9. 如图4-2-14，点O在直线AB上，$∠ COD = 90°$，OE平分$∠ BOC$。
（1）如图4-2-14 ①，若$∠ DOE = 12°$，求$∠ AOC$的度数；
（2）如图4-2-14 ②，若$∠ AOC = 140°$，求$∠ DOE$的度数；
（3）如图4-2-14 ②，若$∠ AOC = α$，求$∠ DOE$的度数（用含$α$的代数式表示）。

图4-2-14

9. 解:(1)因为$∠DOE=12°,∠COD=90°$,
所以$∠COE=∠COD-∠DOE=78°$。
因为 OE 平分$∠BOC$,
所以$∠BOC=2∠COE=156°$,
所以$∠AOC=180°-∠BOC=180°-156°=24°$。
(2)因为$∠AOC=140°$,
所以$∠COB=180°-∠AOC=40°$。
因为 OE 平分$∠BOC$,
所以$∠COE=40°×\frac{1}{2}=20°$。
因为$∠COD=90°$,
所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-20°=70°$。
(3)因为$∠AOC=α$,
所以$∠COB=180°-∠AOC=180°-α$。
因为 OE 平分$∠BOC$,
所以$∠COE=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。
因为$∠COD=90°$,
所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。

【分析】
这道题的三个小问均围绕平角（180°）、直角（90°）的性质以及角平分线的定义展开，解题思路可按以下逻辑梳理：
（1）已知∠COD=90°和∠DOE的度数，先通过角的差求出∠COE的度数；再利用OE是∠BOC的角平分线，得到∠BOC=2∠COE；最后根据AB是直线，∠AOC+∠BOC=180°，即可求出∠AOC的度数。
（2）已知∠AOC的度数，先利用平角性质求出∠BOC的度数；再由角平分线定义得到∠COE的度数；最后根据∠DOE=∠COD-∠COE，代入∠COD=90°即可算出结果。
（3）思路和第（2）问完全一致，仅把具体数值替换为代数式α，按同样的推导步骤即可得到用α表示的∠DOE。
【解析】
(1) 因为$∠DOE=12°,∠COD=90°$，
所以$∠COE=∠COD-∠DOE=78°$。
因为 OE 平分$∠BOC$，
所以$∠BOC=2∠COE=156°$，
所以$∠AOC=180°-∠BOC=180°-156°=24°$。
(2) 因为$∠AOC=140°$，
所以$∠COB=180°-∠AOC=40°$。
因为 OE 平分$∠BOC$，
所以$∠COE=40°×\frac{1}{2}=20°$。
因为$∠COD=90°$，
所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-20°=70°$。
(3) 因为$∠AOC=α$，
所以$∠COB=180°-∠AOC=180°-α$。
因为 OE 平分$∠BOC$，
所以$∠COE=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。
因为$∠COD=90°$，
所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boxed{24°}$；(2) $\boxed{70°}$；(3) $\boxed{\frac{1}{2}α}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，通过由具体数值到代数式的推导，考查对平角、直角性质和角平分线定义的掌握，只要理清图中各角的和差关系，就能顺利求解，有助于巩固角度运算的基础方法。
【难度系数】
0.8

二、拓展性作业
10. 已知$∠ AOB=80°$，$OD$平分$∠ AOB$，$∠ BOC=30°$，求$∠ DOC$的度数。

10. 解:因为$∠AOB=80°$,OD 平分$∠AOB$,
所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=40°$。
①如答图 4-2-1①所示,射线 OC 位于$∠AOB$外部,
$∠DOC=∠BOD+∠BOC=40°+30°=70°$。
②如答图 4-2-1②所示,射线 OC 位于$∠AOB$内部,
$∠DOC=∠BOD-∠BOC=40°-30°=10°$。
综上所述,$∠DOC$等于$70°$或$10°$。

【分析】
本题未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论求解。首先根据角平分线的定义，由OD平分∠AOB先求出∠BOD的度数；再分别讨论OC在∠AOB外部、OC在∠AOB内部两种情况，利用角的和差关系分别计算∠DOC的度数，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
解：因为$∠AOB=80°$，OD平分$∠AOB$，
所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
①如答图4-2-1①所示，射线OC位于$∠AOB$外部：
$∠DOC=∠BOD+∠BOC=40°+30°=70°$；
②如答图4-2-1②所示，射线OC位于$∠AOB$内部：
$∠DOC=∠BOD-∠BOC=40°-30°=10°$。
综上所述，$∠DOC$的度数为$70°$或$10°$。
【答案】
$∠DOC$等于$70°$或$10°$。

【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略射线OC的位置不确定性，导致漏写其中一种解。解题时首先要对位置不确定的射线进行分类讨论，再结合角平分线的性质和角的和差关系计算即可，掌握分类讨论思想是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

11. 如图4-2-15①,一个直角三角尺的直角边OM在直线AB上,作射线OC,使∠BOC=125°。

(1)将该三角尺绕直角顶点O逆时针旋转,当直角边OM在∠BOC的内部,直角边ON在直线AB的下方时(如图4-2-15②):
①若∠BON = 15°,则∠COM的度数为;
②若∠BON = α,则∠COM的度数为(用含α的代数式表示)。
(2)若该三角尺绕直角顶点O按每秒7°的速度逆时针旋转一周,在旋转的过程中,经过多少秒时,射线OC恰好是∠AOM的平分线?

11. 解:(1)①$50°$ ②$α+35°$
(2)因为$∠BOC=125°$,
所以$∠AOC=55°$。
当射线 OC 恰好平分$∠AOM$时,
$∠COM=∠AOC=55°$,
所以$∠BOM=125°-55°=70°$。
此时该三角尺旋转的角度为$70°$,
所以旋转的时间为$70°÷7°=10(s)$。

【分析】
解题时先明确已知条件：平角∠AOB=180°，∠BOC=125°，三角尺的直角∠MON=90°。
(1) 求∠COM时，观察图形可得∠COM=∠BOC-∠BOM，因此只需先根据∠BON的度数求出∠BOM即可：∠BOM=90°-∠BON，代入数值或字母即可推导结果。
(2) 当OC平分∠AOM时，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠COM，先求出∠AOC的度数，再确定此时三角尺旋转的角度，最后用旋转角度除以旋转速度即可求出旋转时间。
【解析】
(1) 首先计算∠AOC：
∵∠AOB=180°，∠BOC=125°，
∴∠AOC=180°-125°=55°，且三角尺中∠MON=90°。
① 已知∠BON=15°，则∠BOM=∠MON-∠BON=90°-15°=75°，
∴∠COM=∠BOC-∠BOM=125°-75°=50°。
② 已知∠BON=α，则∠BOM=∠MON-∠BON=90°-α，
∴∠COM=∠BOC-∠BOM=125°-(90°-α)=α+35°。
(2) 当OC平分∠AOM时，根据角平分线的定义得∠AOM=2∠AOC，
由(1)可知∠AOC=55°，
∴∠AOM=2×55°=110°，
则此时∠BOM=180°-∠AOM=180°-110°=70°，即三角尺逆时针旋转的角度为70°，
已知旋转速度为每秒7°，
∴旋转时间=70°÷7°/s=10(s)。
【答案】
(1) ①$\boxed{50°}$；②$\boxed{α+35°}$
(2) $\boxed{10\ \mathrm{s}}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，旋转中的角度计算
【点评】
本题结合三角尺的旋转考查角的相关计算，需要结合图形理清各角之间的数量关系，解题的关键是抓住旋转过程中不变的量（如三角尺的直角度数、平角的度数），再结合角平分线的性质即可求解，是角的计算模块的典型题型。
【难度系数】
0.7