1. 教材P133例1变式 [2025吉安期末]如图，树干横截面的周长为20 cm，A，B两点之间的距离为15 cm. 若在A处的螳螂想吃掉在E处和B处的虫子，则该螳螂绕行的最短路程为 cm.

1. 如图,把该树干抽象成圆柱,沿直线AB将它剪开后展开,连接AB,则AB即所求的最短距离. 根据题意,得BA' = 15 cm,AA' = 20 cm. 在Rt△AA'B中,根据勾股定理,得AB = √(AA'² + BA'²) = √(20² + 15²) = 25(cm),
∴ 螳螂绕行的最短路程是25 cm.

2. 某学校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱，将其抽象为如图所示的图形，学校计划在该三棱柱的侧面上，从点A绕三棱柱侧面一周到点A'安装灯带.若该三棱柱的高为5 m、底面边长为1 m，则灯带的长度至少为 m.

2. 如图,将该三棱柱的侧面展开,连接A'A,则A'A的长度就是灯带的最短长度.
∵ 三棱柱的高为5 m、底面边长为1 m,
∴ 灯带的长度至少为A'A = √(5² + (1×3)²) = √34 (m).

3. 教材P137习题T8变式 如图,长方体的长为10、宽为8、高为6,点B在CD边上,且点B,C之间的距离为2,一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B,求蚂蚁需要爬行的最短路程.

3. 解:将该长方体的两个面展开,连接AB,有以下三种情况(展开方式不同,点A到点B的路程也不同):
①如图1,展开前面和右面.
∵ BC = 2,CM = 10,
∴ BM = 12.
在Rt△ABM中,由勾股定理得,
AB = √(AM² + BM²) = √(6² + 12²) = √180.
②如图2,展开上面和右面.
∵ BC = 2,CE = 6,
∴ BE = 8.
在Rt△ABE中,由勾股定理得,
AB = √(AE² + BE²) = √(10² + 8²) = √164.
③如图3,展开上面和后面.
∵ AM = 6,CM = 10,
∴ AC = 16.
在Rt△ACB中,由勾股定理得,
AB = √(AC² + BC²) = √(16² + 2²) = √260.
∵ √164 ＜ √180 ＜ √260,
∴ 蚂蚁需要爬行的最短路程是√164.

4. [2025盐城东台期中]如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少为 ()

A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m

4. C 解题思路:五个台阶的竖直高度是线段BC的长,五个台阶的水平距离是线段AC的长,结合勾股定理即可求解.
在Rt△ABC中,AC = √(AB² - BC²) = √(5² - 3²) = 4(m),故地毯的长度至少为AC + BC = 4 + 3 = 7(m).

5. 新趋势·数学文化 [2025 扬州期末] 我国古代数学名著《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地. 送行二步与人齐，五尺人高曾记. 仕女家人争蹴，良工高士素好奇. 算出索长有几？”该问题可译为“有一架秋千，如图1，当它静止时，踏板到地面的距离DE为1尺，将它向前水平推送10尺，即BC = 10尺，踏板到地面的距离BF和身高5尺的人一样，如图2，秋千的绳索始终处于拉直状态，则绳索长为尺.”

5. 14.5 根据题意,得CE = BF = 5 尺,DE = 1 尺,
∴ CD = 5 - 1 = 4(尺). 设AD = AB = x 尺,则AC = (x - 4)尺. 根据勾股定理,得10² + (x - 4)² = x²,解得x = 14.5,
∴ 绳索AD的长为14.5尺.

6. [2025泸州合江期中]小汽车在城市街道的行驶速度不得超过60 km/h，如图，一辆小汽车在某城市的街道上直线行驶，某时刻行驶到C处，C处路对面的正前方50 m的A处有一个观测点，过了6 s，测得小汽车行驶到B处，且与观测点之间的距离为130 m，这辆小汽车超速了吗？说明理由.（注：1 m/s = 3.6 km/h）

6. 解:超速了. 理由如下:
由题意得,AC = 50 m,AB = 130 m,∠C = 90°.
在Rt△ABC中,由勾股定理得,
BC = √(AB² - AC²) = √(130² - 50²) = 120(m),
∴ 小汽车的行驶速度为120 ÷ 6 = 20(m/s).
∵ 20 m/s = 72 km/h,72 ＞ 60,
∴ 这辆小汽车超速了.