1. 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中是自变量，是的函数。

1. $y=\dfrac{k}{x}$，$x$，$y$，$x$

【分析】
这道题考查反比例函数的基础定义，解题时只需回忆教材中反比例函数的相关概念即可：首先明确反比例函数的标准表达形式，再区分函数表达式里的自变量和因变量，对应空缺逐一填写就可以。
【解析】
根据反比例函数的定义：一般地，形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数叫作反比例函数。在这个函数表达式中，$x$是可以自主变化的量，也就是自变量；$y$的取值随$x$的取值变化而变化，因此$y$是$x$的函数，据此对应填空即可。
【答案】
$y=\dfrac{k}{x}$，$x$，$y$，$x$
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心是对课本基础定义的掌握，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2. 若函数$y=\dfrac{k-1}{x}$是关于$x$的反比例函数，则$k$的取值范围是。

2. $k≠1$

【分析】
要确定反比例函数中参数的取值范围，首先回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=\frac{a}{x}$，其中$a$是常数，且$a\ne0$（比例系数不能为0）。本题给出的函数$y=\frac{k-1}{x}$符合反比例函数的形式，其中比例系数为$k-1$，因此只需令比例系数不等于0，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，要求比例系数不为0。
对于函数$y=\frac{k-1}{x}$，其比例系数为$k-1$，因此需满足：
$k-1\ne0$
解得：$k\ne1$
【答案】
$k≠1$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是对反比例函数基本概念的考查，属于基础题型，解题的关键是牢记反比例函数中比例系数不能为0的限制条件，避免因忽略该条件导致错误。
【难度系数】
0.9

3. 下列函数中，$y$是$x$的反比例函数的是（）

A.$y=\frac{x}{3}$
B.$y=\frac{3}{x+1}$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{3}{x^3}$

3. C

【分析】
解本题的核心是紧扣反比例函数的定义来逐一判断选项。首先明确反比例函数的判定标准：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式，需满足两个要点：一是自变量$x$的次数为$-1$，二是分母只能是单独的$x$，不能含有其他加减项或更高次项。我们只需将每个选项和上述标准比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数。
逐一分析选项：
选项A：$y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$，属于正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\frac{3}{x+1}$的分母是$x+1$，此时$y$是$x+1$的反比例函数，不是$x$的反比例函数，排除；
选项C：$y=\frac{3}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=3\ne0$）的形式，是$x$的反比例函数，符合要求；
选项D：$y=\frac{3}{x^3}=3x^{-3}$，自变量$x$的次数为$-3$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握反比例函数的标准形式，注意区分反比例函数与正比例函数、其他分式函数的差异，判断时要重点关注自变量的次数和分母的构成，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

4. 长方形面积是100，长是$x$，宽是$y$，则$y$与$x$之间的函数表达式为 （）

A.$y=100x$
B.$y=\dfrac{100}{x}$
C.$y=\dfrac{x}{2}+100$
D.$y=100-x$

4. B

【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，结合题目给出的面积、长、宽的已知条件建立等量关系，再将等量关系变形，把y用含x的式子表示出来，最后和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
根据长方形的面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入已知条件可得：
$x· y=100$
将等式变形，两边同时除以$x$（长方形的长为正数，故$x＞0$），得到：
$y=\dfrac{100}{x}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积公式；列函数关系式；反比例函数概念
【点评】
本题属于基础题，核心是结合几何图形的面积公式推导变量间的函数关系，只要掌握基础公式和反比例函数的形式就能快速作答。
【难度系数】
0.9

5. 下列问题中的两个变量具有反比例关系的是 （）

A.一辆汽车行驶速度为80 km/h，该汽车行驶路程s km与行驶时间t h之间的关系
B.铺设一条长为500 km的铁路，铺设天数t天与平均工作效率x km/天之间的关系
C.圆柱的高为15，该圆柱的体积V与底面积S之间的关系
D.两个实数a与b的和为10，a与b之间的关系

5. B

【分析】
解题的核心是先明确反比例关系的判定标准：若两个变量的乘积为非零定值，则这两个变量成反比例关系。解题步骤为：首先逐一推导每个选项中两个变量的关系式，再根据关系式判断两个变量是乘积为定值、比值为定值还是其他关系，最终选出符合反比例关系的选项。
【解析】
先明确反比例关系的定义：两个相关联的变量x、y，若满足$xy=k$（k为常数，且$k≠0$），则x与y成反比例关系。我们逐一分析选项：
A选项：由路程公式得$s=80t$，s与t的比值为定值80，二者成正比例关系，不符合要求；
B选项：由总工作量=工作效率×工作时间得$xt=500$，t与x的乘积为定值500，二者成反比例关系，符合要求；
C选项：由圆柱体积公式得$V=15S$，V与S的比值为定值15，二者成正比例关系，不符合要求；
D选项：由题意得$a+b=10$，a与b的和为定值，不是乘积为定值，不符合反比例关系要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 常见数量关系
【点评】
本题侧重考查对反比例关系概念的掌握，解题的关键是先梳理出各选项中变量的数量关系，再结合定义判断，只要能准确区分反比例、正比例等不同数量关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

6. 判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 正三角形的面积与边长是反比例关系；（）
(2) 若y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，则y是x的反比例函数；（）
(3) 若y是x的反比例函数，则x一定是y的反比例函数.（）

6. (1) × (2) √ (3) √

【分析】
解题核心依据是反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，本质是两个变量的乘积为非零定值。解题时逐个分析3个说法：
1. 先推导正三角形面积与边长的关系式，判断是否符合反比例函数的特征；
2. 按照正比例、反比例函数的定义分别设出对应解析式，通过代换整理后判断$y$和$x$的函数类型；
3. 将反比例函数解析式变形，判断$x$关于$y$的表达式是否符合反比例函数定义。
【解析】
(1) 设正三角形边长为$a$，面积为$S$，由正三角形面积公式可得$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，可见$S$与$a^2$成正比例关系，不满足反比例函数“变量乘积为定值”的特征，故该说法错误。
(2) 由题意设$y=k_1m$（$k_1\ne0$，$y$是$m$的正比例函数），$m=\frac{k_2}{x}$（$k_2\ne0$，$m$是$x$的反比例函数），将第二个式子代入第一个可得$y=\frac{k_1k_2}{x}$。因为$k_1\ne0,k_2\ne0$，所以$k_1k_2$是不为0的常数，符合反比例函数定义，故$y$是$x$的反比例函数，该说法正确。
(3) 若$y$是$x$的反比例函数，设$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），变形可得$x=\frac{k}{y}$，$k$仍为非零常数，符合反比例函数定义，故$x$一定是$y$的反比例函数，该说法正确。
【答案】
(1) × (2) √ (3) √
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 正比例函数的定义
3. 函数解析式变形
【点评】
本题重点考查对反比例函数概念的理解，解题时要牢牢抓住“两个变量的乘积为非零常数”这一核心判断依据，涉及多重复合函数时通过代换整理解析式即可判断类型。
【难度系数】
0.7

7. 水池内有污水$60\ \mathrm{m}^3$，设放尽全池污水所需时间为$y\ \mathrm{h}$，每小时放水量为$x\ \mathrm{m}^3$，则$y$与$x$之间的函数表达式为。

7. $y=\dfrac{60}{x}(x＞0)$

【分析】
解题时首先明确本题的核心等量关系：污水总容积=每小时放水量×放完全池污水的时间。已知污水总量固定为$\boldsymbol{60\ \mathrm{m}^3}$，将已知量代入等量关系得到关于$x$、$y$的等式，再将等式变形为用含$x$的代数式表示$y$的形式，最后结合实际意义确定自变量$x$的取值范围即可。
【解析】
根据题意可得等量关系：每小时放水量×放完污水所需时间=污水总容积，
即 $x· y=60$，
将等式变形，把$y$单独放在等号左侧，得 $y=\dfrac{60}{x}$，
结合实际意义，每小时放水量不能为0或负数，因此自变量$x$的取值范围为$x＞0$，
综上，$y$与$x$之间的函数表达式为 $y=\dfrac{60}{x}(x＞0)$。
【答案】
$y=\dfrac{60}{x}(x＞0)$
【知识点】
反比例函数的概念、实际问题列函数式、自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题关键是找准题目中的不变量（总污水量），建立正确的等量关系，需要注意列实际问题的函数解析式时，必须结合实际意义标注自变量的取值范围，避免漏写条件出错。
【难度系数】
0.8

8. 已知$y$与$(2x+1)$成反比例，当$x=1$时，$y=4$，则$y$与$x$之间的函数表达式是。

8. $y=\dfrac{12}{2x+1}$

【分析】
首先根据“y与(2x+1)成反比例”的条件，结合反比例的定义，可设出含未知参数k的函数关系式（k≠0）；再将已知的x=1、y=4代入所设关系式，求出参数k的值；最后将k的值代回所设关系式，即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：
∵ y与(2x+1)成反比例
∴ 设函数关系式为$ y=\frac{k}{2x+1} $（$ k≠0 $，k为常数）
将$ x=1 $，$ y=4 $代入上式，得：
$ 4=\frac{k}{2×1 + 1} $
即$ 4=\frac{k}{3} $，解得$ k=12 $
将$ k=12 $代入所设关系式，得$ y=\frac{12}{2x+1} $
【答案】
$ y=\dfrac{12}{2x+1} $
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是先根据反比例关系正确设出含参数的解析式，再代入已知条件求解参数，掌握反比例的定义和待定系数法即可快速解答。
【难度系数】
0.8

9. 已知函数$y-3=\frac{1}{x+1}$，下列说法正确的是（）

A.y是x的反比例函数
B.$y-3$是x的反比例函数
C.$y-3$是$x+1$的反比例函数
D.y是$x+1$的反比例函数

9. C

【分析】
解题首先要掌握反比例函数的定义：形如$A=\frac{k}{B}$（k为常数，且$k\ne 0$）的函数，我们就说A是B的反比例函数。解题时可将已知等式中的$y-3$、$x+1$看作整体，对照定义逐一验证选项即可：先明确每个选项中哪两个变量对应反比例关系，再判断是否符合标准形式，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
反比例函数的定义为：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne 0$）的函数叫做反比例函数，也可推广为：若$A=\frac{k}{B}$（k为常数，$k\ne 0$），则A是B的反比例函数。
已知等式为$y-3=\frac{1}{x+1}$，其中k=1≠0，我们逐个分析选项：
A. 将等式变形得$y=\frac{1}{x+1}+3$，不符合$y=\frac{k}{x}$的反比例函数形式，故A错误；
B. 等式中$y-3=\frac{1}{x+1}$，分母为$x+1$不是x，不符合$y-3=\frac{k}{x}$的形式，故B错误；
C. 将$y-3$看作整体A，$x+1$看作整体B，式子可写为$A=\frac{1}{B}$，符合反比例函数定义，因此$y-3$是$x+1$的反比例函数，故C正确；
D. 变形得$y=3+\frac{1}{x+1}$，不符合$y=\frac{k}{x+1}$的形式，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题考查对反比例函数定义的理解，解题时要注意定义中变量的对应关系，必要时可将式子变形后再判断，避免只看局部特征就盲目选择。
【难度系数】
0.8