11.「2026陕西榆林榆阳期末，★★☆」如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点处，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为。

11.答案 $\dfrac{49}{13}$
解析 如图,设 $AE$ 与 $BF$ 的交点为 $H$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, 且其边长为 12,
$\therefore AB = AD = 12, ∠ BAD = ∠ D = 90°,$
$\therefore ∠ ABF + ∠ AFB = 90°,$
由折叠可知 $BF ⊥ AG, AH = GH,$
$\therefore ∠ DAE + ∠ AFH = 90°, \therefore ∠ ABF = ∠ DAE,$
在 $△ ABF$ 和 $△ DAE$ 中, $\begin{cases}∠ BAF = ∠ D,\\AB = DA,\\∠ ABF = ∠ DAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ DAE, \therefore AF = DE = 5, BF = AE,$
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中, $BF = \sqrt{AB^2 + AF^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13, \therefore AE = 13,$
$\because S_{△ ABF} = \dfrac{1}{2}AB · AF = \dfrac{1}{2}BF · AH,$
$\therefore AH = \dfrac{AB · AF}{BF} = \dfrac{60}{13},$
$\therefore GE = AE - 2AH = 13 - 2 × \dfrac{60}{13} = \dfrac{49}{13}.$ 故答案为 $\dfrac{49}{13}.$

12. 学科特色十字模型「★★☆」如图1,在正方形ABCD中,AB=3,点P,Q,E分别在AB,CD,AD上.
(1)平移PQ,使点Q与点C重合,如图2,若PC⊥BE,求证:BE=PC.
(2)如图3,将正方形ABCD沿PQ翻折,使点D落在BC上的点G处,若CG=1,则PQ=.

12.解析 (1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AB = BC, ∠ A = ∠ CBP = 90°, \therefore ∠ ABE + ∠ AEB = 90°,$
$\because BE ⊥ PC, \therefore ∠ ABE + ∠ BPC = 90°, \therefore ∠ AEB = ∠ BPC,$
在 $△ ABE$ 和 $△ BCP$ 中, $\begin{cases}∠ AEB = ∠ BPC,\\∠ A = ∠ PBC,\\AB = BC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ BCP(\mathrm{AAS}), \therefore BE = PC.$
(2)$\sqrt{10}.$
详解:如图,连接 $DG$,过点 $A$ 作 $AH // PQ$, 交 $CD$ 于点 $H$,
$\because$ 将正方形 $ABCD$ 沿 $PQ$ 翻折, 点 $D$ 落在 $BC$ 上的点 $G$ 处, $\therefore DG ⊥ PQ,$
$\because AH // PQ, \therefore DG ⊥ AH,$
同(1)可证得 $△ ADH ≌ △ DCG,$
$\therefore DH = CG = 1,$
$\therefore AH = \sqrt{AD^2 + DH^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10},$
$\because AB // CD, AH // PQ, \therefore$ 四边形 $APQH$ 是平行四边形，
$\therefore PQ = AH = \sqrt{10}.$ 故答案为 $\sqrt{10}.$