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12. 已知抛物线 $ y = ax^2 - 4ax -5a(a≠0) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点，点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧.
（1）求抛物线对称轴和点 $ A $、$ B $ 的坐标.
（2）已知点 $ M(-1,\frac{1}{2}) $、$ N(6,8a-2) $，且抛物线与线段 $ MN $ 只有一个交点，求 $ a $ 的取值范围.
（1）求抛物线对称轴和点 $ A $、$ B $ 的坐标.
（2）已知点 $ M(-1,\frac{1}{2}) $、$ N(6,8a-2) $，且抛物线与线段 $ MN $ 只有一个交点，求 $ a $ 的取值范围.
答案
12. (1) 对称轴为直线$x=2$，点$A(-1,0)$，点$B(5,0)$. (2) $a＜0$ 或 $0＜a≤2$.
解析
【分析】
（1）求抛物线对称轴可直接套用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；求与x轴交点A、B时，令$y=0$，解关于x的一元二次方程，再结合点A在点B左侧即可确定两点坐标。
（2）先明确线段MN的横坐标范围是$-1≤x≤6$，结合抛物线开口方向分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：$a＜0$时结合抛物线增减性和端点函数值判断交点个数；$a＞0$时通过比较$x=6$处抛物线的函数值与点N纵坐标的大小关系，列不等式求解即可。
【解析】
（1）对于抛物线$y=ax^2-4ax-5a(a≠0)$，
根据对称轴公式可得对称轴为：$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，即对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，则$ax^2-4ax-5a=0$，
$\because a≠0$，等式两边同除以a得：$x^2-4x-5=0$，
因式分解得$(x+1)(x-5)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
$\because$点A在点B左侧，$\therefore A(-1,0)$，$B(5,0)$。
（2）线段MN的横坐标取值范围为$-1≤x≤6$，
当$x=-1$时，抛物线的函数值$y=a×(-1)^2-4a×(-1)-5a=0$，点$M(-1,\frac{1}{2})$在x=-1处位于抛物线上方，分两种情况讨论：
①当$a＜0$时，抛物线开口向下，
当$x＞2$时，y随x的增大而减小，$x=5$时$y=0$，则$x=6$时抛物线的函数值$y=a×6^2-4a×6-5a=7a＜0$，
点N纵坐标为$8a-2$，作差比较：$7a-(8a-2)=-a+2$，$\because a＜0$，$\therefore -a＞0$，即$-a+2＞2＞0$，可得$7a＞8a-2$，说明$x=6$时点N在抛物线下方，此时线段MN与抛物线仅交于A点，符合题意。
②当$a＞0$时，抛物线开口向上，
$x=-1$处抛物线函数值小于点M纵坐标，要使线段MN与抛物线只有一个交点，需满足$x=6$处抛物线函数值≥点N纵坐标，即$7a≥8a-2$，解得$a≤2$，结合$a＞0$得$0＜a≤2$。
综上，a的取值范围为$a＜0$或$0＜a≤2$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=2$，点$A(-1,0)$，点$B(5,0)$；(2) $a＜0$ 或 $0＜a≤2$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与线段交点问题
【点评】
本题第一问为二次函数基础考点，难度较低；第二问需要结合开口方向分类讨论，通过分析端点的函数值大小判断交点情况，侧重对分类讨论思想和数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.6
（1）求抛物线对称轴可直接套用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；求与x轴交点A、B时，令$y=0$，解关于x的一元二次方程，再结合点A在点B左侧即可确定两点坐标。
（2）先明确线段MN的横坐标范围是$-1≤x≤6$，结合抛物线开口方向分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：$a＜0$时结合抛物线增减性和端点函数值判断交点个数；$a＞0$时通过比较$x=6$处抛物线的函数值与点N纵坐标的大小关系，列不等式求解即可。
【解析】
（1）对于抛物线$y=ax^2-4ax-5a(a≠0)$，
根据对称轴公式可得对称轴为：$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，即对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，则$ax^2-4ax-5a=0$，
$\because a≠0$，等式两边同除以a得：$x^2-4x-5=0$，
因式分解得$(x+1)(x-5)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
$\because$点A在点B左侧，$\therefore A(-1,0)$，$B(5,0)$。
（2）线段MN的横坐标取值范围为$-1≤x≤6$，
当$x=-1$时，抛物线的函数值$y=a×(-1)^2-4a×(-1)-5a=0$，点$M(-1,\frac{1}{2})$在x=-1处位于抛物线上方，分两种情况讨论：
①当$a＜0$时，抛物线开口向下，
当$x＞2$时，y随x的增大而减小，$x=5$时$y=0$，则$x=6$时抛物线的函数值$y=a×6^2-4a×6-5a=7a＜0$，
点N纵坐标为$8a-2$，作差比较：$7a-(8a-2)=-a+2$，$\because a＜0$，$\therefore -a＞0$，即$-a+2＞2＞0$，可得$7a＞8a-2$，说明$x=6$时点N在抛物线下方，此时线段MN与抛物线仅交于A点，符合题意。
②当$a＞0$时，抛物线开口向上，
$x=-1$处抛物线函数值小于点M纵坐标，要使线段MN与抛物线只有一个交点，需满足$x=6$处抛物线函数值≥点N纵坐标，即$7a≥8a-2$，解得$a≤2$，结合$a＞0$得$0＜a≤2$。
综上，a的取值范围为$a＜0$或$0＜a≤2$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=2$，点$A(-1,0)$，点$B(5,0)$；(2) $a＜0$ 或 $0＜a≤2$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与线段交点问题
【点评】
本题第一问为二次函数基础考点，难度较低；第二问需要结合开口方向分类讨论，通过分析端点的函数值大小判断交点情况，侧重对分类讨论思想和数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.6
13. 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容. 请认真阅读并完成相应任务.
任务:
(1) 直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容:
(2) 按照材料中的方法, 求抛物线 $ C: y=x^2+2x+3 $ 上的“阶梯1点”.
(3) 已知抛物线 $ C: y=x^2+x+c $ 上存在“阶梯2点”, 写出 $ c $ 的取值范围.
任务:
(1) 直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容:
(2,7)
.(2) 按照材料中的方法, 求抛物线 $ C: y=x^2+2x+3 $ 上的“阶梯1点”.
(3) 已知抛物线 $ C: y=x^2+x+c $ 上存在“阶梯2点”, 写出 $ c $ 的取值范围.
答案
13. (1) $(2,7)$. (2) $(-2,3)$和$(-1,2)$. (3) $c≤3$. 提示：设抛物线$y=x^2+x+c$上存在阶梯2点$P$，其坐标为$(x,y)$，则$y=2-x$. 由$2-x=x^2+x+c$，得$x^2+2x+c-2=0$. 由$\Delta=4-4×1×(c-2)≥0$，得$c≤3$.
解析
【分析】
(1) 已知x=2，结合“阶梯9点”的定义x+y=9，代入计算y的值即可得到对应坐标；
(2) 先根据“阶梯1点”的定义得到x+y=1，即y=1-x，将其代入抛物线解析式，得到关于x的一元二次方程，求解方程的根，再分别计算对应y的值即可得到点的坐标；
(3) 根据“阶梯2点”的定义得到y=2-x，代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，因为存在这样的点，说明方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式Δ≥0列不等式，求解不等式即可得到c的取值范围。
【解析】
(1) 当x=2时，由“阶梯9点”的定义x+y=9，可得y=9-2=7，因此空缺处的坐标为$(2,7)$。
(2) 设抛物线$C:y=x^2+2x+3$上的“阶梯1点”坐标为$(x,y)$，根据定义得$x+y=1$，即$y=1-x$。
将$y=1-x$代入抛物线解析式，得：
$1-x=x^2+2x+3$
整理得$x^2+3x+2=0$
因式分解得$(x+2)(x+1)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-1$
当$x=-2$时，$y=1-(-2)=3$；当$x=-1$时，$y=1-(-1)=2$
因此“阶梯1点”为$(-2,3)$和$(-1,2)$。
(3) 设抛物线$C:y=x^2+x+c$上的“阶梯2点”坐标为$(x,y)$，根据定义得$x+y=2$，即$y=2-x$。
将$y=2-x$代入抛物线解析式，得：
$2-x=x^2+x+c$
整理得$x^2+2x+(c-2)=0$
∵抛物线上存在“阶梯2点”，
∴该一元二次方程有实数根
∴判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(c-2)≥0$
计算得$4-4(c-2)≥0$
两边同除以4得$1-(c-2)≥0$
解得$c≤3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,7)}$；
(2) $\boldsymbol{(-2,3)}$和$\boldsymbol{(-1,2)}$；
(3) $\boldsymbol{c≤3}$。
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，根的判别式应用
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“阶梯n点”的定义，将新定义问题转化为已学的方程、不等式问题求解，能有效考查知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知x=2，结合“阶梯9点”的定义x+y=9，代入计算y的值即可得到对应坐标；
(2) 先根据“阶梯1点”的定义得到x+y=1，即y=1-x，将其代入抛物线解析式，得到关于x的一元二次方程，求解方程的根，再分别计算对应y的值即可得到点的坐标；
(3) 根据“阶梯2点”的定义得到y=2-x，代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，因为存在这样的点，说明方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式Δ≥0列不等式，求解不等式即可得到c的取值范围。
【解析】
(1) 当x=2时，由“阶梯9点”的定义x+y=9，可得y=9-2=7，因此空缺处的坐标为$(2,7)$。
(2) 设抛物线$C:y=x^2+2x+3$上的“阶梯1点”坐标为$(x,y)$，根据定义得$x+y=1$，即$y=1-x$。
将$y=1-x$代入抛物线解析式，得：
$1-x=x^2+2x+3$
整理得$x^2+3x+2=0$
因式分解得$(x+2)(x+1)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-1$
当$x=-2$时，$y=1-(-2)=3$；当$x=-1$时，$y=1-(-1)=2$
因此“阶梯1点”为$(-2,3)$和$(-1,2)$。
(3) 设抛物线$C:y=x^2+x+c$上的“阶梯2点”坐标为$(x,y)$，根据定义得$x+y=2$，即$y=2-x$。
将$y=2-x$代入抛物线解析式，得：
$2-x=x^2+x+c$
整理得$x^2+2x+(c-2)=0$
∵抛物线上存在“阶梯2点”，
∴该一元二次方程有实数根
∴判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(c-2)≥0$
计算得$4-4(c-2)≥0$
两边同除以4得$1-(c-2)≥0$
解得$c≤3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,7)}$；
(2) $\boldsymbol{(-2,3)}$和$\boldsymbol{(-1,2)}$；
(3) $\boldsymbol{c≤3}$。
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，根的判别式应用
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“阶梯n点”的定义，将新定义问题转化为已学的方程、不等式问题求解，能有效考查知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
