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1. 下列各组的四条线段$a,b,c,d$成比例线段的是（
A.$a=4,b=6,c=5,d=10$
B.$a=1,b=2,c=3,d=4$
C.$a=\sqrt{2},b=3,c=2,d=\sqrt{3}$
D.$a=2,b=\sqrt{5},c=2\sqrt{3},d=\sqrt{15}$
D
）A.$a=4,b=6,c=5,d=10$
B.$a=1,b=2,c=3,d=4$
C.$a=\sqrt{2},b=3,c=2,d=\sqrt{3}$
D.$a=2,b=\sqrt{5},c=2\sqrt{3},d=\sqrt{15}$
答案
D 解析:
∵ 4×10 = 40,6×5 = 30,40≠30,
∴ A项不正确;
∵ 1×4 = 4,2×3 = 6,4≠6,
∴ B项不正确;
∵ √2×√3 = √6,3×2 = 6,√6≠6,
∴ C项不正确;
∵ 2×√15 = 2√15,√5×2√3 = 2√15,2√15 = 2√15,
∴ D项正确.故选D.
∵ 4×10 = 40,6×5 = 30,40≠30,
∴ A项不正确;
∵ 1×4 = 4,2×3 = 6,4≠6,
∴ B项不正确;
∵ √2×√3 = √6,3×2 = 6,√6≠6,
∴ C项不正确;
∵ 2×√15 = 2√15,√5×2√3 = 2√15,2√15 = 2√15,
∴ D项正确.故选D.
2. 已知点P是线段AB的一个黄金分割点$(AP＞PB)$,则$PB:AB$的值为 $( )$
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D.$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D.$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
答案
B 解析:
∵ 点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点(AP＞PB),
∴ AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴ PB=AB-AP=$(1-\frac{\sqrt{5}-1}{2})AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$,
∴ PB:AB=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.故选 B.
∵ 点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点(AP＞PB),
∴ AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴ PB=AB-AP=$(1-\frac{\sqrt{5}-1}{2})AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$,
∴ PB:AB=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.故选 B.
3. 如图,点 O 是$△ ABC$内一点,连接 $OA,OB,OC$,点 $D,E,F$ 分别是 $OA,OB,OC$ 的中点,已知$△ DEF$ 的面积是 1,有以下结论:①$△ ABC ∽ △ DEF$;② $\frac{△ DEF\mathrm{ 的周长}}{△ ABC\mathrm{ 的周长}}=\frac{1}{4}$;③ $\frac{DE}{AB}=\frac{OF}{OC}$;④$S_{△ ABC}=4$.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C 解析:
∵ 点 O 是△ABC内一点,连接 OA,OB,OC,点 D,E,F分别是 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE//AB,且 DE=$\frac{1}{2}AB$,EF//BC,且 EF=$\frac{1}{2}BC$,DF//AC,且 DF=$\frac{1}{2}AC$,
∴ △ABC∽△DEF,故①正确;
∴ $\frac{△ DEF 的周长}{△ ABC 的周长}=\frac{DE+EF+DF}{AB+BC+AC}=\frac{1}{2}$,故②错误;
∵ $\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{OF}{OC}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{OF}{OC}$,故 ③ 正确;
∵ $S_{△ABC}:S_{△DEF}=AB^2:DE^2=4:1$,且 $S_{△DEF}=1$,
∴ $S_{△ABC}=4$,故④正确.故选 C.
∵ 点 O 是△ABC内一点,连接 OA,OB,OC,点 D,E,F分别是 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE//AB,且 DE=$\frac{1}{2}AB$,EF//BC,且 EF=$\frac{1}{2}BC$,DF//AC,且 DF=$\frac{1}{2}AC$,
∴ △ABC∽△DEF,故①正确;
∴ $\frac{△ DEF 的周长}{△ ABC 的周长}=\frac{DE+EF+DF}{AB+BC+AC}=\frac{1}{2}$,故②错误;
∵ $\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{OF}{OC}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{OF}{OC}$,故 ③ 正确;
∵ $S_{△ABC}:S_{△DEF}=AB^2:DE^2=4:1$,且 $S_{△DEF}=1$,
∴ $S_{△ABC}=4$,故④正确.故选 C.
4. (2024·巴中中考)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若$OA=1$,则$OG=$ (
A.$\dfrac{125\sqrt{5}}{64}$
B.$\dfrac{125}{64}$
C.$\dfrac{64}{27}$
D.$\dfrac{32\sqrt{3}}{27}$
C
)A.$\dfrac{125\sqrt{5}}{64}$
B.$\dfrac{125}{64}$
C.$\dfrac{64}{27}$
D.$\dfrac{32\sqrt{3}}{27}$
答案
C 解析:
∵ 题图中的 12 个直角三角形相似,
∴ ∠BOA = ∠BOC=…=$\frac{360°}{12}=30°$,$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}=\frac{OC}{OD}=…=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ OA=1,
∴ OB=1×$(\frac{2}{3}×\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,OC=1×$(\frac{2}{3}×\sqrt{3})^2=\frac{4}{3}$,OD=1×$(\frac{2}{3}×\sqrt{3})^3=\frac{8\sqrt{3}}{9}$,…,
∴ OG=1×$(\frac{2}{3}·\sqrt{3})^6=\frac{64}{27}$.故选 C.
∵ 题图中的 12 个直角三角形相似,
∴ ∠BOA = ∠BOC=…=$\frac{360°}{12}=30°$,$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}=\frac{OC}{OD}=…=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ OA=1,
∴ OB=1×$(\frac{2}{3}×\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,OC=1×$(\frac{2}{3}×\sqrt{3})^2=\frac{4}{3}$,OD=1×$(\frac{2}{3}×\sqrt{3})^3=\frac{8\sqrt{3}}{9}$,…,
∴ OG=1×$(\frac{2}{3}·\sqrt{3})^6=\frac{64}{27}$.故选 C.
5. (潍坊中考)在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为 (
A.(2m,2n)
B.(2m,2n)或(-2m,-2n)
C.$(\dfrac{1}{2}m,\dfrac{1}{2}n)$
D.$(\dfrac{1}{2}m,\dfrac{1}{2}n)$或$(-\dfrac{1}{2}m,-\dfrac{1}{2}n)$
B
)A.(2m,2n)
B.(2m,2n)或(-2m,-2n)
C.$(\dfrac{1}{2}m,\dfrac{1}{2}n)$
D.$(\dfrac{1}{2}m,\dfrac{1}{2}n)$或$(-\dfrac{1}{2}m,-\dfrac{1}{2}n)$
答案
B 解析: 点 P(m,n)是线段 AB 上一点,以原点 O 为位似中心把△AOB 放大到原来的 2 倍,则点 P 的对应点的坐标为(m×2,n×2)或(m×(-2),n×(-2)),即(2m,2n)或(-2m,-2n).故选 B.
6.（威海中考）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为（
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{5}+1$
C
）A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{5}+1$
答案
C 解析: 由折叠可得 DH=AD,CG=BC.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD=BC=1,
∴ DH=CG=1.设 CD 的长为 x,则 HG=x-2.
∵ 四边形 HEFG 是矩形,
∴ EH=1.
∵ 矩形 HEFG 与原矩形 ABCD 相似,
∴ $\frac{EH}{CD}=\frac{HG}{AD}$,即 $\frac{1}{x}=\frac{x-2}{1}$,
∴ x=$\sqrt{2}+1$(负值不符合题意,舍去),
∴ CD=$\sqrt{2}+1$.故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD=BC=1,
∴ DH=CG=1.设 CD 的长为 x,则 HG=x-2.
∵ 四边形 HEFG 是矩形,
∴ EH=1.
∵ 矩形 HEFG 与原矩形 ABCD 相似,
∴ $\frac{EH}{CD}=\frac{HG}{AD}$,即 $\frac{1}{x}=\frac{x-2}{1}$,
∴ x=$\sqrt{2}+1$(负值不符合题意,舍去),
∴ CD=$\sqrt{2}+1$.故选 C.
7. (2026·西安模拟)如图,在正方形ABCD中,E是BC延长线上一点,连接DE,F是CD边上一点,连接AF并延长交DE于点G,DF=CE.若DG=2GE,则$\frac{AD}{CE}$的值为 (
A.$\frac{3}{2}$
B.3
C.$\frac{4}{3}$
D.2
D
)A.$\frac{3}{2}$
B.3
C.$\frac{4}{3}$
D.2
答案
D 解析: 过点 G 作 GH ⊥ DC 于点 H,如图所示.
在正方形 ABCD 中,AD = DC,∠ADC = ∠DCB = ∠DCE=90°.设 DF = CE = x,AD = DC = a.∵ ∠GHF = ∠ECF = 90°,
∴ HG // CE,
∴ △DGH ∽ △DEC,
∴ $\frac{HG}{CE}=\frac{DH}{DC}=\frac{DG}{DE}=\frac{2}{3}$,
∴ DH = $\frac{2}{3}DC=\frac{2}{3}a$,$GH=\frac{2}{3}CE=\frac{2}{3}x$,
∴ FH = DH - DF = $\frac{2}{3}a - x$.
∵ GH//AD,
∴ △GFH∽△AFD,
∴ $\frac{HG}{AD}=\frac{FH}{DF}$,即 $\frac{\frac{2}{3}x}{a}=\frac{\frac{2}{3}a - x}{x}$,化简得 $2a^2-3ax-2x^2=0$,即$(2a+x)(a-2x)=0$,解得 x=-2a(舍去)或 x=$\frac{a}{2}$,故 $\frac{AD}{CE}=\frac{a}{\frac{a}{2}}=2$.故选 D.
8. 如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE, CD与BE,AE分别交于点P,M.对于下列结论:
①$△ BAE ∽ △ CAD$; ②$MP · MD = MA · ME$;
③$2CB^2 = CP · CM$.其中正确的是 (
A.①②③
B.①
C.①②
D.②③
①$△ BAE ∽ △ CAD$; ②$MP · MD = MA · ME$;
③$2CB^2 = CP · CM$.其中正确的是 (
A
)A.①②③
B.①
C.①②
D.②③
答案
A 解析:
∵ AC=$\sqrt{2}AB$,AD=$\sqrt{2}AE$,
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$.
∵ ∠BAC = ∠EAD=45°,
∴ ∠BAE = ∠CAD,
∴ △BAE∽△CAD,
∴ ①正确.
∵ △BAE ∽ △CAD,
∴ ∠BEA = ∠CDA.
∵ ∠PME = ∠AMD,
∴ △PME ∽ △AMD,
∴ $\frac{MP}{MA}=\frac{ME}{MD}$,
∴ MP · MD = MA · ME,
∴ ②正确.
∵ MP · MD = MA · ME,
∴ $\frac{MP}{ME}=\frac{MA}{MD}$.又
∵ ∠PMA = ∠DME,
∴ △PMA∽△EMD,
∴ ∠APD = ∠AED = 90°.
∵ ∠CAE = 180° - ∠BAC - ∠EAD = 90°,
∴ ∠CAM = ∠CPA = 90°.又∠ACM = ∠PCA,
∴ △CAP∽△CMA,
∴ $\frac{AC}{MC}=\frac{CP}{AC}$,
∴ $AC^2 = CP · CM$.
∵ AC = $\sqrt{2}$ BC,
∴ $2CB^2 = CP · CM$,
∴ ③正确.综上,正确的结论是①②③.故选 A.
∵ AC=$\sqrt{2}AB$,AD=$\sqrt{2}AE$,
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$.
∵ ∠BAC = ∠EAD=45°,
∴ ∠BAE = ∠CAD,
∴ △BAE∽△CAD,
∴ ①正确.
∵ △BAE ∽ △CAD,
∴ ∠BEA = ∠CDA.
∵ ∠PME = ∠AMD,
∴ △PME ∽ △AMD,
∴ $\frac{MP}{MA}=\frac{ME}{MD}$,
∴ MP · MD = MA · ME,
∴ ②正确.
∵ MP · MD = MA · ME,
∴ $\frac{MP}{ME}=\frac{MA}{MD}$.又
∵ ∠PMA = ∠DME,
∴ △PMA∽△EMD,
∴ ∠APD = ∠AED = 90°.
∵ ∠CAE = 180° - ∠BAC - ∠EAD = 90°,
∴ ∠CAM = ∠CPA = 90°.又∠ACM = ∠PCA,
∴ △CAP∽△CMA,
∴ $\frac{AC}{MC}=\frac{CP}{AC}$,
∴ $AC^2 = CP · CM$.
∵ AC = $\sqrt{2}$ BC,
∴ $2CB^2 = CP · CM$,
∴ ③正确.综上,正确的结论是①②③.故选 A.
