4.「2025山西长治期末，★★★」综合与实践.
问题情境:如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC=90°,AB=AC=6$,现取一块透明等腰直角三角尺($∠DEF=90°,DE=EF=10$),将$45°$角的顶点D放在$Rt△ABC$斜边上的任意一点处,并将三角尺绕点D顺时针旋转$α(0°＜α＜180°)$,三角尺的两边DE,DF分别交AB,AC于点M,N.
观察猜想
(1)当三角尺绕点D旋转到如图1所示的情形时,$△BDM$与$△CND$有怎样的关系? .(填“全等”“相似”或“不相似”)
类比推理
(2)当三角尺绕点D旋转到如图2所示的情形时,三角尺的两边分别交BA的延长线、边AC于点M,N,(1)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
深入探究
(3)如图3,在(2)的条件下,假设D为BC的中点,三角尺绕点D继续旋转,若$AM=3$,连接MN,求DM的长.

解析 (1)相似.
详解:$\because ∠BAC=∠DEF=90°,AB=AC,DE=EF$,
$\therefore ∠B=∠C=∠EDF=∠F=45°$,
$\therefore ∠BMD=180°-∠B-∠BDM=135°-∠BDM,∠CDN=180°-∠EDF-∠BDM=135°-∠BDM$,
$\therefore ∠BMD=∠CDN,\therefore △BDM∽ △CND$.
故答案为相似.
(2)成立.
证明:$\because ∠BAC=∠DEF=90°,AB=AC,DE=EF$,
$\therefore ∠B=∠C=∠EDF=∠F=45°$,
$\therefore ∠BMD=180°-∠B-∠BDM=135°-∠BDM,∠CDN=180°-∠EDF-∠BDM=135°-∠BDM$,
$\therefore ∠BMD=∠CDN,\therefore △BDM∽ △CND$,
$\therefore$(1)中的结论成立.
(3)$\because ∠BAC=90°,AB=AC=6,AM=3$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2},BM=AB+AM=6+3=9$,
$\because D$为$BC$的中点,
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$,
$\because △BDM∽ △CND,\therefore \frac{BM}{CD}=\frac{BD}{CN}=\frac{DM}{DN}$,
$\therefore CN=\frac{BD·CD}{BM}=\frac{3\sqrt{2}×3\sqrt{2}}{9}=2$,
$\therefore AN=AC-CN=6-2=4$,
$\because ∠MAN=180°-∠BAC=90°$,
$\therefore NM=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
$\because \frac{BM}{CD}=\frac{DM}{DN},BD=CD$,
$\therefore \frac{BM}{BD}=\frac{DM}{DN},\therefore \frac{BM}{DM}=\frac{BD}{DN}$,
又$\because ∠B=∠MDN=45°$,
$\therefore △BDM∽ △DNM$,
$\therefore \frac{DM}{BM}=\frac{NM}{DM}$,
$\therefore DM=\sqrt{BM·NM}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$.