10. 如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，$AC=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，为了方便灌溉，现有如下两种方案修筑水渠.
甲方案:从水源地C直接修筑两条水渠分别到实验田A，B;乙方案:过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H处分别向实验田A，B进行修筑.
（1）请判断$△ ABC$的形状(要求写出推理过程).
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.

解：(1) $△ ABC$是直角三角形，推理过程如下：
$\because AC=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，$AB=200\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 25600 + 14400 = 40000$，
$AB^2 = 200^2 = 40000$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) 甲方案所修的水渠较短，计算说明如下：
甲方案的水渠总长度为：
$AC + BC = 160 + 120 = 280\ (\mathrm{m})$。
$\because CH ⊥ AB$，$△ ABC$是直角三角形，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CH$，
$\therefore CH = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{160 × 120}{200} = 96\ (\mathrm{m})$。
乙方案的水渠总长度为：
$CH + AH + BH = CH + AB = 96 + 200 = 296\ (\mathrm{m})$。
$\because 280 ＜ 296$，
$\therefore$ 甲方案所修的水渠较短。

11. 如图，在$△ ABD$中，$AC⊥ BD$，垂足为$C$，点$E$在$AC$上，连接$BE$，$DE$，延长$DE$交$AB$于点$F$. 已知$AB=DE$，$∠ EBC=∠ CAD=45°$. $BC=a$，$AC=b$，$AB=c$. 利用图中阴影部分面积的两种不同计算方法证明$a^2 + b^2 = c^2$.

证明：
∵ $AC⊥BD$，
∴ $∠ACB=∠DCE=90°$。
∵ $∠EBC=45°$，
∴ $△ BCE$是等腰直角三角形，
∴ $BC=EC=a$。
∵ $∠CAD=45°$，$∠ACD=90°$，
∴ $△ ACD$是等腰直角三角形，
∴ $AC=CD=b$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE \\ BC=EC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
∴ $∠BAC=∠EDC$。
∵ $∠EDC + ∠DEC=90°$，$∠DEC=∠AEF$，
∴ $∠BAC + ∠AEF=90°$，
∴ $∠AFE=90°$，即$DF⊥AB$。
第一种方法计算阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BCE} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$
第二种方法计算阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{△ BDE} + S_{△ ADE} \\&=\frac{1}{2} · DE · BF + \frac{1}{2} · DE · AF \\&=\frac{1}{2} · DE · (BF+AF) \\&=\frac{1}{2} · DE · AB\end{aligned}$
∵ $AB=DE=c$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}c^2$。
因此$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}c^2$，两边同乘2得：
$a^2 + b^2 = c^2$