为 15.8 米.