5.「2026广西北海期中，★★☆」如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=3,AB=5$,点$P$从点$C$出发以每秒1个单位长度的速度沿$CB\rightarrow BA$运动,当运动时间$t$(单位:秒)为何值时,以点$A,P,C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似(两三角形全等时除外) ()


A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{9}{4}$或$\frac{16}{5}$
D.$\frac{9}{4}$或$\frac{36}{5}$

$\because ∠ACB=90°,AC=3,AB=5$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
当$△ACB∽ △PCA$时,$\frac{CP}{AC}=\frac{AC}{BC}$,即$\frac{CP}{3}=\frac{3}{4},\therefore CP=\frac{9}{4}$,
$\therefore t=\frac{9}{4}÷1=\frac{9}{4}$.
如图,当$△ACB∽ △APC$时,

$∠APC=∠ACB=90°,\frac{CP}{BC}=\frac{AC}{AB}$,即$\frac{CP}{4}=\frac{3}{5},\therefore CP=\frac{12}{5}$,
$\therefore BP=\sqrt{BC^2-CP^2}=\frac{16}{5}$,
$\therefore BP+BC=\frac{16}{5}+4=\frac{36}{5},\therefore t=\frac{36}{5}÷1=\frac{36}{5}$.
综上,当$t$的值为$\frac{9}{4}$或$\frac{36}{5}$时,以点$A,P,C$为顶点的三角形与$△ABC$相似.故选 D.

6.「2025四川眉山洪雅期末，★☆」如图,在$Rt△ ACB$中,$∠ C=90°,AC=16\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$C$出发,沿线段$CA$向点$A$运动;同时动点$Q$从点$B$出发,沿线段$BC$向点$C$运动,如果点$P$的运动速度为$4\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,那么点$P,Q$运动几秒时,$△ ABC$和$△ PCQ$相似?

解析 设同时运动$t\ \mathrm{s}$时两个三角形相似,已知$∠C=∠C$,
当$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC}$时,$△PCQ∽ △BCA$,此时$\frac{4t}{8}=\frac{8-2t}{16}$,解得$t=0.8$.
当$\frac{CQ}{BC}=\frac{PC}{AC}$时,$△PCQ∽ △ACB$,此时$\frac{8-2t}{8}=\frac{4t}{16}$,解得$t=2$.
答:点$P,Q$同时运动$0.8\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时,$△ABC$和$△PCQ$相似.