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1. 如图，有一块直角三角形纸片，$∠ ACB = 90°$，$AC = 12\ \mathrm{cm}$，$BC = 9\ \mathrm{cm}$，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC延长线上的点E处，折痕为AD，求CE的长。
答案
解:在 Rt△ACB 中,∠ACB = 90°,AC = 12 cm,BC = 9 cm,
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$ ,
∴ AB = 15 cm.
由折叠的性质得 AE = AB,
∴ CE = AE - AC = AB - AC = 3 cm.
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$ ,
∴ AB = 15 cm.
由折叠的性质得 AE = AB,
∴ CE = AE - AC = AB - AC = 3 cm.
2.［2026杭州上城区月考］如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，求AE的长.
答案
解:根据折叠的性质,得 AD = AB = 2,∠B = ∠ADB,CE = DE,∠C = ∠CDE.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ ∠B + ∠C = 90°,
∴ ∠ADB + ∠CDE = 90°,
∴ ∠ADE = 90°,
∴ $AD^2 + DE^2 = AE^2$.
设 AE = x,则 CE = DE = 3 - x,
∴ $2^2 + (3 - x)^2 = x^2$,
解得 $x = \frac{13}{6}$ ,
∴ $AE = \frac{13}{6}$.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ ∠B + ∠C = 90°,
∴ ∠ADB + ∠CDE = 90°,
∴ ∠ADE = 90°,
∴ $AD^2 + DE^2 = AE^2$.
设 AE = x,则 CE = DE = 3 - x,
∴ $2^2 + (3 - x)^2 = x^2$,
解得 $x = \frac{13}{6}$ ,
∴ $AE = \frac{13}{6}$.
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°,AC = 3,BC = 4$,D,E分别在AC,BC上,且$DE // AB$.将$△ ABC$沿DE所在直线折叠,使C点落在斜边AB上的F点处,求AF的长.
答案
解:如图,连接 CF,根据题意,得 $CF ⊥ DE$.
∵ $DE// AB$,
∴ $CF ⊥ AB$.
∵ ∠ACB = 90°,AC = 3,BC = 4,
∴ $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 5$.
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CF$,
∴ CF = 2.4,
∴ 在 Rt△AFC 中,$AF^2 = AC^2 - CF^2 = 3^2 - 2.4^2 = 1.8^2$,
∴ AF = 1.8.
4. 如图是长方形纸片ABCD,已知$AB=8$,$BC=12$,现将纸片折叠,使点D落在BC边上的点M处,且$CM=4$,折痕为EF,求AE的长.
答案
解:如图,过点 E 作 $EG ⊥ BC$ 于点 G.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ 四边形 AEGB 是矩形,
∴ AB = EG = 8,AE = BG.
设 AE = x,
∵ AB = 8,BC = 12,CM = 4,
∴ 在 Rt△EGM 中,$EM^2 = EG^2 + MG^2$,EG = AB = 8,EM = ED = 12 - x,MG = 12 - 4 - x,
∴ $(12 - x)^2 = 64 + (12 - 4 - x)^2$,
∴ x = 2,即 AE = 2.
5. 如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使点C与点A重合,若$BC=8$,$AB=4$,求折叠后$△ AEF$的面积.
答案
解:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AD// BC$,∠B = 90°,
∴ ∠CFE = ∠AEF.
由折叠的性质可知,∠AFE = ∠EFC,AF = CF,
∴ ∠AEF = ∠AFE,
∴ AE = AF = CF,
设 FC = x,则 BF = 8 - x.
在 Rt△ABF 中,$AB^2 + BF^2 = AF^2$,
∴ $4^2 + (8 - x)^2 = x^2$,解得 x = 5.
∴ $S_{△ AEF} = \frac{1}{2}AE · AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AD// BC$,∠B = 90°,
∴ ∠CFE = ∠AEF.
由折叠的性质可知,∠AFE = ∠EFC,AF = CF,
∴ ∠AEF = ∠AFE,
∴ AE = AF = CF,
设 FC = x,则 BF = 8 - x.
在 Rt△ABF 中,$AB^2 + BF^2 = AF^2$,
∴ $4^2 + (8 - x)^2 = x^2$,解得 x = 5.
∴ $S_{△ AEF} = \frac{1}{2}AE · AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$.
6. 教材P132习题T8变式 如图,在长方形纸片ABCD中,AB=6,BC=9,M是BC上的点,且CM=3,将长方形纸片ABCD沿过点M的直线折叠,使点D落在AB边上的点P处,点C落在点C'处,折痕为MN,求线段AN的长.
答案
解:如图,连接 PM.
∵ BC = 9,CM = 3,
∴ BM = 6.
由折叠的性质,得 PC' = CD = AB = 6,∠C' = ∠C = ∠PBM = 90°,C'M = CM = 3.
在 Rt△PBM 和 Rt△MC'P 中,PM = MP,BM = C'P,
∴ Rt△PBM≌Rt△MC'P(HL),
∴ PB = C'M = 3,
∴ PA = 3.
设 AN = x,则 ND = PN = 9 - x.
在 Rt△APN 中,$AN^2 + AP^2 = PN^2$,
∴ $x^2 + 3^2 = (9 - x)^2$,解得 x = 4,
∴ AN = 4.
