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10. 下列函数表达式中，y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成$y=\frac{k}{x}$的形式.
(1) $xy+3=0$；
(2) $x=-\frac{2}{3y}$
(1) $xy+3=0$；
(2) $x=-\frac{2}{3y}$
答案
10. (1) $y=-\dfrac{3}{x}$ (2) $y=-\dfrac{2}{3x}$
解析
【分析】
判断函数是否为反比例函数的核心依据是反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。解题时只需对给定等式进行恒等变形，将$y$单独整理到等号左侧，看最终形式是否符合$y=\frac{k}{x}$的结构即可，变形过程要保证自变量分母不为0的要求。
【解析】
(1) 处理$xy+3=0$：
首先移项，将常数项移到等号右侧，得$xy=-3$；
由于反比例函数要求$x≠0$，等式两边同时除以$x$，可得$y=-\frac{3}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式（其中$k=-3≠0$），因此$y$是$x$的反比例函数。
(2) 处理$x=-\frac{2}{3y}$：
首先$y≠0$，等式两边同时乘$3y$，得$3xy=-2$；
由于$x≠0$，等式两边同时除以$3x$，可得$y=-\frac{2}{3x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式（其中$k=-\frac{2}{3}≠0$），因此$y$是$x$的反比例函数。
【答案】
(1) 是反比例函数，$y=-\dfrac{3}{x}$
(2) 是反比例函数，$y=-\dfrac{2}{3x}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求掌握反比例函数的标准形式，能熟练运用等式性质对表达式进行变形改写，只要熟悉反比例函数的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
判断函数是否为反比例函数的核心依据是反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。解题时只需对给定等式进行恒等变形，将$y$单独整理到等号左侧，看最终形式是否符合$y=\frac{k}{x}$的结构即可，变形过程要保证自变量分母不为0的要求。
【解析】
(1) 处理$xy+3=0$：
首先移项，将常数项移到等号右侧，得$xy=-3$；
由于反比例函数要求$x≠0$，等式两边同时除以$x$，可得$y=-\frac{3}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式（其中$k=-3≠0$），因此$y$是$x$的反比例函数。
(2) 处理$x=-\frac{2}{3y}$：
首先$y≠0$，等式两边同时乘$3y$，得$3xy=-2$；
由于$x≠0$，等式两边同时除以$3x$，可得$y=-\frac{2}{3x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式（其中$k=-\frac{2}{3}≠0$），因此$y$是$x$的反比例函数。
【答案】
(1) 是反比例函数，$y=-\dfrac{3}{x}$
(2) 是反比例函数，$y=-\dfrac{2}{3x}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求掌握反比例函数的标准形式，能熟练运用等式性质对表达式进行变形改写，只要熟悉反比例函数的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
11. 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数.
（1）甲、乙两地相距 200 km，从甲地到乙地所需时间 t h 随平均速度 v km/h 的变化而变化；
（2）一个物体重 80 N，该物体对地面的压强 p Pa 随它与地面的受力面积 S m² 的变化而变化；
（3）底面面积为 10 cm² 的圆锥，体积 V cm³ 随高 h cm 的变化而变化；
（4）将体积是 V cm³ 的面团做成粗细均匀的拉面，拉面总长度 y cm 随拉面横截面半径 r cm 的变化而变化.
（1）甲、乙两地相距 200 km，从甲地到乙地所需时间 t h 随平均速度 v km/h 的变化而变化；
（2）一个物体重 80 N，该物体对地面的压强 p Pa 随它与地面的受力面积 S m² 的变化而变化；
（3）底面面积为 10 cm² 的圆锥，体积 V cm³ 随高 h cm 的变化而变化；
（4）将体积是 V cm³ 的面团做成粗细均匀的拉面，拉面总长度 y cm 随拉面横截面半径 r cm 的变化而变化.
答案
11. (1) $t=\dfrac{200}{v}$，$t$是关于$v$的反比例函数 (2) $p=\dfrac{80}{S}$，$p$是关于$S$的反比例函数 (3) $V=\dfrac{10}{3}h$，不是反比例函数 (4) $y=\dfrac{V}{π r^2}$，不是反比例函数
解析
【分析】
解题时按两步推进：①结合每个问题对应的数量关系（路程公式、压强公式、圆锥体积公式、圆柱体积公式），代入已知常量，推导得到两个变量的函数表达式；②对照反比例函数的定义（形如$y=\dfrac{k}{x}$，其中$k$为不等于0的常数，自变量$x≠0$），判断所得函数是否符合该形式，进而得出结论。
【解析】
（1）根据路程公式$s=vt$，已知$s=200\mathrm{km}$，变形得$t=\dfrac{200}{v}$（$v＞0$），符合反比例函数的形式，因此$t$是关于$v$的反比例函数。
（2）根据压强公式$p=\dfrac{F}{S}$，已知压力$F=80\mathrm{N}$，代入得$p=\dfrac{80}{S}$（$S＞0$），符合反比例函数的形式，因此$p$是关于$S$的反比例函数。
（3）根据圆锥体积公式$V=\dfrac{1}{3}Sh$，已知底面积$S=10\mathrm{cm}^2$，代入得$V=\dfrac{1}{3}×10h=\dfrac{10}{3}h$，该式是正比例函数形式，不符合反比例函数定义，因此不是反比例函数。
（4）拉面可近似看作圆柱体，根据圆柱体积公式$V=π r^2 y$，变形得$y=\dfrac{V}{π r^2}$（$r＞0$），该式中自变量$r$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，因此不是反比例函数。
【答案】
(1) $t=\dfrac{200}{v}$，$t$是关于$v$的反比例函数 (2) $p=\dfrac{80}{S}$，$p$是关于$S$的反比例函数 (3) $V=\dfrac{10}{3}h$，不是反比例函数 (4) $y=\dfrac{V}{π r^2}$，不是反比例函数
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 实际问题列函数解析式 3. 常见数量关系应用
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握反比例函数的形式特征，解题时需要准确运用对应的物理、几何公式推导函数关系，尤其要注意判断反比例函数时，自变量的次数必须为$-1$，避免误判。
【难度系数】
0.8
解题时按两步推进：①结合每个问题对应的数量关系（路程公式、压强公式、圆锥体积公式、圆柱体积公式），代入已知常量，推导得到两个变量的函数表达式；②对照反比例函数的定义（形如$y=\dfrac{k}{x}$，其中$k$为不等于0的常数，自变量$x≠0$），判断所得函数是否符合该形式，进而得出结论。
【解析】
（1）根据路程公式$s=vt$，已知$s=200\mathrm{km}$，变形得$t=\dfrac{200}{v}$（$v＞0$），符合反比例函数的形式，因此$t$是关于$v$的反比例函数。
（2）根据压强公式$p=\dfrac{F}{S}$，已知压力$F=80\mathrm{N}$，代入得$p=\dfrac{80}{S}$（$S＞0$），符合反比例函数的形式，因此$p$是关于$S$的反比例函数。
（3）根据圆锥体积公式$V=\dfrac{1}{3}Sh$，已知底面积$S=10\mathrm{cm}^2$，代入得$V=\dfrac{1}{3}×10h=\dfrac{10}{3}h$，该式是正比例函数形式，不符合反比例函数定义，因此不是反比例函数。
（4）拉面可近似看作圆柱体，根据圆柱体积公式$V=π r^2 y$，变形得$y=\dfrac{V}{π r^2}$（$r＞0$），该式中自变量$r$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，因此不是反比例函数。
【答案】
(1) $t=\dfrac{200}{v}$，$t$是关于$v$的反比例函数 (2) $p=\dfrac{80}{S}$，$p$是关于$S$的反比例函数 (3) $V=\dfrac{10}{3}h$，不是反比例函数 (4) $y=\dfrac{V}{π r^2}$，不是反比例函数
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 实际问题列函数解析式 3. 常见数量关系应用
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握反比例函数的形式特征，解题时需要准确运用对应的物理、几何公式推导函数关系，尤其要注意判断反比例函数时，自变量的次数必须为$-1$，避免误判。
【难度系数】
0.8
12. 已知反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，将$x=\dfrac{3}{4}$代入函数表达式中，所得函数值记为$y_1$；再将$x=y_1+1$代入函数表达式中，所得函数值记为$y_2$；然后将$x=y_2+1$代入函数表达式中，所得函数值记为$y_3$，如此继续下去.
（1）完成下表：
（2）根据上表的规律，猜想$y_{2026}$的值为
（1）完成下表：
（2）根据上表的规律，猜想$y_{2026}$的值为
$-\dfrac{4}{3}$
.答案
12. (1) $3,-\dfrac{1}{4},-\dfrac{4}{3},3$ (2) $-\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
（1）按照题目给定的代入规则，先将上一次得到的函数值加1作为下一次的自变量x，再代入反比例函数解析式$y=-\dfrac{1}{x}$，依次计算$y_2$、$y_3$、$y_4$、$y_5$的值即可完成表格；（2）计算出前几项函数值后，可发现函数值存在每3次一循环的周期规律，计算2026除以周期的余数，根据余数对应周期内的项即可求出$y_{2026}$的值。
【解析】
（1）已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$：
① 求$y_2$：由题意得$x=y_1+1=-\dfrac{4}{3}+1=-\dfrac{1}{3}$，代入解析式得$y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$；
② 求$y_3$：$x=y_2+1=3+1=4$，代入解析式得$y_3=-\dfrac{1}{4}$；
③ 求$y_4$：$x=y_3+1=-\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{4}$，代入解析式得$y_4=-\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}=-\dfrac{4}{3}$；
④ 求$y_5$：$x=y_4+1=-\dfrac{4}{3}+1=-\dfrac{1}{3}$，代入解析式得$y_5=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$。
（2）观察计算结果可得：$y_1=-\dfrac{4}{3},y_2=3,y_3=-\dfrac{1}{4},y_4=-\dfrac{4}{3},y_5=3\dots$，即函数值每3个为一个循环周期，循环组为$(-\dfrac{4}{3},3,-\dfrac{1}{4})$。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$和循环组的第1个值相等，即$y_{2026}=y_1=-\dfrac{4}{3}$。
【答案】
（1）$3,-\dfrac{1}{4},-\dfrac{4}{3},3$；（2）$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数求值，周期规律探究，代数式代入
【点评】
本题将反比例函数代入计算和规律探究相结合，既考查了基础的函数求值运算能力，也考查了归纳总结规律的能力，计算时需细心避免符号或运算错误，找周期时要准确对应余数和项的关系。
【难度系数】
0.7
（1）按照题目给定的代入规则，先将上一次得到的函数值加1作为下一次的自变量x，再代入反比例函数解析式$y=-\dfrac{1}{x}$，依次计算$y_2$、$y_3$、$y_4$、$y_5$的值即可完成表格；（2）计算出前几项函数值后，可发现函数值存在每3次一循环的周期规律，计算2026除以周期的余数，根据余数对应周期内的项即可求出$y_{2026}$的值。
【解析】
（1）已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$：
① 求$y_2$：由题意得$x=y_1+1=-\dfrac{4}{3}+1=-\dfrac{1}{3}$，代入解析式得$y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$；
② 求$y_3$：$x=y_2+1=3+1=4$，代入解析式得$y_3=-\dfrac{1}{4}$；
③ 求$y_4$：$x=y_3+1=-\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{4}$，代入解析式得$y_4=-\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}=-\dfrac{4}{3}$；
④ 求$y_5$：$x=y_4+1=-\dfrac{4}{3}+1=-\dfrac{1}{3}$，代入解析式得$y_5=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$。
（2）观察计算结果可得：$y_1=-\dfrac{4}{3},y_2=3,y_3=-\dfrac{1}{4},y_4=-\dfrac{4}{3},y_5=3\dots$，即函数值每3个为一个循环周期，循环组为$(-\dfrac{4}{3},3,-\dfrac{1}{4})$。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$和循环组的第1个值相等，即$y_{2026}=y_1=-\dfrac{4}{3}$。
【答案】
（1）$3,-\dfrac{1}{4},-\dfrac{4}{3},3$；（2）$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数求值，周期规律探究，代数式代入
【点评】
本题将反比例函数代入计算和规律探究相结合，既考查了基础的函数求值运算能力，也考查了归纳总结规律的能力，计算时需细心避免符号或运算错误，找周期时要准确对应余数和项的关系。
【难度系数】
0.7
