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一、选择题
1. 若抛物线$y=x^2 -2x -3$与$x$轴交于$A$、$B$两点，则线段$AB$的长是（
A.4；
B.3；
C.2；
D.1.
1. 若抛物线$y=x^2 -2x -3$与$x$轴交于$A$、$B$两点，则线段$AB$的长是（
A
）A.4；
B.3；
C.2；
D.1.
答案
1. A.
解析
【分析】
要求抛物线与x轴交点A、B之间的线段长度，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此先令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是A、B两点的横坐标；由于A、B都在x轴上，两点间的距离等于两个横坐标差的绝对值，算出该值即可得到AB的长。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 -2x -3=0$
对方程因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$，即A、B两点的横坐标分别为-1和3。
由于A、B都在x轴上，线段AB的长度为两点横坐标差的绝对值：
$AB=|3 - (-1)|=4$
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程求解、数轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应联系，掌握求函数与坐标轴交点的通用方法，结合距离公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求抛物线与x轴交点A、B之间的线段长度，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此先令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是A、B两点的横坐标；由于A、B都在x轴上，两点间的距离等于两个横坐标差的绝对值，算出该值即可得到AB的长。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 -2x -3=0$
对方程因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$，即A、B两点的横坐标分别为-1和3。
由于A、B都在x轴上，线段AB的长度为两点横坐标差的绝对值：
$AB=|3 - (-1)|=4$
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程求解、数轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应联系，掌握求函数与坐标轴交点的通用方法，结合距离公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线 $y=-x^2+2kx+2$ 与 $x$ 轴交点的个数为 （
A.0；
B.1；
C.2；
D.无法判断。
C
）A.0；
B.1；
C.2；
D.无法判断。
答案
2. C.
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断y=0时对应的一元二次方程的实数根的个数，二者的对应关系为：判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，对应1个交点；Δ＜0时，对应0个交点。因此解题时先令y=0得到一元二次方程，再计算判别式Δ，判断Δ的符号即可得出结论。
【解析】
解：当抛物线$y=-x^2+2kx+2$与x轴相交时，$y=0$，代入解析式得：
$-x^2 + 2kx + 2 = 0$，
整理为标准一元二次方程形式：$x^2 - 2kx - 2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=-2$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(-2) = 4k^2 + 8$，
∵ 对任意实数$k$，都有$k^2≥0$，
∴ $4k^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
抛物线与x轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，核心是掌握抛物线与x轴交点个数和判别式符号的对应关系，计算判别式时注意符号问题即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断y=0时对应的一元二次方程的实数根的个数，二者的对应关系为：判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，对应1个交点；Δ＜0时，对应0个交点。因此解题时先令y=0得到一元二次方程，再计算判别式Δ，判断Δ的符号即可得出结论。
【解析】
解：当抛物线$y=-x^2+2kx+2$与x轴相交时，$y=0$，代入解析式得：
$-x^2 + 2kx + 2 = 0$，
整理为标准一元二次方程形式：$x^2 - 2kx - 2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=-2$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(-2) = 4k^2 + 8$，
∵ 对任意实数$k$，都有$k^2≥0$，
∴ $4k^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
抛物线与x轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，核心是掌握抛物线与x轴交点个数和判别式符号的对应关系，计算判别式时注意符号问题即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 有四种关于二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的说法：
① 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ (1,0) $，则 $ b^2 - 4ac ≥ 0 $；
② 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点，则方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 必有两个不相等的实数根；
③ 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ (c,0) $，则一定有 $ ac + b + 1 = 0 $；
④ 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ (x_0,0) $，则 $ b^2 - 4ac = (2ax_0 + b)^2 $。
其中错误的是 $\quad (\quad)$
A.①；
B.②；
C.③；
D.④。
① 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ (1,0) $，则 $ b^2 - 4ac ≥ 0 $；
② 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点，则方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 必有两个不相等的实数根；
③ 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ (c,0) $，则一定有 $ ac + b + 1 = 0 $；
④ 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ (x_0,0) $，则 $ b^2 - 4ac = (2ax_0 + b)^2 $。
其中错误的是 $\quad (\quad)$
A.①；
B.②；
C.③；
D.④。
答案
3. C.
解析
【分析】
本题考查二次函数图像与x轴交点和对应一元二次方程的关系，解题时需逐个判断4个说法的正误：首先结合二次函数与x轴交点的判别式规则判断①②；再将交点坐标代入函数解析式，通过因式分解、代数变形判断③④，尤其注意因式分解后不要随意除以可能为0的项。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 判断①：若二次函数图像与x轴交于点$(1,0)$，说明图像与x轴至少有1个交点，根据二次函数与x轴交点的判别式规则，此时判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，故①正确。
2. 判断②：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，若图像有两个不同交点，则对应方程必有两个不相等的实数根，故②正确。
3. 判断③：将交点$(c,0)$代入函数解析式得：$a· c^2 + b· c + c = 0$，提取公因式$c$可得$c(ac + b + 1)=0$，因此有两种情况：$c=0$或$ac + b + 1=0$，并非一定满足$ac + b + 1=0$，故③错误。
4. 判断④：将交点$(x_0,0)$代入解析式得$ax_0^2 + bx_0 + c = 0$，即$ax_0^2 + bx_0 = -c$。
将右侧$(2ax_0 + b)^2$展开：
$\begin{aligned}(2ax_0 + b)^2 &= 4a^2x_0^2 + 4abx_0 + b^2 \\&=4a(ax_0^2 + bx_0) + b^2 \\&=4a·(-c) + b^2 \\&=b^2 - 4ac\end{aligned}$
左右两边相等，故④正确。
综上，错误的是③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础概念的综合题，易错点是判断③时直接在等式两边除以c，忽略c=0的情况，掌握二次函数与对应一元二次方程的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数图像与x轴交点和对应一元二次方程的关系，解题时需逐个判断4个说法的正误：首先结合二次函数与x轴交点的判别式规则判断①②；再将交点坐标代入函数解析式，通过因式分解、代数变形判断③④，尤其注意因式分解后不要随意除以可能为0的项。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 判断①：若二次函数图像与x轴交于点$(1,0)$，说明图像与x轴至少有1个交点，根据二次函数与x轴交点的判别式规则，此时判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，故①正确。
2. 判断②：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，若图像有两个不同交点，则对应方程必有两个不相等的实数根，故②正确。
3. 判断③：将交点$(c,0)$代入函数解析式得：$a· c^2 + b· c + c = 0$，提取公因式$c$可得$c(ac + b + 1)=0$，因此有两种情况：$c=0$或$ac + b + 1=0$，并非一定满足$ac + b + 1=0$，故③错误。
4. 判断④：将交点$(x_0,0)$代入解析式得$ax_0^2 + bx_0 + c = 0$，即$ax_0^2 + bx_0 = -c$。
将右侧$(2ax_0 + b)^2$展开：
$\begin{aligned}(2ax_0 + b)^2 &= 4a^2x_0^2 + 4abx_0 + b^2 \\&=4a(ax_0^2 + bx_0) + b^2 \\&=4a·(-c) + b^2 \\&=b^2 - 4ac\end{aligned}$
左右两边相等，故④正确。
综上，错误的是③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础概念的综合题，易错点是判断③时直接在等式两边除以c，忽略c=0的情况，掌握二次函数与对应一元二次方程的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 若抛物线$y=x^2 -6x -7$与$x$轴分别交于$A$、$B$两点，则$A$、$B$两点的坐标分别是
4. 若抛物线$y=x^2 -6x -7$与$x$轴分别交于$A$、$B$两点，则$A$、$B$两点的坐标分别是
(-1,0)、(7,0)
。答案
4. (-1,0)、(7,0).
解析
【分析】
要求抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标都为0，因此只需令抛物线解析式中y=0，解对应的一元二次方程，得到的根就是交点的横坐标，纵坐标固定为0，即可得到A、B两点的坐标。
【解析】
解：抛物线与x轴相交时，交点纵坐标为0，令$y=0$，可得方程：
$x^2 - 6x -7 =0$
对该方程因式分解得：$(x+1)(x-7)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=7$
因此A、B两点的坐标分别为$(-1,0)$、$(7,0)$。
【答案】
(-1,0)、(7,0)
【知识点】
1. 抛物线与x轴交点特征
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握函数图象与坐标轴交点的坐标特征，将求交点坐标的问题转化为解方程的问题即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要求抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标都为0，因此只需令抛物线解析式中y=0，解对应的一元二次方程，得到的根就是交点的横坐标，纵坐标固定为0，即可得到A、B两点的坐标。
【解析】
解：抛物线与x轴相交时，交点纵坐标为0，令$y=0$，可得方程：
$x^2 - 6x -7 =0$
对该方程因式分解得：$(x+1)(x-7)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=7$
因此A、B两点的坐标分别为$(-1,0)$、$(7,0)$。
【答案】
(-1,0)、(7,0)
【知识点】
1. 抛物线与x轴交点特征
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握函数图象与坐标轴交点的坐标特征，将求交点坐标的问题转化为解方程的问题即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 已知$y=x^2+6x-3$. 当$x=$
0或2
时，$y$的值是$-3$.答案
5. 0或2.
6. 二次函数$y=x^2 - x - 3$的图像与$x$轴有
2
个交点。答案
6. 2.
解析
【分析】
要判断二次函数图像与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根，交点个数由根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。因此本题只需先确定对应方程的$a、b、c$的值，计算$\Delta$的符号即可得到交点个数。
【解析】
解：二次函数$y=x^2 - x - 3$对应的一元二次方程为$x^2 - x - 3 = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$，
∵$\Delta = 13 ＞ 0$，
∴方程$x^2 - x - 3 = 0$有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 - x - 3$的图像与x轴有2个交点。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图像与x轴交点个数的判断方法，解题关键是熟练掌握判别式符号和交点个数的对应关系，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数图像与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根，交点个数由根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。因此本题只需先确定对应方程的$a、b、c$的值，计算$\Delta$的符号即可得到交点个数。
【解析】
解：二次函数$y=x^2 - x - 3$对应的一元二次方程为$x^2 - x - 3 = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$，
∵$\Delta = 13 ＞ 0$，
∴方程$x^2 - x - 3 = 0$有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 - x - 3$的图像与x轴有2个交点。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图像与x轴交点个数的判断方法，解题关键是熟练掌握判别式符号和交点个数的对应关系，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
7.若抛物线 $ y = mx^2 + 3x - 1 $ 与x轴有交点，则m的取值范围是
$m≥-\frac{9}{4}且m≠0$
.答案
7. $m≥-\frac{9}{4}且m≠0$.
解析
【分析】
解题时首先要抓住题干中的“抛物线”这一关键信息，抛物线属于二次函数，因此二次项系数不能为0，这是第一个限制条件；其次，抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，可利用一元二次方程根的判别式Δ≥0建立不等式求解，最后综合两个限制条件得到m的取值范围。
【解析】
∵ 函数图象是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即 $ m ≠ 0 $。
∵ 抛物线 $ y = mx^2 + 3x -1 $ 与x轴有交点，
∴ 一元二次方程 $ mx^2 + 3x -1 = 0 $ 有实数根，
∴ 根的判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac ≥ 0 $，
其中 $ a = m $，$ b = 3 $，$ c = -1 $，代入得：
$ \Delta = 3^2 - 4 × m × (-1) = 9 + 4m ≥ 0 $，
解不等式得：$ m ≥ -\frac{9}{4} $。
结合二次项系数限制 $ m ≠ 0 $，
最终得到m的取值范围。
【答案】
$ m≥-\frac{9}{4}且m≠0 $
【知识点】
二次函数的定义；抛物线与x轴的交点；根的判别式应用
【点评】
本题的易错点是忽略“抛物线属于二次函数，二次项系数不能为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误结果，解题时要注意挖掘题干中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住题干中的“抛物线”这一关键信息，抛物线属于二次函数，因此二次项系数不能为0，这是第一个限制条件；其次，抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，可利用一元二次方程根的判别式Δ≥0建立不等式求解，最后综合两个限制条件得到m的取值范围。
【解析】
∵ 函数图象是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即 $ m ≠ 0 $。
∵ 抛物线 $ y = mx^2 + 3x -1 $ 与x轴有交点，
∴ 一元二次方程 $ mx^2 + 3x -1 = 0 $ 有实数根，
∴ 根的判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac ≥ 0 $，
其中 $ a = m $，$ b = 3 $，$ c = -1 $，代入得：
$ \Delta = 3^2 - 4 × m × (-1) = 9 + 4m ≥ 0 $，
解不等式得：$ m ≥ -\frac{9}{4} $。
结合二次项系数限制 $ m ≠ 0 $，
最终得到m的取值范围。
【答案】
$ m≥-\frac{9}{4}且m≠0 $
【知识点】
二次函数的定义；抛物线与x轴的交点；根的判别式应用
【点评】
本题的易错点是忽略“抛物线属于二次函数，二次项系数不能为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误结果，解题时要注意挖掘题干中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
8. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表：
关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解是
关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解是$x_1=-2, x_2=4$
。答案
8. $x_1=-2, x_2=4$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次函数的对称性，首先从表格中找到函数值相等的两组x、y，求出二次函数的对称轴；再根据“二次函数中函数值相等的两个点关于对称轴对称”，结合已知的y=5时的x值，求出对应的另一个x值，即为方程$ax^2+bx+c=5$的解。
【解析】
1. 求二次函数的对称轴：
观察表格可知，当x=0和x=2时，函数值y均为-3，因此这两个点关于二次函数的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
2. 求y=5对应的x值：
已知x=-2时y=5，设另一个使y=5的x值为m，根据二次函数的对称性，点$(-2,5)$和点$(m,5)$关于对称轴$x=1$对称，因此满足：
$\frac{-2+m}{2}=1$
解得$m=4$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解为$x_1=-2$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=-2, x_2=4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；对称轴计算
【点评】
本题不需要求解二次函数的解析式，利用二次函数的对称性即可快速得到答案，是二次函数章节的典型题型，熟练掌握对称点和对称轴的关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用二次函数的对称性，首先从表格中找到函数值相等的两组x、y，求出二次函数的对称轴；再根据“二次函数中函数值相等的两个点关于对称轴对称”，结合已知的y=5时的x值，求出对应的另一个x值，即为方程$ax^2+bx+c=5$的解。
【解析】
1. 求二次函数的对称轴：
观察表格可知，当x=0和x=2时，函数值y均为-3，因此这两个点关于二次函数的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
2. 求y=5对应的x值：
已知x=-2时y=5，设另一个使y=5的x值为m，根据二次函数的对称性，点$(-2,5)$和点$(m,5)$关于对称轴$x=1$对称，因此满足：
$\frac{-2+m}{2}=1$
解得$m=4$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解为$x_1=-2$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=-2, x_2=4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；对称轴计算
【点评】
本题不需要求解二次函数的解析式，利用二次函数的对称性即可快速得到答案，是二次函数章节的典型题型，熟练掌握对称点和对称轴的关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
