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8. 如图4-2-5，时钟中蕴含着许多数学知识。
(1)我们知道，分针和时针转动一周都是
(2)从5:00到5:30，分针与时针各转动了多少度？
(3)时钟显示3:00时，时针与分针的夹角为多少度？
图4-2-5
(1)我们知道，分针和时针转动一周都是
360
°，分针转动一周是60
min，时针转动一周是12 h，等于720 min，所以分针每分钟转动6
°，时针每分钟转动0.5
°。(2)从5:00到5:30，分针与时针各转动了多少度？
(3)时钟显示3:00时，时针与分针的夹角为多少度？
图4-2-5
答案
8. 解:(1)360 60 6 0.5 解析:分针和时针转动一周都是$360°$,分针转动一周是60 min,时针转动一周是12 h,等于720 min,
所以分针每分钟转动$360°÷60=6°$,
时针每分钟转动$360°÷720=0.5°$。
故答案为:360,60,6,0.5。
(2)从5:00到5:30,分针转动了:$6°×30=180°$,时针转动了$0.5°×30=15°$。
(3)时钟显示3:00时,时针与分针的夹角是$30°×3=90°$。
所以分针每分钟转动$360°÷60=6°$,
时针每分钟转动$360°÷720=0.5°$。
故答案为:360,60,6,0.5。
(2)从5:00到5:30,分针转动了:$6°×30=180°$,时针转动了$0.5°×30=15°$。
(3)时钟显示3:00时,时针与分针的夹角是$30°×3=90°$。
解析
【分析】
这是时钟角度计算的基础题，解题思路可分三步梳理：1. 首先明确转动一周对应的角度是周角360°，再结合分针、时针转动一周的总时间，用总度数除以总时间就能得到两者每分钟转动的角度，解决第一问；2. 第二问先计算出从5:00到5:30经过的时长为30分钟，分别用分针、时针每分钟转动的角度乘时长，即可得到各自转动的总度数；3. 第三问整点时刻分针固定指向12，3:00时时针指向3，先算出时钟上每相邻两个数字（1个大格）对应的夹角是$360°÷12=30°$，再数出时针和分针之间间隔3个大格，乘每个大格的角度就能得到夹角。
【解析】
(1) 周角的度数为360°，因此分针和时针转动一周都是360°；分针转动一周是1小时，即60min；
分针每分钟转动角度：$360°÷60=6°$
时针转动一周共720min，每分钟转动角度：$360°÷720=0.5°$
(2) 从5:00到5:30，经过时长为30min：
分针转动角度：$6°×30=180°$
时针转动角度：$0.5°×30=15°$
(3) 时钟上12个大格对应总角度360°，因此1个大格的角度为$360°÷12=30°$
3:00时，分针指向12，时针指向3，两者间隔3个大格，夹角为$30°×3=90°$
【答案】
(1) $\boxed{360}$，$\boxed{60}$，$\boxed{6}$，$\boxed{0.5}$
(2) 分针转动$\boxed{180°}$，时针转动$\boxed{15°}$
(3) 时针与分针的夹角为$\boxed{90°}$
【知识点】
1. 周角的概念
2. 时钟角度计算
3. 角度的运算
【点评】
本题结合生活中常见的时钟场景考察角度计算问题，核心是掌握时针和分针的转动速度，学会结合经过时间或者钟面大格数计算对应角度，能帮助学生建立数学与生活实际的联系，提升知识应用能力。
【难度系数】
0.8
这是时钟角度计算的基础题，解题思路可分三步梳理：1. 首先明确转动一周对应的角度是周角360°，再结合分针、时针转动一周的总时间，用总度数除以总时间就能得到两者每分钟转动的角度，解决第一问；2. 第二问先计算出从5:00到5:30经过的时长为30分钟，分别用分针、时针每分钟转动的角度乘时长，即可得到各自转动的总度数；3. 第三问整点时刻分针固定指向12，3:00时时针指向3，先算出时钟上每相邻两个数字（1个大格）对应的夹角是$360°÷12=30°$，再数出时针和分针之间间隔3个大格，乘每个大格的角度就能得到夹角。
【解析】
(1) 周角的度数为360°，因此分针和时针转动一周都是360°；分针转动一周是1小时，即60min；
分针每分钟转动角度：$360°÷60=6°$
时针转动一周共720min，每分钟转动角度：$360°÷720=0.5°$
(2) 从5:00到5:30，经过时长为30min：
分针转动角度：$6°×30=180°$
时针转动角度：$0.5°×30=15°$
(3) 时钟上12个大格对应总角度360°，因此1个大格的角度为$360°÷12=30°$
3:00时，分针指向12，时针指向3，两者间隔3个大格，夹角为$30°×3=90°$
【答案】
(1) $\boxed{360}$，$\boxed{60}$，$\boxed{6}$，$\boxed{0.5}$
(2) 分针转动$\boxed{180°}$，时针转动$\boxed{15°}$
(3) 时针与分针的夹角为$\boxed{90°}$
【知识点】
1. 周角的概念
2. 时钟角度计算
3. 角度的运算
【点评】
本题结合生活中常见的时钟场景考察角度计算问题，核心是掌握时针和分针的转动速度，学会结合经过时间或者钟面大格数计算对应角度，能帮助学生建立数学与生活实际的联系，提升知识应用能力。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 若$∠ A$为锐角，$∠ B$为直角，$∠ C$为钝角，请给出$\frac{1}{6}(∠ A+∠ B+∠ C)$的一个可能值，并说明理由。
9. 若$∠ A$为锐角，$∠ B$为直角，$∠ C$为钝角，请给出$\frac{1}{6}(∠ A+∠ B+∠ C)$的一个可能值，并说明理由。
答案
9. 解:因为$∠A$为锐角,$∠B$为直角,$∠C$为钝角,
所以$0°＜∠A＜90°,∠B=90°,90°＜∠C＜180°$,
所以 $\frac{1}{6}$ $(0°+90°+90°)＜ \frac{1}{6}$ $(∠A+∠B+∠C)＜ \frac{1}{6} (90°+90°+180°)$,
即$30°＜\frac{1}{6}(∠A+∠B+∠C)＜60°$,在此范围内的值均可。
所以$0°＜∠A＜90°,∠B=90°,90°＜∠C＜180°$,
所以 $\frac{1}{6}$ $(0°+90°+90°)＜ \frac{1}{6}$ $(∠A+∠B+∠C)＜ \frac{1}{6} (90°+90°+180°)$,
即$30°＜\frac{1}{6}(∠A+∠B+∠C)＜60°$,在此范围内的值均可。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确锐角、直角、钝角对应的度数范围，再据此求出三个角之和的取值范围，最后通过计算得到$\frac{1}{6}(∠ A+∠ B+∠ C)$的取值范围，在范围内任意选取一个度数就是符合要求的答案。第一步先回忆三类角的度数定义：锐角是大于0°小于90°的角，直角等于90°，钝角是大于90°小于180°的角；第二步分别取三个角的最小值和最大值，计算出三个角之和的最小可能值和最大可能值，得到和的范围；第三步将和的范围同时乘以$\frac{1}{6}$，就能得到所求式子的范围，从中选一个值即可。
【解析】
解：
∵ ∠A为锐角，∠B为直角，∠C为钝角，
∴ $0°＜∠A＜90°$，$∠B=90°$，$90°＜∠C＜180°$，
将三个角度的范围相加，可得三个角之和的取值范围：
$0°+90°+90°＜∠A+∠B+∠C＜90°+90°+180°$，
即$180°＜∠A+∠B+∠C＜360°$，
不等式两边同时乘以$\frac{1}{6}$，得：
$\frac{1}{6}×180°＜\frac{1}{6}(∠A+∠B+∠C)＜\frac{1}{6}×360°$，
即$30°＜\frac{1}{6}(∠A+∠B+∠C)＜60°$，
只要是大于30°且小于60°的度数都符合要求，例如45°。
【答案】
45°（答案不唯一，大于30°且小于60°的度数均可）
【知识点】
角的分类；不等式的性质
【点评】
本题重点考查对锐角、直角、钝角的度数范围的掌握，解题的关键是准确写出各类角的取值范围，再通过推导得到所求代数式的取值范围，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确锐角、直角、钝角对应的度数范围，再据此求出三个角之和的取值范围，最后通过计算得到$\frac{1}{6}(∠ A+∠ B+∠ C)$的取值范围，在范围内任意选取一个度数就是符合要求的答案。第一步先回忆三类角的度数定义：锐角是大于0°小于90°的角，直角等于90°，钝角是大于90°小于180°的角；第二步分别取三个角的最小值和最大值，计算出三个角之和的最小可能值和最大可能值，得到和的范围；第三步将和的范围同时乘以$\frac{1}{6}$，就能得到所求式子的范围，从中选一个值即可。
【解析】
解：
∵ ∠A为锐角，∠B为直角，∠C为钝角，
∴ $0°＜∠A＜90°$，$∠B=90°$，$90°＜∠C＜180°$，
将三个角度的范围相加，可得三个角之和的取值范围：
$0°+90°+90°＜∠A+∠B+∠C＜90°+90°+180°$，
即$180°＜∠A+∠B+∠C＜360°$，
不等式两边同时乘以$\frac{1}{6}$，得：
$\frac{1}{6}×180°＜\frac{1}{6}(∠A+∠B+∠C)＜\frac{1}{6}×360°$，
即$30°＜\frac{1}{6}(∠A+∠B+∠C)＜60°$，
只要是大于30°且小于60°的度数都符合要求，例如45°。
【答案】
45°（答案不唯一，大于30°且小于60°的度数均可）
【知识点】
角的分类；不等式的性质
【点评】
本题重点考查对锐角、直角、钝角的度数范围的掌握，解题的关键是准确写出各类角的取值范围，再通过推导得到所求代数式的取值范围，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
10.（1）如图4-2-6①，如果过角的顶点，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？
（2）如图4-2-6②，如果过角的顶点，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？
（3）如图4-2-6③，如果过角的顶点，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？
（4）如果过角的顶点，在角的内部作n条射线，那么一共有几个角？
图4-2-6
（2）如图4-2-6②，如果过角的顶点，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？
（3）如图4-2-6③，如果过角的顶点，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？
（4）如果过角的顶点，在角的内部作n条射线，那么一共有几个角？
图4-2-6
答案
10. 解:(1)如果过角的顶点,在角的内部作一条射线,共有三条射线,那么题图中一共有$\frac{3×2}{2}=3$(个)角。
(2)如果过角的顶点,在角的内部作两条射线,共有四条射线,那么题图中一共有$\frac{4×3}{2}=6$(个)角。
(3)如果过角的顶点,在角的内部作三条射线,共有五条射线,那么题图中一共有$\frac{5×4}{2}=10$(个)角。
(4)如果过角的顶点,在角的内部作$n$条射线,共有$(n+2)$条射线,那么一共有$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$个角。
(2)如果过角的顶点,在角的内部作两条射线,共有四条射线,那么题图中一共有$\frac{4×3}{2}=6$(个)角。
(3)如果过角的顶点,在角的内部作三条射线,共有五条射线,那么题图中一共有$\frac{5×4}{2}=10$(个)角。
(4)如果过角的顶点,在角的内部作$n$条射线,共有$(n+2)$条射线,那么一共有$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$个角。
解析
【分析】
要解决数角的问题，首先明确角是由有公共端点的两条射线组成的图形，数角的个数本质是计算从公共顶点出发的所有射线中任选两条的组合数量。首先确定每个图中从顶点出发的总射线数：内部作k条射线时，加上原来角的两条边，总射线数为k+2条。计数时既可以按顺序累加不同大小的角，也可以用“总射线数×(总射线数-1)÷2”计算（每两条射线组成1个角，除以2是为了避免重复计数），最后从特殊情况推导n条射线的一般规律即可。
【解析】
(1) 图①中，角内部作1条射线，总射线数为$1+2=3$条，
角的总个数为$\frac{3×2}{2}=3$个；
(2) 图②中，角内部作2条射线，总射线数为$2+2=4$条，
角的总个数为$\frac{4×3}{2}=6$个；
(3) 图③中，角内部作3条射线，总射线数为$3+2=5$条，
角的总个数为$\frac{5×4}{2}=10$个；
(4) 当角内部作n条射线时，总射线数为$n+2$条，
角的总个数为$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$个。
【答案】
(1) 3个；(2) 6个；(3) 10个；(4) $\boldsymbol{\frac{(n+2)(n+1)}{2}}$个
【知识点】
角的定义；图形计数；规律探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，考查角的计数方法，解题时要注意避免漏数、重复计数，掌握该组合计数思路后，也可迁移解决同类的线段计数、交点计数等问题。
【难度系数】
0.7
要解决数角的问题，首先明确角是由有公共端点的两条射线组成的图形，数角的个数本质是计算从公共顶点出发的所有射线中任选两条的组合数量。首先确定每个图中从顶点出发的总射线数：内部作k条射线时，加上原来角的两条边，总射线数为k+2条。计数时既可以按顺序累加不同大小的角，也可以用“总射线数×(总射线数-1)÷2”计算（每两条射线组成1个角，除以2是为了避免重复计数），最后从特殊情况推导n条射线的一般规律即可。
【解析】
(1) 图①中，角内部作1条射线，总射线数为$1+2=3$条，
角的总个数为$\frac{3×2}{2}=3$个；
(2) 图②中，角内部作2条射线，总射线数为$2+2=4$条，
角的总个数为$\frac{4×3}{2}=6$个；
(3) 图③中，角内部作3条射线，总射线数为$3+2=5$条，
角的总个数为$\frac{5×4}{2}=10$个；
(4) 当角内部作n条射线时，总射线数为$n+2$条，
角的总个数为$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$个。
【答案】
(1) 3个；(2) 6个；(3) 10个；(4) $\boldsymbol{\frac{(n+2)(n+1)}{2}}$个
【知识点】
角的定义；图形计数；规律探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，考查角的计数方法，解题时要注意避免漏数、重复计数，掌握该组合计数思路后，也可迁移解决同类的线段计数、交点计数等问题。
【难度系数】
0.7
