1. 已知过$A(a,2),B(4,-3)$两点的直线垂直于$x$轴,则$a$的值为（）

A.2
B.$-3$
C.4
D.$-4$

C

垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相等，已知过A(a,2)、B(4,-3)的直线垂直于x轴，因此两点的横坐标相等，可得a=4。

2. 若点$A(-\dfrac{1}{2},\dfrac{a}{3})$在两坐标轴正半轴所成角的平分线所在直线上，则$a$的值为 （）

A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$-\dfrac{2}{3}$

B

两坐标轴正半轴所成角的平分线所在直线为$y=x$，该直线上所有点的横纵坐标相等。将点$A(-\dfrac{1}{2},\dfrac{a}{3})$代入得：$\dfrac{a}{3}=-\dfrac{1}{2}$，解得$a=-\dfrac{3}{2}$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,线段OA与x轴正方向的夹角为$45°$,且$OA=2$.若将OA绕点O按逆时针方向旋转$90°$到线段$OA'$,则此时点$A'$的坐标为

解：
过点A作AH⊥x轴于点H，
∵ ∠AOH=45°，OA=2，
∴ △OAH为等腰直角三角形，AH=OH。
由勾股定理得：$AH^2 + OH^2 = OA^2$，
即$2OH^2=4$，解得$OH=AH=\sqrt{2}$，
∴ 点A的坐标为$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
将OA绕点O逆时针旋转90°到OA'，则$OA'=OA=2$，$∠ AOA'=90°$，
∴ OA'与y轴正方向的夹角为45°，点A'位于第二象限。
过点A'作A'M⊥y轴于点M，同理可得$A'M=OM=\sqrt{2}$，
∴ 点A'的横坐标为$-\sqrt{2}$，纵坐标为$\sqrt{2}$，即点A'的坐标为$\boldsymbol{(-\sqrt{2}, \sqrt{2})}$。

4. 在平面直角坐标系中，已知点A(a−1, b+2), B(3,4), C(−1,−2), AB所在的直线平行于x轴，AC所在的直线平行于y轴，则点D(a,b)的坐标为。

解：
∵ AB所在的直线平行于x轴，
∴ 点A与点B的纵坐标相等，即 $b+2=4$，
解得 $b=2$。
∵ AC所在的直线平行于y轴，
∴ 点A与点C的横坐标相等，即 $a-1=-1$，
解得 $a=0$。
∴ 点$D(a,b)$的坐标为 $(0,2)$。

5. 在平面直角坐标系中，已知点$B(0,3),C(-6,3),D(-6,0)$，点$E$到点$O$和点$B$的距离相等.
（1）线段$OC$上的点的坐标有何特征？
（2）若点$E$到$y$轴的距离为$2$，写出点$E$的坐标.

解：
（1）已知$O(0,0)$，$C(-6,3)$，线段$OC$上任意一点的坐标$(x,y)$满足关系：$y=-\dfrac{1}{2}x$，其中$-6≤ x≤ 0$，$0≤ y≤ 3$，即线段$OC$上所有点的横坐标是纵坐标的$-2$倍。
（2）∵ 点$E$到点$O(0,0)$和点$B(0,3)$的距离相等，
∴ 点$E$在线段$OB$的垂直平分线上。
∵ 线段$OB$的端点为$O(0,0)$、$B(0,3)$，
∴ $OB$的中点坐标为$(0,\dfrac{3}{2})$，$OB$是平行于$y$轴的线段，它的垂直平分线为直线$y=\dfrac{3}{2}$。
∵ 点$E$到$y$轴的距离为$2$，
∴ 点$E$的横坐标为$2$或$-2$。
代入$y=\dfrac{3}{2}$，可得点$E$的坐标为$(2,\dfrac{3}{2})$或$(-2,\dfrac{3}{2})$。