8.「2025四川乐山实验中学期中，★★★」如图,已知A,B两点的坐标分别为(8,0)和(0,6),动点P从点A出发,在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动,点E从原点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,过点E作直线EF//x轴交线段AB于点F,连接EP,FP,假设点P与点E同时出发,其中一个点到达终点时,两点均停止运动,运动时间为t秒.
(1)当t=2时,求EF的长度.
(2)当t为何值时,△PEF的面积为$\frac{10}{3}$?
(3)当t为何值时,△EOP与△BOA相似?

解析 (1)由题意可知,当$t=2$时,$AP=4,OE=2$,
$\because A(8,0),B(0,6),\therefore OA=8,OB=6,\therefore BE=OB-OE=4$,
$\because EF// x$轴,$\therefore △BEF∽ △BOA$,
$\therefore \frac{BE}{BO}=\frac{EF}{OA}$,即$\frac{4}{6}=\frac{EF}{8},\therefore EF=\frac{16}{3}$.
(2)由题意可知$OE=t,AP=2t,\therefore BE=6-t$,
$\because EF// x$轴,$\therefore △BEF∽ △BOA$,
$\therefore \frac{BE}{BO}=\frac{EF}{OA}$,即$\frac{6-t}{6}=\frac{EF}{8}$,
$\therefore EF=\frac{24-4t}{3},\therefore S_{△PEF}=\frac{1}{2}×\frac{24-4t}{3}×t=\frac{12t-2t^2}{3}$,
当$S_{△PEF}=\frac{10}{3}$时,$\frac{12t-2t^2}{3}=\frac{10}{3}$,
即$t^2-6t+5=0$,解得$t_1=5,t_2=1$,
当$t=5$时,$AP=10＞8$,不符合题意,舍去,
$\therefore$ 当$t=1$时,$△PEF$的面积为$\frac{10}{3}$.
(3)由题意可知$OE=t,AP=2t,OP=8-2t$,
当$△EOP∽ △BOA$时,$\frac{OE}{OB}=\frac{OP}{OA}$,即$\frac{t}{6}=\frac{8-2t}{8}$,解得$t=\frac{12}{5}$,
当$△EOP∽ △AOB$时,$\frac{OE}{OA}=\frac{OP}{OB}$,即$\frac{t}{8}=\frac{8-2t}{6}$,解得$t=\frac{32}{11}$.
综上所述,当$t=\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$时,$△EOP$与$△BOA$相似.

9.「2025四川眉山中考，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA=1，∠OAB=90°，则点G的坐标为。

答案 $\boldsymbol{(-\frac{64}{27},0)}$
解析 $\because$ 题图中的 12 个直角三角形是相似三角形,
$\therefore ∠AOB=\frac{360°}{12}=30°$, 在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中, $\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore OA=\frac{\sqrt{3}}{2}OB$, 同理可得 $OB=\frac{\sqrt{3}}{2}OC,OC=\frac{\sqrt{3}}{2}OD,\dots\dots$
$\therefore OA=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2OC=(\frac{\sqrt{3}}{2})^3OD=(\frac{\sqrt{3}}{2})^6OG=\frac{27}{64}OG$,
$\because OA=1,\therefore OG=\frac{64}{27}$, 由题图可知,点 $G$ 位于 $x$ 轴的负半轴上,$\therefore$ 点 $G$ 的坐标为$(-\frac{64}{27},0)$.故答案为$(-\frac{64}{27},0)$.