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7. 新情境 [2026晋中介休期中] 包装纸箱是我们生活中常见的物品. 如图1,创意DIY小组的同学将一个10 cm×30 cm×40 cm的长方体纸箱裁去一部分(虚线为裁剪线),得到如图2所示的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发,沿书架内壁爬行到顶点B,则它爬行的最短路程为 (
A.50 cm
B.55 cm
C.45 cm
D.60 cm
A
)A.50 cm
B.55 cm
C.45 cm
D.60 cm
答案
7. A 如图是书架的侧面展开图,连接AB,则AB的长即爬行的最短路程. 连接AC,交BD于点O.
∵ OA = 30 + 10 = 40(cm),OB = 40 - 10 = 30(cm),
∴ 在Rt△AOB中,AB = √(OA² + OB²) = √(40² + 30²) = 50(cm),
∴ 蜘蛛爬行的最短距离为50 cm.
8.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交会,公路PQ上的点A到点O的距离是270 m,与MN这条铁路的距离是200 m.若火车行驶时,周围250 m以内会受到噪声影响,则火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶时,点A处受噪声影响的时间是 (
A.15 s
B.13.5 s
C.12.5 s
D.10 s
A
)A.15 s
B.13.5 s
C.12.5 s
D.10 s
答案
8. A 如图,过点A作AC⊥ON于点C. 假设在点B处,点A处开始受噪声影响,在点D处,点A处开始不受噪声影响,则AB = AD = 250 m,BD = 2BC ("等腰三角形的三线合一"). 已知AO = 270 m,AC = 200 m,AB = AD = 250 m,在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC = √(AB² - AC²) = √(250² - 200²) = 150(m),
∴ BD = 2 × 150 = 300(m).
∵ 72 km/h = 20 m/s,
∴ A处受噪声影响的时间为300 ÷ 20 = 15(s).
9. 新趋势·数学文化|一题多解 [2025咸阳兴平期中]我国古代有这样一道数学题:枯木一根直立地上,高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意:如图,把枯木看作一个圆柱体,圆柱的高为20尺(一丈是十尺),底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是
25
尺.答案
9. 25 通解 如图1,一条直角边AC(即枯木的高)长为20尺,另一条直角边BC长为5×3 = 15(尺),因此葛藤的最短长度为√(20² + 15²) = 25(尺).
另解 如图2,将圆柱的侧面展开,则AF = 3尺,DF = 20 ÷ 5 = 4(尺).
∵ AD² = AF² + DF² = 3² + 4² = 5²,
∴ AD = 5尺,
∴ 葛藤的最短长度是5 × 5 = 25(尺).
10. [2025遵义红花岗区期中] 如图1是梦想科技小组在实践课上制作的机器人零件,该零件内有两个由一根连杆连接的小滑块A,B,该滑块A,B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动.如图2,开始时,滑块A到点O的距离是20 cm,滑块B到点O的距离是15 cm.当滑块A向下滑动13 cm至点A'时,滑块B向右滑动到点B',求BB'的长.
答案
10. 解:在Rt△ABO中,∠AOB = 90°,AO = 20 cm,OB = 15 cm,
根据勾股定理得,
AB = √(AO² + OB²) = √(20² + 15²) = 25(cm).
在Rt△A'OB'中,A'O = AO - AA' = 20 - 13 = 7(cm),A'B' = AB = 25 cm.
根据勾股定理得,
OB' = √(A'B'² - A'O²) = √(25² - 7²) = 24(cm),
∴ BB' = OB' - OB = 24 - 15 = 9(cm).
根据勾股定理得,
AB = √(AO² + OB²) = √(20² + 15²) = 25(cm).
在Rt△A'OB'中,A'O = AO - AA' = 20 - 13 = 7(cm),A'B' = AB = 25 cm.
根据勾股定理得,
OB' = √(A'B'² - A'O²) = √(25² - 7²) = 24(cm),
∴ BB' = OB' - OB = 24 - 15 = 9(cm).
11. 教材P137 习题T7 变式|应用意识 如图,A,B是公路l(l为东西走向)同侧的两个村庄,A村到公路l的距离AC=2 km,B村到公路l的距离BD=4 km,CD=8 km.
(1)为了方便运输两村的垃圾,现计划在公路边建一个垃圾中转站M,要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小,请用尺规在图1中作出点M的位置,并求出该距离之和的最小值;
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图2中作出点P的位置.(只保留作图痕迹,不写作法)
(1)为了方便运输两村的垃圾,现计划在公路边建一个垃圾中转站M,要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小,请用尺规在图1中作出点M的位置,并求出该距离之和的最小值;
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图2中作出点P的位置.(只保留作图痕迹,不写作法)
答案
11. 解:(1)如图1,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点M,连接MA,则点M即所求作的点,此时MA + MB的值最小("将军饮马"模型).
过点A'作A'F⊥BD,交BD的延长线于点F,
则BF = BD + DF = BD + A'C = BD + AC = 4 + 2 = 6(km),A'F = CD = 8 km.
在Rt△A'BF中,由勾股定理,
得A'B² = 8² + 6² = 100,
∴ A'B = 10 km,
∴ 中转站到两村的距离之和的最小值为10 km.
(2)如图2,作法提示:连接AB,作线段AB的垂直平分线GH,交直线l于点P,连接PA,PB,则PA = PB.
∴ 点P即所求.
