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13. 已知抛物线$y=x^2 -2x +a$的顶点A在直线$y=-x+3$上，并设该直线与x轴的交点为B.
（1）求点B的坐标与a的值.
（2）求$△ AOB$的面积.
（1）求点B的坐标与a的值.
（2）求$△ AOB$的面积.
答案
13. (1) $(3,0)$；3. (2) 3.
解析
【分析】
先解决第（1）问：①求点B坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，令y=0代入直线解析式即可求出B的横坐标；②求a的值：先将抛物线解析式配方得到顶点A的坐标，再将A点坐标代入直线解析式，解方程即可求出a的值。再解决第（2）问：△AOB的边OB在x轴上，底为OB的长度，高为顶点A的纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
（1）①求点B的坐标：
直线$y=-x+3$与x轴交点处$y=0$，令$y=0$，得：
$0=-x+3$，解得$x=3$，
$\therefore$点B的坐标为$(3,0)$。
②求a的值：
对抛物线$y=x^2-2x+a$配方得：
$y=x^2-2x+1+a-1=(x-1)^2+(a-1)$，
$\therefore$抛物线顶点A的坐标为$(1,a-1)$，
$\because$点A在直线$y=-x+3$上，代入坐标得：
$a-1=-1+3$，
解得$a=3$。
（2）求$△ AOB$的面积：
由$a=3$得顶点A的坐标为$(1,2)$，
O为坐标原点，OB的长度为3，OB边上的高为A点的纵坐标2，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB × 高=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
（1）点B的坐标为$(3,0)$，$a=3$；（2）$△ AOB$的面积为3
【知识点】
二次函数顶点坐标求法，一次函数图象上点的坐标特征，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，核心考点是函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，只要熟练掌握配方法求二次函数顶点、坐标系内三角形面积的计算方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
先解决第（1）问：①求点B坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，令y=0代入直线解析式即可求出B的横坐标；②求a的值：先将抛物线解析式配方得到顶点A的坐标，再将A点坐标代入直线解析式，解方程即可求出a的值。再解决第（2）问：△AOB的边OB在x轴上，底为OB的长度，高为顶点A的纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
（1）①求点B的坐标：
直线$y=-x+3$与x轴交点处$y=0$，令$y=0$，得：
$0=-x+3$，解得$x=3$，
$\therefore$点B的坐标为$(3,0)$。
②求a的值：
对抛物线$y=x^2-2x+a$配方得：
$y=x^2-2x+1+a-1=(x-1)^2+(a-1)$，
$\therefore$抛物线顶点A的坐标为$(1,a-1)$，
$\because$点A在直线$y=-x+3$上，代入坐标得：
$a-1=-1+3$，
解得$a=3$。
（2）求$△ AOB$的面积：
由$a=3$得顶点A的坐标为$(1,2)$，
O为坐标原点，OB的长度为3，OB边上的高为A点的纵坐标2，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB × 高=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
（1）点B的坐标为$(3,0)$，$a=3$；（2）$△ AOB$的面积为3
【知识点】
二次函数顶点坐标求法，一次函数图象上点的坐标特征，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，核心考点是函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，只要熟练掌握配方法求二次函数顶点、坐标系内三角形面积的计算方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
14 若两个二次函数图像的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数互为“对称二次函数”.
(1) 写出二次函数 $y=2(x-2)^2+1$ 的对称二次函数.
(2) 已知关于 $x$ 的二次函数 $y_1=x^2-3x+1$ 和 $y_2=ax^2+bx+c$ 互为对称二次函数，求函数 $y_2$ 的表达式，并求出当 $-3≤ x≤3$ 时，$y_2$ 的最大值.
(1) 写出二次函数 $y=2(x-2)^2+1$ 的对称二次函数.
(2) 已知关于 $x$ 的二次函数 $y_1=x^2-3x+1$ 和 $y_2=ax^2+bx+c$ 互为对称二次函数，求函数 $y_2$ 的表达式，并求出当 $-3≤ x≤3$ 时，$y_2$ 的最大值.
答案
14. (1) $y=-2(x-2)^2+1$.
(2) $y_1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$. 提示：因为$y_2$与$y_1$互为对称二次函数，所以$y_2=-(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$. 因此，当$x=\frac{3}{2}$时，$y_2$取到最大值$-\frac{5}{4}$.
(2) $y_1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$. 提示：因为$y_2$与$y_1$互为对称二次函数，所以$y_2=-(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$. 因此，当$x=\frac{3}{2}$时，$y_2$取到最大值$-\frac{5}{4}$.
解析
【分析】
首先明确“对称二次函数”的定义：两个二次函数顶点相同、开口大小相同、开口方向相反，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$互为相反数，$h$、$k$完全相同。(1)直接根据定义，将原函数的二次项系数变为相反数，顶点坐标不变即可写出对称二次函数；(2)先将$y_1$用配方法转化为顶点式，得到其顶点坐标和二次项系数，再根据定义写出$y_2$的表达式，最后结合$y_2$的开口方向和给定的$x$取值范围判断最大值位置：因为$y_2$开口向下，顶点横坐标在给定区间内，所以顶点处的函数值就是最大值。
【解析】
(1) 原二次函数$y=2(x-2)^2+1$的二次项系数为2，顶点坐标为$(2,1)$，根据对称二次函数的定义，其对称二次函数的二次项系数为$-2$，顶点坐标不变，可得表达式为$y=-2(x-2)^2+1$。
(2) 第一步，将$y_1=x^2-3x+1$配方为顶点式：
$y_1=x^2-3x+(\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2+1=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{5}{4}$，
可知$y_1$的顶点坐标为$(\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{4})$，二次项系数为1。
因为$y_2$与$y_1$互为对称二次函数，所以$y_2$的二次项系数为$-1$，顶点坐标与$y_1$相同，因此$y_2$的表达式为：
$y_2=-(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{5}{4}$。
求$-3≤ x≤3$时$y_2$的最大值：
$y_2$的二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数在顶点处取得最大值。
又因为顶点横坐标$x=\dfrac{3}{2}$在区间$[-3,3]$内，因此当$x=\dfrac{3}{2}$时，$y_2$取最大值$-\dfrac{5}{4}$。
【答案】
(1) $y=-2(x-2)^2+1$
(2) $y_2=-(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{5}{4}$，最大值为$-\dfrac{5}{4}$
【知识点】
二次函数顶点式，配方法，二次函数最值
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的内涵，结合二次函数顶点式的性质求解，求给定区间内二次函数最值时，需先判断顶点是否在区间范围内。
【难度系数】
0.7
首先明确“对称二次函数”的定义：两个二次函数顶点相同、开口大小相同、开口方向相反，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$互为相反数，$h$、$k$完全相同。(1)直接根据定义，将原函数的二次项系数变为相反数，顶点坐标不变即可写出对称二次函数；(2)先将$y_1$用配方法转化为顶点式，得到其顶点坐标和二次项系数，再根据定义写出$y_2$的表达式，最后结合$y_2$的开口方向和给定的$x$取值范围判断最大值位置：因为$y_2$开口向下，顶点横坐标在给定区间内，所以顶点处的函数值就是最大值。
【解析】
(1) 原二次函数$y=2(x-2)^2+1$的二次项系数为2，顶点坐标为$(2,1)$，根据对称二次函数的定义，其对称二次函数的二次项系数为$-2$，顶点坐标不变，可得表达式为$y=-2(x-2)^2+1$。
(2) 第一步，将$y_1=x^2-3x+1$配方为顶点式：
$y_1=x^2-3x+(\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2+1=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{5}{4}$，
可知$y_1$的顶点坐标为$(\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{4})$，二次项系数为1。
因为$y_2$与$y_1$互为对称二次函数，所以$y_2$的二次项系数为$-1$，顶点坐标与$y_1$相同，因此$y_2$的表达式为：
$y_2=-(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{5}{4}$。
求$-3≤ x≤3$时$y_2$的最大值：
$y_2$的二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数在顶点处取得最大值。
又因为顶点横坐标$x=\dfrac{3}{2}$在区间$[-3,3]$内，因此当$x=\dfrac{3}{2}$时，$y_2$取最大值$-\dfrac{5}{4}$。
【答案】
(1) $y=-2(x-2)^2+1$
(2) $y_2=-(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{5}{4}$，最大值为$-\dfrac{5}{4}$
【知识点】
二次函数顶点式，配方法，二次函数最值
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的内涵，结合二次函数顶点式的性质求解，求给定区间内二次函数最值时，需先判断顶点是否在区间范围内。
【难度系数】
0.7
