6.「2026重庆开州西街中学期中，★★☆」如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，点$E$是$BC$边上一点，连接$OE$，把$△ BOE$沿直线$OE$翻折得到$△ FOE$，点$F$正好落在$DC$的延长线上，若$∠ BAD=134°$，则$∠ EFC$的度数为。

6.答案 $46°$
解析 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, 对角线 $AC, BD$ 交于点 $O$,
$\therefore AD // BC, OB = OD, BC = CD, ∠ CBD = \dfrac{1}{2}∠ ABC, \because ∠ BAD = 134°, \therefore ∠ ABC = 180° - ∠ BAD = 46°, \therefore ∠ CBD = \dfrac{1}{2}∠ ABC = 23°, \because BC = CD, \therefore ∠ CDB = ∠ CBD = 23°,$ 由翻折的性质得 $OB = OF, ∠ OFE = ∠ CBD = 23°,$ 又 $\because OB = OD, \therefore OF = OD,$
$\therefore ∠ OFD = ∠ CDB = 23°, \therefore ∠ EFC = ∠ OFE + ∠ OFD = 46°.$ 故答案为 $46°.$

7.「★☆」如图,已知菱形ABCD的边长为3,∠DAB=60°,点E,F分别在边AB,AD上.将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则AF=.

7.答案 2.1
解析 过点 $F$ 作 $FH ⊥ CD$ 交 $CD$ 的延长线于点 $H$, 如图所示：
$\because ∠ DAB = 60°,$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore ∠ HDF = 60°,$
$\therefore ∠ HFD = 30°,$ 设 $HD = x,$ 则 $DF = 2x, \therefore FH = \sqrt{3}x, AF = GF = 3 - 2x, \because$ 点 $G$ 是 $CD$ 边的中点, $\therefore DG = \dfrac{1}{2}DC = 1.5, \therefore HG = x + 1.5,$ 在 $\mathrm{Rt}△ FGH$ 中, $(x + 1.5)^2 + (\sqrt{3}x)^2 = (3 - 2x)^2,$ 解得 $x = 0.45, \therefore AF = 3 - 2 × 0.45 = 2.1,$ 故答案为 2.1.

8.「2026辽宁辽阳期末，★★」如图,在菱形$ABCD$中,$∠ABC=120°$,边$AB$的长为8,点$M$是$AB$边上一点,点$N$是$AD$边上一点,将$△ AMN$沿$MN$翻折,点$A$的对应点$A'$恰好落在菱形$ABCD$的一条边上,若$DA'=2$,则$AM$的长为.

8.答案 6或7
解析 当$A'$落在 $CD$ 上时,如图,
作 $AE ⊥ CD$ 交 $CD$ 的延长线于点 $E$, 作 $A'F ⊥ AB$ 于点 $F$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AB // CD, ∠ ADC = ∠ ABC = 120°,$
$\therefore EA ⊥ AB, ∠ ADE = 60°,$
$\therefore ∠ DAE = 30°,$ 四边形 $AEA'F$ 为矩形，
$\therefore DE = \dfrac{1}{2}AD = 4, AF = A'E, A'F = AE.$
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, 由勾股定理得 $AE = 4\sqrt{3}, \therefore A'F = 4\sqrt{3}.$
$\because DA' = 2, \therefore A'E = A'D + DE = 6,$
$\therefore AF = 6,$
$\because$ 将 $△ AMN$ 沿 $MN$ 翻折得到 $△ A'MN, \therefore AM = A'M,$
设 $AM = A'M = x,$ 则 $FM = x - 6,$
在 $\mathrm{Rt}△ A'FM$ 中, 由勾股定理, 得 $(x - 6)^2 + (4\sqrt{3})^2 = x^2,$
解得 $x = 7, \therefore AM = 7.$
当 $A'$ 落在 $AD$ 上时,如图,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, 且边 $AB$ 的长为 8,
$\therefore AD // BC, AD = AB = 8,$
$\because ∠ ABC = 120°, \therefore ∠ DAB = 180° - ∠ ABC = 60°,$
$\because$ 将 $△ AMN$ 沿 $MN$ 翻折得到 $△ A'MN, \therefore AM = A'M,$
$\therefore △ AA'M$ 为等边三角形, $\therefore AM = AA',$
$\because AD = 8, DA' = 2, \therefore AA' = AD - DA' = 6, \therefore AM = 6.$
综上,$AM = 6$ 或 7.故答案为 6 或 7.

9. 核心素养推理能力「★★☆」如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,点F为CD边上一点,点E为AD边上一点,连接EF,将△DEF沿EF进行翻折,点D恰好落在BC边的中点G处,求DE的长.

9.解析 连接 $AC, AG,$ 如图,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore BC = AB = AD = 2, AD // BC,$
$\because ∠ B = 60°, \therefore △ ABC$ 为等边三角形，
$\because G$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore BG = GC = \dfrac{1}{2}BC = 1, AG ⊥ BC,$
$\therefore AG = \sqrt{3}.$
$\because AD // BC, \therefore AG ⊥ AD.$
由翻折得 $ED = EG.$
设 $EG = ED = x,$ 则 $AE = 2 - x,$
在 $\mathrm{Rt}△ AEG$ 中, $∠ GAE = 90°, \therefore AG^2 + AE^2 = EG^2,$
$\therefore (\sqrt{3})^2 + (2 - x)^2 = x^2,$
解得 $x = \dfrac{7}{4}, \therefore DE = \dfrac{7}{4}.$