10.「★★★」某数学兴趣小组在数学实践课上开展了以“菱形折叠”为主题的研究活动.
第一步:每人制作内角不同,边长都为2的菱形若干个,四个顶点为A,B,C,D(为保持一致,活动中,小组内制作图形各点名称命名规则相同);
第二步:对折找到一条对角线BD并展开;
第三步:将边AB折叠到对角线BD所在直线上,顶点A的落点为F,所得折痕与边AD交于点E;
第四步:测量∠A,∠FDE,∠FED的度数.
(1)小组长在研究大家测得的数据后仔细分析,发现可以通过∠A的度数,计算得到∠FED和∠FDE的度数.如图,在一位同学制作的菱形中,∠A=30°,则∠FDE=°,∠FED=°.
(2)若∠A＜60°,请探究∠A的度数为多少时,△DEF为等腰三角形.
(3)请直接写出△DEF为直角三角形时,DF的长.

10.解析 (1)105;45.
详解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AB // CD, ∠ BDA = ∠ BDC = \dfrac{1}{2}∠ ADC,$
$\therefore ∠ ADC = 180° - ∠ A = 180° - 30° = 150°,$
$\therefore ∠ BDA = 75°, \therefore ∠ FDE = 180° - ∠ BDA = 105°,$
由折叠得 $∠ F = ∠ A = 30°,$
$\therefore ∠ FED = ∠ BDA - ∠ F = 75° - 30° = 45°,$
故答案为 105;45.
(2)设 $∠ A = α,$ 则 $∠ F = ∠ A = α,$
$∠ BDA = \dfrac{1}{2}∠ ADC = \dfrac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \dfrac{1}{2}α,$
$\therefore ∠ FDE = 180° - ∠ BDA = 90° + \dfrac{1}{2}α,$
$∠ FED = ∠ BDA - ∠ F = 90° - \dfrac{3}{2}α.$
①当 $DE = DF$ 时, $∠ DEF = ∠ F,$
$\therefore 90° - \dfrac{3}{2}α = α,$ 解得 $α = 36°,$
$\therefore ∠ A$ 的度数为 $36°$ 时, $△ DEF$ 为等腰三角形.
②当 $DE = EF$ 时, $∠ FDE = ∠ F,$
$\therefore 90° + \dfrac{1}{2}α = α,$ 解得 $α = 180°$(不合题意,舍去).
③当 $DF = EF$ 时, $∠ FDE = ∠ FED,$
$\therefore 90° + \dfrac{1}{2}α = 90° - \dfrac{3}{2}α,$ 解得 $α = 0°$(不合题意,舍去).
综上, $∠ A$ 的度数为 $36°$ 时, $△ DEF$ 为等腰三角形.
(3)$△ DEF$ 为直角三角形时, $DF$ 的长为 $2\sqrt{2} - 2$ 或 $2\sqrt{3} - 2.$
详解:仅有以下两种情况:①当 $∠ EFD = 90°$ 时,如图 1,
$\because ∠ EFD = 90°, \therefore ∠ BFE = 90°,$
由折叠得 $∠ BFE = ∠ A = 90°, BF = AB = 2,$
$\therefore BD = 2\sqrt{2}, \therefore DF = BD - BF = 2\sqrt{2} - 2.$
②当 $∠ FED = 90°$ 时,如图 2,
$\because ∠ FED = 90°, \therefore ∠ EFD + ∠ EDF = 90°,$
设 $∠ A = β,$
$\therefore ∠ BDA = \dfrac{1}{2}∠ ADC = \dfrac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \dfrac{1}{2}β,$
由折叠得 $∠ BFE = ∠ A = β, EF = AE,$
$\therefore ∠ EFD = 180° - β,$
$\therefore ∠ BDA + ∠ EFD = 90° - \dfrac{1}{2}β + 180° - β = 90°,$ 解得 $β = 120°,$
$\therefore ∠ BDA = 90° - \dfrac{1}{2}β = 30°, \therefore DE = \sqrt{3}EF = \sqrt{3}AE, DF = 2EF,$
$\because AD = DE + AE = 2,$
$\therefore \sqrt{3}EF + EF = 2,$ 解得 $EF = \sqrt{3} - 1, \therefore DF = 2\sqrt{3} - 2.$
综上,$△ DEF$ 为直角三角形时, $DF$ 的长为 $2\sqrt{2} - 2$ 或 $2\sqrt{3} - 2.$