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1. [2026深圳中学期中]已知五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列摆放正确的是 (
C
)答案
1 C $\because 7^2 = 49,15^2 = 225,20^2 = 400,24^2 = 576,25^2 = 625$ ,$\therefore 7^2 + 24^2 = 25^2,15^2 + 20^2 = 25^2$,$\therefore$ 用7,24,25三根木棒能摆成直角三角形,用15,20,25三根木棒能摆成直角三角形.
2. [2026上海崇明区期末] 如图,点A在数轴上表示数1,以OA为直角边,在数轴上方画$Rt△ AOB$,$∠ AOB=90°$,$OB=3$.以点A为圆心、AB长为半径画弧,与数轴的正半轴交于点P,则点P表示的数是
$1 + \sqrt{10}$
.答案
2 $1 + \sqrt{10}$ $\because ∠ AOB = 90°, OB = 3, OA = 1, \therefore AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}. \because$ 以点A为圆心、AB长为半径画弧,与数轴的正半轴交于点P,$\therefore$ 点P表示的数是$1 + \sqrt{10}$.
3. 如果将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形吗？
答案
3 解:设原直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边为c,则$a^2 + b^2 = c^2$.
已知三条边同时扩大相同的倍数,设为$k(k＞0)$倍,
则扩大后的直角三角形的边长分别为$ka,kb,kc$.
$\because (ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2$,
$\therefore$ 如果将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数,那么得到的三角形还是直角三角形.
已知三条边同时扩大相同的倍数,设为$k(k＞0)$倍,
则扩大后的直角三角形的边长分别为$ka,kb,kc$.
$\because (ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2$,
$\therefore$ 如果将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数,那么得到的三角形还是直角三角形.
4. 教材P135例3变式 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在网格的格点处取A，B，C三点，使$AB=\sqrt{8}$，$BC=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{26}$。
(1)请你在图中画出满足条件的$△ ABC$；
(2)求$△ ABC$的面积。
(1)请你在图中画出满足条件的$△ ABC$；
(2)求$△ ABC$的面积。
答案
4 解:(1)如图,$△ ABC$即所求(画法不唯一).
(2)$S_{△ ABC} = 2 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 3 - \frac{1}{2} × 2 × 2 - \frac{1}{2} × 1 × 5 = 4$.
5. [2025南阳期末]如图,在$5×5$的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,D在格点(网格线的交点)上,点B在网格线上,线段AB的垂直平分线经过格点C,求BD的长.
答案
5 解:如图,连接AC,BC.
$\because$ 每个小正方形的边长均为1,
$\therefore$ 根据勾股定理,得$AC^2 = 1^2 + 5^2 = 26$.
$\because$ 线段AB的垂直平分线经过格点C,
$\therefore BC = AC, \therefore BC^2 = AC^2 = 26$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{26 - 4^2} = \sqrt{10}$.
6. [2025武威期末]如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,AE平分$∠ BAC$.
(1)若$∠ BAC = 86°$, $∠ C = 32°$,求$∠ DAE$的度数;
(2)若$AB = 15$, $AC = 20$, $AD = 12$,求证:$∠ BAC = 90°$.
(1)若$∠ BAC = 86°$, $∠ C = 32°$,求$∠ DAE$的度数;
(2)若$AB = 15$, $AC = 20$, $AD = 12$,求证:$∠ BAC = 90°$.
答案
6 (1)解:$\because AE$平分$∠ BAC, ∠ BAC = 86°$,
$\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 86° = 43°$.
$\because AD ⊥ BC, ∠ C = 32°, \therefore ∠ DAC = 90° - ∠ C = 90° - 32° = 58°$,
$\therefore ∠ DAE = ∠ DAC - ∠ EAC = 58° - 43° = 15°$.
(2)证明:$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB = 15, AD = 12$,根据勾股定理,得
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AC = 20, AD = 12$,根据勾股定理,得
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$,
$\therefore BC = BD + DC = 9 + 16 = 25$.
$\because AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 625, BC^2 = 625$,
$\therefore AB^2 + AC^2 = BC^2, \therefore ∠ BAC = 90°$.
$\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 86° = 43°$.
$\because AD ⊥ BC, ∠ C = 32°, \therefore ∠ DAC = 90° - ∠ C = 90° - 32° = 58°$,
$\therefore ∠ DAE = ∠ DAC - ∠ EAC = 58° - 43° = 15°$.
(2)证明:$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB = 15, AD = 12$,根据勾股定理,得
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AC = 20, AD = 12$,根据勾股定理,得
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$,
$\therefore BC = BD + DC = 9 + 16 = 25$.
$\because AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 625, BC^2 = 625$,
$\therefore AB^2 + AC^2 = BC^2, \therefore ∠ BAC = 90°$.
