3.【问题提出】
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,点E,F分别在BC,CD上,∠EAF=60°,连接EF,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系.
【思路启迪】
(1)小雨同学的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,从而得出结论:.
【拓展延伸】
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在BC,CD上,∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,则(1)中的结论成立吗?请说明理由.
【实际应用】
(3)如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(即O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,两舰艇与指挥中心O之间的夹角∠EOF=70°,求此时两舰艇之间的距离.
【模型迁移】
(4)如图4,△ABC是等边三角形,AB=6,点D在△ABC外,DB=DC,∠BDC=120°,∠EDF=60°,DE,DF分别交AB,AC于点E,F,则△AEF的周长为.

解题思路:(2)延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG,证明△ABE≌△ADG,得 AE = AG,再证明△AEF≌△AGF,得 EF = FG,即可得 EF = DF + BE. (3)连接 EF,延长 AE,BF 交于点 C,易得∠EOF = 1/2∠AOB.
∵ OA = OB,∠OAC + ∠OBC = 180°,符合(2)中的条件,可得 EF = AE + BF. (4)易得∠DBC = ∠DCB = 30°,由∠ABC = ∠ACB = 60°,可得∠ABD = ∠ACD = 90°,故∠ABD + ∠ACD = 180°,已知 BD = CD,∠EDF = 1/2∠BDC,符合(2)中的条件,故 EF = BE + CF,可得△AEF 的周长为 AB + AC.
解:(1)EF = BE + DF
在△ABE 和△ADG 中,AB = AD,∠B = ∠ADG,BE = DG,
∴ △ABE≌△ADG (SAS),
∴ AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
∵ ∠BAD = 120°, ∠EAF = 60°,
∴ ∠EAF = 1/2∠BAD,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF. 在△AEF 和△AGF 中,AE = AG,∠EAF = ∠GAF,AF = AF,
∴ △AEF≌△AGF (SAS),
∴ EF = FG.
∵ FG = DG + DF = BE + DF,
∴ EF = BE + DF.
(2)成立. 理由如下:

如图1,延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG.
∵ ∠B + ∠ADF = 180°,∠ADF + ∠ADG = 180°,
∴ ∠B = ∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
AB = AD,∠B = ∠ADG,BE = DG,
∴ △ABE≌△ADG(SAS)(第一次证两个三角形全等),
∴ AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
∵ ∠EAF = 1/2∠BAD,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF.
在△AEF 和△AGF 中,AE = AG,∠EAF = ∠GAF,AF = AF,
∴ △AEF≌△AGF(SAS)(第二次证两个三角形全等),
∴ EF = FG.
∵ FG = DG + DF = BE + DF,
∴ EF = BE + DF.
(3)
如图2,连接 EF,延长 AE,BF 交于点 C.
∵ ∠AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°,∠EOF = 70°,
∴ ∠EOF = 1/2∠AOB.
∵ OA = OB,∠OAC + ∠OBC = (90° - 30°) + (70° + 50°) = 180°,
∴ 符合(2)中的条件,
∴ EF = AE + BF,
∴ EF = 1.5×(60 + 80) = 210(海里),
即此时两舰艇之间的距离为210海里.
(4)12
∵ ∠BDC = 120°,DB = DC,
∴ ∠DBC = ∠DCB = (180° - ∠BDC)/2 = 30°.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°,AB = AC = 6,
∴ ∠ABD = ∠ABC + ∠DBC = 90°,∠ACD = ∠ACB + ∠DCB = 90°,
∴ ∠ABD + ∠ACD = 180°. 又
∵ BD = CD,∠EDF = 1/2∠BDC,
∴ 符合(2)中的条件,
∴ EF = BE + CF,
∴ △AEF 的周长 = AE + EF + AF = AE + BE + CF + AF = AB + AC = 12.