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7.「2026陕西西安期中，★★☆」如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,点E为边AD上一点,ED=1 cm,连接BE.点P从点B出发,沿BE匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB匀速运动,速度为1 cm/s.设运动时间为t s(0＜t＜5).
(1)用含t的代数式表示:BP=
(2)连接PQ,若存在某一时刻,使得以P,Q,B为顶点的三角形与△ABE相似,请求出此时t的值.
(1)用含t的代数式表示:BP=
t
cm,BQ=5-t
cm.(2)连接PQ,若存在某一时刻,使得以P,Q,B为顶点的三角形与△ABE相似,请求出此时t的值.
答案
解析 (1)$t;(5-t)$.
详解:$\because$ 点$P$从点$B$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BE$匀速运动,点$Q$从点$C$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CB$匀速运动,
$\therefore BP=CQ=t\ \mathrm{cm}$,
$\because BC=5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BQ=BC-CQ=(5-t)\mathrm{cm}$.
故答案为$t;(5-t)$.
(2)$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore BC=AD=5\ \mathrm{cm},AD// BC$,
$\therefore AE=AD-DE=4\ \mathrm{cm},∠AEB=∠PBQ$,
$\because AB=3\ \mathrm{cm},\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ABE$中,由勾股定理得$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$,
当$∠BPQ=∠A=90°$时,$△BPQ∽ △EAB$,
$\therefore \frac{BQ}{EB}=\frac{BP}{EA}$,即$\frac{5-t}{5}=\frac{t}{4}$,解得$t=\frac{20}{9}$.
当$∠PQB=∠A=90°$时,$△BPQ∽ △EBA$,
$\therefore \frac{BQ}{EA}=\frac{BP}{EB}$,即$\frac{5-t}{4}=\frac{t}{5}$,解得$t=\frac{25}{9}$.
综上,当$t=\frac{20}{9}$或$\frac{25}{9}$时,以$P,Q,B$为顶点的三角形与$△ABE$相似.
详解:$\because$ 点$P$从点$B$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BE$匀速运动,点$Q$从点$C$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CB$匀速运动,
$\therefore BP=CQ=t\ \mathrm{cm}$,
$\because BC=5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BQ=BC-CQ=(5-t)\mathrm{cm}$.
故答案为$t;(5-t)$.
(2)$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore BC=AD=5\ \mathrm{cm},AD// BC$,
$\therefore AE=AD-DE=4\ \mathrm{cm},∠AEB=∠PBQ$,
$\because AB=3\ \mathrm{cm},\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ABE$中,由勾股定理得$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$,
当$∠BPQ=∠A=90°$时,$△BPQ∽ △EAB$,
$\therefore \frac{BQ}{EB}=\frac{BP}{EA}$,即$\frac{5-t}{5}=\frac{t}{4}$,解得$t=\frac{20}{9}$.
当$∠PQB=∠A=90°$时,$△BPQ∽ △EBA$,
$\therefore \frac{BQ}{EA}=\frac{BP}{EB}$,即$\frac{5-t}{4}=\frac{t}{5}$,解得$t=\frac{25}{9}$.
综上,当$t=\frac{20}{9}$或$\frac{25}{9}$时,以$P,Q,B$为顶点的三角形与$△ABE$相似.
