1. 如图 4-2-7,利用一副三角尺比较$∠ AOB$与$∠ CPD$的大小,两角顶点均与三角尺某一顶点重合。已知图 4-2-7①中射线$OB$经过$60°$角的一边,图 4-2-7②中射线$PC$经过$45°$角的一边,则下列判断正确的是()。


A.$∠ CPD＞∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ CPD$
C.$∠ AOB=∠ CPD$
D.无法判断

1.B

【分析】
要比较两个角的大小，我们可以借助三角尺上已知的固定角度作为参照，通过分别判断两个待比较角和参照角的大小关系，间接得出两角的大小。首先回忆一副三角尺的角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，我们可以选择45°作为参照角：第一步先判断∠AOB的大小，它位于含60°角的三角尺中，射线OB是60°角的一边，观察图形可知∠AOB大于45°；第二步判断∠CPD的大小，它位于含45°角的三角尺中，射线PC是45°角的一边，观察图形可知∠CPD小于45°，最后对比即可得出结论。
【解析】
一副三角尺的角度分别为：含30°角的三角尺角度为30°、60°、90°，等腰直角三角尺角度为45°、45°、90°。
1. 观察图①：∠AOB在含60°角的三角尺内，射线OB是该三角尺60°角的一条边，可得$∠ AOB＞45°$；
2. 观察图②：∠CPD在含45°角的三角尺内，射线PC是该三角尺45°角的一条边，可得$∠ CPD＜45°$；
因此$∠ AOB＞45°＞∠ CPD$，即$∠ AOB＞∠ CPD$。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较；三角尺的角度特征
【点评】
本题是角的大小比较的基础应用，解题核心是利用三角尺的已知角度作为参照，通过间接对比的方法判断角的大小，解题时要结合图形准确判断角的范围。
【难度系数】
0.8

2. 如图4-2-8,OC为∠AOB内的一条射线,下列条件不能确定OC平分∠AOB的是()。

A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOC+∠COB=∠AOB
C.∠AOB=2∠BOC
D.∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB

2.B

【分析】
要判断哪个条件不能确定OC平分∠AOB，首先明确角平分线的定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线，即若OC平分∠AOB（OC在∠AOB内部），则满足∠AOC=∠BOC=½∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。我们只需逐一分析各选项是否能推导出上述角平分线的特征即可，注意本题要选“不能确定”的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：∠AOC=∠BOC，直接符合角平分线的定义，能确定OC平分∠AOB，不符合题意，排除；
B选项：因为OC是∠AOB内部的射线，不管OC在∠AOB内部的任意位置，都满足∠AOC+∠COB=∠AOB，无法推出∠AOC=∠BOC，所以不能确定OC平分∠AOB，符合题意；
C选项：已知∠AOB=2∠BOC，又因为OC在∠AOB内部，所以∠AOC+∠BOC=∠AOB，代入可得∠AOC+∠BOC=2∠BOC，化简得∠AOC=∠BOC，能确定OC平分∠AOB，不符合题意，排除；
D选项：已知∠AOC=½∠AOB，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB，代入可得½∠AOB + ∠BOC=∠AOB，化简得∠BOC=½∠AOB，即∠AOC=∠BOC，能确定OC平分∠AOB，不符合题意，排除。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题的关键是牢记角平分线的定义，注意区分角的通用和差性质和角平分线特有的数量关系，避免混淆导致误选。
【难度系数】
0.8

3. 如图4-2-9，把一副三角尺按如图方式摆放在一起，$∠ A=90°$，$∠ B=60°$，则$∠ AOB=$。

3.75°

【分析】
解题的核心是先明确一副三角尺的内角度数，再结合平角的特征计算。首先，一副三角尺包含两种，一种内角为90°、60°、30°，另一种内角为90°、45°、45°；观察摆放方式可知，∠B=60°、另一个三角尺的45°锐角与∠AOB共同构成180°的平角，因此用平角的度数减去已知的两个角的度数，即可求出∠AOB的大小。
【解析】
解：已知一副三角尺中，与60°角共同拼成平角的另一个锐角为45°，平角的度数为180°，因此：
$∠ AOB = 180° - 60° - 45° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
三角尺的角度特征，平角的性质，角度计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，重点考查对三角尺常用角度的记忆和平角定义的应用，只要掌握三角尺的固定角度，结合平角的度数即可快速解题。
【难度系数】
0.85

4. 已知$∠ AOB=90°$,射线$OC$,$OD$在$∠ AOB$内部,$OC$平分$∠ BOD$,$OD$平分$∠ AOC$,则$∠ COD$的度数是。

4.30°

【分析】
本题属于角度计算问题，已知大角∠AOB的度数，以及两条角平分线，我们可以通过设未知数的方法梳理各角的关系：首先设∠COD的度数为x，再根据角平分线的定义，将和它相关的∠AOD、∠BOC都用x表示，最后利用三个小角的和等于∠AOB=90°列方程求解即可。
【解析】
解：设∠COD = x。
∵ OD平分∠AOC（已知），
∴ ∠AOD = ∠COD = x（角平分线的定义）。
∵ OC平分∠BOD（已知），
∴ ∠BOC = ∠COD = x（角平分线的定义）。
又
∵ ∠AOB = ∠AOD + ∠COD + ∠BOC = 90°，
∴ x + x + x = 90°，
即3x = 90°，
解得x = 30°，
∴ ∠COD = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
角平分线的定义；角度的和差运算；方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是利用角平分线的定义找到相等的角，通过设未知数可以更清晰地梳理多个角之间的数量关系，降低解题难度，熟练掌握角平分线的定义是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8

5. 如图 4-2-10,若$∠AOB=∠COD$,则$∠AOC$$∠BOD$;若$∠AOC=∠BOD$,则$∠AOB$$∠COD$。(两空均填“＞”“＜”或“=”)

5.= =

【分析】
解题时可结合图形观察角的组成，利用等式的性质分析角的大小关系：第一空，已知∠AOB=∠COD，两个角同时加上公共角∠BOC，所得的和仍然相等，即可得到∠AOC和∠BOD的关系；第二空，已知∠AOC=∠BOD，两个角同时减去公共角∠BOC，所得的差仍然相等，即可得到∠AOB和∠COD的关系。
【解析】
观察图形可知：$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ COD + ∠ BOC$。
第一空：$\because ∠ AOB=∠ COD$，根据等式的性质，等式两边同时加上相等的量$∠ BOC$，等式仍然成立，
$\therefore ∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，即$∠ AOC = ∠ BOD$，故填“=”。
第二空：$\because ∠ AOC=∠ BOD$，根据等式的性质，等式两边同时减去相等的量$∠ BOC$，等式仍然成立，
$\therefore ∠ AOC - ∠ BOC = ∠ BOD - ∠ BOC$，即$∠ AOB = ∠ COD$，故填“=”。
【答案】
=；=
【知识点】
1.角的和差关系 2.等式的基本性质
【点评】
本题是角的大小比较的基础题型，结合图形找准角之间的和差关系，结合等式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 如图4-2-11，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD=128°，那么∠BOC=。

6.52°

【分析】
两个直角三角形的直角顶点重合，可得∠AOB和∠COD均为90°的直角。要求∠BOC的度数，可先通过已知的∠AOD和直角∠AOB求出∠BOD的度数，再用直角∠COD减去∠BOD即可得到结果；也可利用两个直角的和等于∠AOD与∠BOC的和直接计算。
【解析】
解：由题意可知，∠AOB=∠COD=90°。
∵∠AOD=∠AOB + ∠BOD，∠AOD=128°
∴∠BOD=∠AOD - ∠AOB = 128° - 90° = 38°
又
∵∠COD=∠BOC + ∠BOD
∴∠BOC=∠COD - ∠BOD = 90° - 38° = 52°
（简便方法：
∵∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，且∠AOB+∠COD=∠AOD+∠BOC
∴∠BOC=180°-∠AOD=180°-128°=52°）
【答案】
52°
【知识点】
角的和差计算，直角的定义
【点评】
本题主要考查角的和差关系的应用，解题的关键是理清重叠角之间的数量关系，解题思路灵活，掌握角的基本运算即可快速解答。
【难度系数】
0.8

7. 如图 4-2-12,点 A,O,E 在同一条直线上, $∠ AOB=36°,∠ AOB:∠ COE=2:3$。
(1)求$∠ COE$的度数。
(2)OB 与 OC 垂直吗？试说明理由。

7. 解:(1)因为$∠AOB=36°,∠AOB:∠COE=2:3$,
所以$∠COE=54°$。
(2)$OB⊥OC$,理由如下:
因为 A,O,E 三点共线,
所以$∠AOE=180°$,
所以$∠BOC=∠AOE-∠AOB-∠COE=180°-36°-54°=90°$,
所以$OB⊥OC$。

【分析】
(1) 第一问已知∠AOB的度数和∠AOB与∠COE的度数比，可利用比例关系计算∠COE的度数：先确定∠AOB占2份对应36°，算出1份对应的角度，再乘3即可得到∠COE的度数。
(2) 第二问要判断OB与OC是否垂直，只需判断二者的夹角∠BOC是否为90°。因为A、O、E共线，所以∠AOE是平角为180°，用180°减去∠AOB和∠COE的度数就能得到∠BOC的度数，即可判断是否垂直。
【解析】
(1) 因为∠AOB=36°，∠AOB:∠COE=2:3，
所以∠COE = 36°÷2×3 = 54°。
(2) OB⊥OC，理由如下：
因为点A，O，E在同一条直线上，所以∠AOE=180°，
因此∠BOC = ∠AOE - ∠AOB - ∠COE = 180° - 36° - 54° = 90°，
所以OB⊥OC。
【答案】
(1) ∠COE=54°；
(2) OB⊥OC，理由见解析。
【知识点】
比例求角，平角性质，垂直判定
【点评】
本题是角度计算与垂直判定的基础题型，解题核心是熟练运用比例运算、平角的定义和垂直的判定条件，计算过程中注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8

8. 如图 4-2-13,将长方形纸片的一角折叠,使顶点 A 落在$A'$处,EF 为折痕,且$EA'$恰好平分$∠FEB$。
(1)判断$∠FEA$与$∠A'EB$的大小关系,并说明理由；
(2)求$∠FEB$的度数。

图 4-2-13

8. 解:(1)$∠FEA=∠A'EB$。
理由如下:
由折叠的对称性可得:$∠FEA=∠FEA'$。
因为$EA'$平分$∠FEB$,
所以$∠FEA'=∠A'EB$,
所以$∠FEA=∠A'EB$。
(2)由(1)可知,$∠FEA=∠A'EB=∠FEA'$。
又因为$∠FEA+∠A'EB+∠FEA'=180°$,
所以$∠FEA=∠A'EB=∠FEA'=60°$,
所以$∠FEB=∠FEA'+∠A'EB=60°+60°=120°$。

【分析】
(1) 判断两个角的大小关系时，首先结合折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得到∠FEA和∠FEA'相等；再根据题目给出的EA'平分∠FEB，利用角平分线的定义得到∠FEA'和∠A'EB相等，通过等量代换就能得出∠FEA和∠A'EB的关系。
(2) 求∠FEB的度数时，由(1)的结论可推出∠FEA、∠FEA'、∠A'EB三个角相等，而这三个角在直线AB上共同组成平角，和为180°，先求出单个角的度数，再将组成∠FEB的两个角相加即可得到结果。
【解析】
(1) $∠FEA=∠A'EB$，理由如下：
由折叠的对称性可得：$∠FEA=∠FEA'$。
因为$EA'$平分$∠FEB$，根据角平分线的定义，所以$∠FEA'=∠A'EB$，
通过等量代换可得：$∠FEA=∠A'EB$。
(2) 由(1)的结论可知：$∠FEA=∠FEA'=∠A'EB$，
因为点A、E、B在同一直线上，根据平角的定义，$∠FEA+∠FEA'+∠A'EB=180°$，
代入等量关系得：$3∠FEA=180°$，解得$∠FEA=∠FEA'=∠A'EB=60°$，
因此$∠FEB=∠FEA'+∠A'EB=60°+60°=120°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠FEA=∠A'EB}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠FEB=120°}$
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题关键是结合折叠、角平分线的性质得到相等的角，再利用平角的度数建立等量关系求解，熟练掌握相关基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8