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9. 函数$y=x^2+bx+c(x≥0)$的图像如图所示，当$2≤ y≤10$时，自变量$x$的取值范围是
$0≤ x≤1 或 3≤ x≤5$
.答案
9. $0≤ x≤1 或 3≤ x≤5$.
解析
【分析】
要确定当$2≤y≤10$时自变量$x$的取值范围，首先需要求出二次函数的完整解析式：①利用图像上已知的点$(1,2)$和$(5,10)$，代入函数表达式$y=x^2+bx+c$，解方程组求出系数$b$、$c$；②分别求解$y=2$和$y=10$对应的$x$的值；③结合二次函数开口向上的图像性质、$x≥0$的限定，分析$y$在2到10之间时对应的$x$区间。
【解析】
由函数图像可知，函数过点$(1,2)$和$(5,10)$，将两点坐标代入$y=x^2+bx+c$得：
$\begin{cases}1+b+c=2 \\25+5b+c=10 \end{cases}$
两式相减消去$c$得：$24+4b=8$，解得$b=-4$，
将$b=-4$代入$1+b+c=2$，得$1-4+c=2$，解得$c=5$，
因此函数解析式为$y=x^2-4x+5$，其开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=2$。
①当$y=2$时，$x^2-4x+5=2$，整理得$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$；
②当$y=10$时，$x^2-4x+5=10$，整理得$x^2-4x-5=0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$（不符合$x≥0$的条件，舍去）。
结合图像性质：当$0≤x≤2$时，$y$随$x$增大而减小，$x=0$时$y=5$，满足$2≤5≤10$，因此此区间内满足$2≤y≤10$的$x$范围是$0≤x≤1$；
当$x≥2$时，$y$随$x$增大而增大，因此此区间内满足$2≤y≤10$的$x$范围是$3≤x≤5$。
综上，$x$的取值范围是$0≤x≤1$或$3≤x≤5$。
【答案】
$0≤ x≤1$ 或 $3≤ x≤5$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数图像性质、二次函数与不等式
【点评】
本题需要先通过已知点求出函数解析式，再结合函数的增减性分析不等式对应的自变量范围，解题时要注意题目给出的$x≥0$的限定，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.7
要确定当$2≤y≤10$时自变量$x$的取值范围，首先需要求出二次函数的完整解析式：①利用图像上已知的点$(1,2)$和$(5,10)$，代入函数表达式$y=x^2+bx+c$，解方程组求出系数$b$、$c$；②分别求解$y=2$和$y=10$对应的$x$的值；③结合二次函数开口向上的图像性质、$x≥0$的限定，分析$y$在2到10之间时对应的$x$区间。
【解析】
由函数图像可知，函数过点$(1,2)$和$(5,10)$，将两点坐标代入$y=x^2+bx+c$得：
$\begin{cases}1+b+c=2 \\25+5b+c=10 \end{cases}$
两式相减消去$c$得：$24+4b=8$，解得$b=-4$，
将$b=-4$代入$1+b+c=2$，得$1-4+c=2$，解得$c=5$，
因此函数解析式为$y=x^2-4x+5$，其开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=2$。
①当$y=2$时，$x^2-4x+5=2$，整理得$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$；
②当$y=10$时，$x^2-4x+5=10$，整理得$x^2-4x-5=0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$（不符合$x≥0$的条件，舍去）。
结合图像性质：当$0≤x≤2$时，$y$随$x$增大而减小，$x=0$时$y=5$，满足$2≤5≤10$，因此此区间内满足$2≤y≤10$的$x$范围是$0≤x≤1$；
当$x≥2$时，$y$随$x$增大而增大，因此此区间内满足$2≤y≤10$的$x$范围是$3≤x≤5$。
综上，$x$的取值范围是$0≤x≤1$或$3≤x≤5$。
【答案】
$0≤ x≤1$ 或 $3≤ x≤5$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数图像性质、二次函数与不等式
【点评】
本题需要先通过已知点求出函数解析式，再结合函数的增减性分析不等式对应的自变量范围，解题时要注意题目给出的$x≥0$的限定，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.7
10 如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与正比例函数$y=kx$的图像相交于A、B两点，点A的横坐标为－3，点B的横坐标为2，该二次函数图像的对称轴是直线$x=-1$. 有下列结论：①$abc＜0$；②$3b+2c＞0$；③关于x的方程$ax^2+bx+c=kx$的两根为$x_1=-3$，$x_2=2$；④$k=\frac{1}{2}a$. 其中正确的是
①③
.(只填写序号)答案
10. ①③. 提示：由图像可得，$a＞0$，$c＜0$. 又因为$-\frac{b}{2a}=-1$，所以$b=2a＞0$，$abc＜0$，①正确. 将$a=\frac{b}{2}$代入原函数，得$y=\frac{b}{2}x^2+bx+c$. 由图像，当$x=1$时，$y=\frac{3}{2}b+c＜0$. 因此，②不正确. 令$ax^2+bx+c=kx$，得方程$ax^2+(b-k)x+c=0$且$x_1=-3$，$x_2=2$是方程的两个根. 因此，③正确. 方程$ax^2+(b-k)x+c=a(x+3)(x-2)=ax^2+ax-ba$. 因此，$b-k=a$. 于是$k=b-a=2a-a=a≠\frac{1}{2}a$. ④不正确.
解析
【分析】
解题时先从二次函数的图像特征入手，先确定a、b、c的符号，再逐个判断结论：
1. 判断①：结合开口方向、对称轴公式、与y轴交点位置分别确定a、b、c的正负，再判断乘积符号；
2. 判断②：利用对称轴得到b和a的关系，代入二次函数解析式，取x=1代入二次函数，结合图像上x=1处的函数值符号推导3b+2c的正负；
3. 判断③：根据两个函数图像交点的横坐标就是对应方程的根，直接判断；
4. 判断④：将方程整理为一元二次方程的标准形式，结合根与系数的关系推导k和a的关系，判断结论是否成立。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号
二次函数开口向上，故$a＞0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a＞0$；
二次函数与y轴交点在y轴负半轴，故$c＜0$；
因此$abc=a×2a× c=2a^2c＜0$，结论①正确。
步骤2：判断结论②
将$a=\frac{b}{2}$代入二次函数解析式，得$y=\frac{b}{2}x^2+bx+c$；
观察图像，当$x=1$时，二次函数图像在x轴下方，即函数值$y＜0$，代入得：
$y=\frac{b}{2}×1^2 + b×1 + c=\frac{3b}{2}+c＜0$，两边同乘2得$3b+2c＜0$，故结论②错误。
步骤3：判断结论③
二次函数$y=ax^2+bx+c$与正比例函数$y=kx$的交点的横坐标，就是方程$ax^2+bx+c=kx$的解，已知A点横坐标为-3，B点横坐标为2，因此方程$ax^2+bx+c=kx$的两根为$x_1=-3$，$x_2=2$，结论③正确。
步骤4：判断结论④
将方程$ax^2+bx+c=kx$整理为$ax^2+(b-k)x+c=0$，已知该方程的两根为-3和2，根据韦达定理，两根之和为：
$\frac{-(b-k)}{a}=-3+2=-1$，整理得$-(b-k)=-a$，即$b-k=a$；
又因为$b=2a$，代入得$2a -k=a$，解得$k=a≠\frac{1}{2}a$，故结论④错误。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的图像与性质，函数交点与方程根的关系，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，需要熟练掌握二次函数系数和图像特征的对应关系，理解函数交点与对应方程解的转化逻辑，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数的图像特征入手，先确定a、b、c的符号，再逐个判断结论：
1. 判断①：结合开口方向、对称轴公式、与y轴交点位置分别确定a、b、c的正负，再判断乘积符号；
2. 判断②：利用对称轴得到b和a的关系，代入二次函数解析式，取x=1代入二次函数，结合图像上x=1处的函数值符号推导3b+2c的正负；
3. 判断③：根据两个函数图像交点的横坐标就是对应方程的根，直接判断；
4. 判断④：将方程整理为一元二次方程的标准形式，结合根与系数的关系推导k和a的关系，判断结论是否成立。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号
二次函数开口向上，故$a＞0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a＞0$；
二次函数与y轴交点在y轴负半轴，故$c＜0$；
因此$abc=a×2a× c=2a^2c＜0$，结论①正确。
步骤2：判断结论②
将$a=\frac{b}{2}$代入二次函数解析式，得$y=\frac{b}{2}x^2+bx+c$；
观察图像，当$x=1$时，二次函数图像在x轴下方，即函数值$y＜0$，代入得：
$y=\frac{b}{2}×1^2 + b×1 + c=\frac{3b}{2}+c＜0$，两边同乘2得$3b+2c＜0$，故结论②错误。
步骤3：判断结论③
二次函数$y=ax^2+bx+c$与正比例函数$y=kx$的交点的横坐标，就是方程$ax^2+bx+c=kx$的解，已知A点横坐标为-3，B点横坐标为2，因此方程$ax^2+bx+c=kx$的两根为$x_1=-3$，$x_2=2$，结论③正确。
步骤4：判断结论④
将方程$ax^2+bx+c=kx$整理为$ax^2+(b-k)x+c=0$，已知该方程的两根为-3和2，根据韦达定理，两根之和为：
$\frac{-(b-k)}{a}=-3+2=-1$，整理得$-(b-k)=-a$，即$b-k=a$；
又因为$b=2a$，代入得$2a -k=a$，解得$k=a≠\frac{1}{2}a$，故结论④错误。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的图像与性质，函数交点与方程根的关系，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，需要熟练掌握二次函数系数和图像特征的对应关系，理解函数交点与对应方程解的转化逻辑，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$. 点$A$坐标为$(-2,0)$，点$B$坐标为$(2,0)$，且$△ ABC$的面积为6.
（1）求点$C$的坐标.
（2）求该二次函数的表达式.
11. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$. 点$A$坐标为$(-2,0)$，点$B$坐标为$(2,0)$，且$△ ABC$的面积为6.
（1）求点$C$的坐标.
（2）求该二次函数的表达式.
答案
11. (1) $(0,3)$或$(0,-3)$. (2) $y=-\frac{3}{4}x^2+3$ 或 $y=\frac{3}{4}x^2-3$.
解析
【分析】
（1）先根据x轴上A、B两点的坐标求出线段AB的长度，△ABC以AB为底时，高就是点C到x轴的距离，也就是点C纵坐标的绝对值，结合已知的三角形面积即可求出C的纵坐标，再结合点C在y轴上横坐标为0的特征，得到点C的坐标，注意纵坐标存在正负两种情况。
（2）已知二次函数与x轴的两个交点A、B的坐标，可设二次函数的交点式，再将（1）中求出的两种点C的坐标分别代入解析式，求出参数a的值，即可得到对应的二次函数表达式。
【解析】
（1）
∵点A坐标为$(-2,0)$，点B坐标为$(2,0)$，两点均在x轴上，
∴$AB = 2 - (-2) = 4$。
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为$(0,y)$，
由△ABC的面积为6可得：$\frac{1}{2} × AB × |y| = 6$，
将$AB=4$代入得：$\frac{1}{2} × 4 × |y| = 6$，
解得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$，
∴点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
（2）
∵二次函数图像与x轴交于$A(-2,0)$、$B(2,0)$两点，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-2)$（$a≠0$），整理得$y=a(x^2-4)$。
① 当点C坐标为$(0,3)$时，代入解析式得：
$3 = a(0 - 4)$，解得$a=-\frac{3}{4}$，
此时二次函数表达式为$y=-\frac{3}{4}(x^2-4) = -\frac{3}{4}x^2 + 3$；
② 当点C坐标为$(0,-3)$时，代入解析式得：
$-3 = a(0 - 4)$，解得$a=\frac{3}{4}$，
此时二次函数表达式为$y=\frac{3}{4}(x^2-4) = \frac{3}{4}x^2 - 3$。
【答案】
(1) $(0,3)$或$(0,-3)$；(2) $y=-\frac{3}{4}x^2+3$ 或 $y=\frac{3}{4}x^2-3$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 三角形面积计算
3. 坐标轴点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是结合坐标轴上点的坐标特征表示三角形的底和高，要注意点C在y轴上时纵坐标有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）先根据x轴上A、B两点的坐标求出线段AB的长度，△ABC以AB为底时，高就是点C到x轴的距离，也就是点C纵坐标的绝对值，结合已知的三角形面积即可求出C的纵坐标，再结合点C在y轴上横坐标为0的特征，得到点C的坐标，注意纵坐标存在正负两种情况。
（2）已知二次函数与x轴的两个交点A、B的坐标，可设二次函数的交点式，再将（1）中求出的两种点C的坐标分别代入解析式，求出参数a的值，即可得到对应的二次函数表达式。
【解析】
（1）
∵点A坐标为$(-2,0)$，点B坐标为$(2,0)$，两点均在x轴上，
∴$AB = 2 - (-2) = 4$。
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为$(0,y)$，
由△ABC的面积为6可得：$\frac{1}{2} × AB × |y| = 6$，
将$AB=4$代入得：$\frac{1}{2} × 4 × |y| = 6$，
解得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$，
∴点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
（2）
∵二次函数图像与x轴交于$A(-2,0)$、$B(2,0)$两点，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-2)$（$a≠0$），整理得$y=a(x^2-4)$。
① 当点C坐标为$(0,3)$时，代入解析式得：
$3 = a(0 - 4)$，解得$a=-\frac{3}{4}$，
此时二次函数表达式为$y=-\frac{3}{4}(x^2-4) = -\frac{3}{4}x^2 + 3$；
② 当点C坐标为$(0,-3)$时，代入解析式得：
$-3 = a(0 - 4)$，解得$a=\frac{3}{4}$，
此时二次函数表达式为$y=\frac{3}{4}(x^2-4) = \frac{3}{4}x^2 - 3$。
【答案】
(1) $(0,3)$或$(0,-3)$；(2) $y=-\frac{3}{4}x^2+3$ 或 $y=\frac{3}{4}x^2-3$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 三角形面积计算
3. 坐标轴点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是结合坐标轴上点的坐标特征表示三角形的底和高，要注意点C在y轴上时纵坐标有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
