1. 下列函数中一定是二次函数的是 （）

A.$y=2x-1$；
B.$y=ax^2+bx+c$；
C.$y=2x^2-1$；
D.$y=(x-5)^2 -x^2$。

1. C.

【分析】
要判断一个函数是不是二次函数，首先要明确二次函数的判定核心要点：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。解题时按照这三个标准逐一排查每个选项即可：先看每个选项的形式，不符合的直接排除，遇到需要化简的先化简表达式再判断。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
我们逐个分析选项：
选项A：$y=2x-1$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数要求，排除；
选项B：$y=ax^2+bx+c$没有注明$a≠0$，若$a=0$，函数最高次数不足2，不是二次函数，因此不一定是二次函数，排除；
选项C：$y=2x^2-1$满足$a=2≠0$，$x$最高次数为2，且是整式函数，完全符合二次函数定义；
选项D：先化简表达式：$y=(x-5)^2 -x^2 = x^2-10x+25 -x^2 = -10x+25$，化简后$x$最高次数为1，是一次函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题时要格外注意两个易错点：一是形如$y=ax^2+bx+c$的表达式必须满足$a≠0$才是二次函数，二是含有完全平方、平方差的表达式要先化简，再判断最高次数，避免被表面形式误导。
【难度系数】
0.8

2. 下列关于抛物线的性质的说法中正确的是 （）

A.抛物线 $ y=ax^2 $ 的开口向下；
B.抛物线 $ y=2x^2+3 $ 的对称轴为直线 $ x=2 $；
C.抛物线 $ y=3(x-1)^2 $ 在对称轴左侧，即当 $ x＜1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
D.抛物线 $ y=2(x-1)^2+3 $ 的顶点坐标为 $ (-1,3) $。

2. C.

【分析】
本题考查抛物线（二次函数）的基础性质，解题思路为：先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；当$a＞0$时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大，$a＜0$时增减性相反。再逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：抛物线$y=ax^2$的开口方向由$a$的符号决定，当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，题中未给出$a$的正负，无法判断开口方向，故A错误；
B选项：抛物线$y=2x^2+3$可看作$y=2(x-0)^2+3$，对应顶点式可知对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），不是直线$x=2$，故B错误；
C选项：抛物线$y=3(x-1)^2$中$a=3＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而减小，故C正确；
D选项：抛物线$y=2(x-1)^2+3$为顶点式，对应$h=1,k=3$，顶点坐标为$(1,3)$，不是$(-1,3)$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数基本性质，二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题，核心考查抛物线顶点式下各项参数对应的几何意义，只要熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规则，避开顶点坐标的符号易错点即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

3. 若二次函数$y=(x+m)^2+n$的图像如图所示，则一次函数$y=mx+n$的图像经过（）

A.第一、二、三象限；
B.第一、二、四象限；
C.第一、三、四象限；
D.第二、三、四象限.

3. D.

【分析】
解题分三步思考：第一步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，将题中二次函数变形为顶点标准形式，确定其顶点坐标；第二步，观察图像可知抛物线顶点在第四象限，根据第四象限点横正、纵负的特征，列不等式求出$m$、$n$的符号；第三步，结合一次函数斜率$m$、截距$n$的符号，判断一次函数经过的象限。
【解析】
解：二次函数$y=(x+m)^2+n$可改写为$y=[x-(-m)]^2+n$，因此它的顶点坐标为$\boldsymbol{(-m,n)}$。
由图像可知，该二次函数的顶点在第四象限，第四象限内的点横坐标大于0、纵坐标小于0，因此可得：
$\begin{cases}-m＞0\\n＜0\end{cases}$
解得$\boldsymbol{m＜0}$，$\boldsymbol{n＜0}$。
对于一次函数$y=mx+n$：
1. 斜率$m＜0$，直线呈下降趋势，必然经过第二、四象限；
2. 截距$n＜0$，直线与$y$轴交于负半轴，因此直线还经过第三象限。
综上，一次函数$y=mx+n$的图像经过第二、三、四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图像与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心是通过二次函数顶点位置推导参数符号，再判断一次函数的图像特征，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 当$m=$时，$y=(m-1)x^{|m|+1}$是二次函数。

4. -1.

【分析】
要确定m的值，需依据二次函数的定义列条件求解：二次函数需满足两个核心要求，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，我们分别根据这两个要求列出关于m的方程和不等式，求解后取公共解即可得到m的取值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量x的次数为2：$|m| + 1 = 2$，
解这个方程：移项得$|m|=1$，因此$m=1$或$m=-1$；
2. 二次项系数不为0：$m - 1 ≠ 0$，
解得$m ≠ 1$。
结合上述两个结果，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的定义，绝对值的性质
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，直接得到m=±1的错误结果，解题时需注意同时满足次数和系数两个判定条件。
【难度系数】
0.7

5. 抛物线$y=x^2-2x+7$的开口向，对称轴是，顶点坐标是；当自变量$x=$时，相应的二次函数取到最值；当自变量$x$的取值范围是时，$y$随$x$的增大而增大。

5. 上；直线$x=1$；$(1,6)$；1；小；6；$x＞1$.

【分析】
要解决这道题，我们围绕二次函数的基本性质逐步推导即可：首先根据二次项系数的正负判断开口方向；再用对称轴公式或配方法求出对称轴，代入对称轴对应的x值计算出顶点纵坐标，得到顶点坐标；结合开口方向判断最值类型和最值大小；最后根据开口方向和对称轴确定y随x增大而增大的区间。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-2x+7$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=7$：
1. 开口方向：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上；
2. 对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-2}{2×1}=1$，即对称轴为直线$x=1$；
3. 顶点坐标：把$x=1$代入函数解析式，得$y=1^2-2×1+7=6$，因此顶点坐标为$(1,6)$；
4. 最值：因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，在顶点处取得，即当$x=1$时，$y$取最小值6；
5. 增减性：开口向上的抛物线，对称轴右侧y随x的增大而增大，即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
上；直线$x=1$；$(1,6)$；1；小；6；$x＞1$
【知识点】
二次函数基本性质；二次函数顶点与对称轴求解；二次函数增减性判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础常规题，主要考察二次函数核心性质的直接应用，熟记相关公式或掌握配方法转化顶点式的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.85

6. 将抛物线$y=3x^2+6x-3$向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线的表达式为。

6. $y=3(x+3)^2-5$.

【分析】
解决抛物线平移求解析式的问题，核心是掌握抛物线平移时二次项系数不变，平移规则为“左加右减自变量，上加下减常数项”。解题时可先将给定的二次函数一般式配方转化为顶点式，确定原抛物线的顶点，再结合平移规则调整解析式，即可得到平移后的抛物线表达式，能有效降低符号出错的概率。
【解析】
第一步：将原抛物线化为顶点式
对$y=3x^2+6x-3$进行配方：
先提取二次项系数得：$y=3(x^2+2x)-3$
将括号内配成完全平方：$x^2+2x=(x+1)^2-1$，代入后化简：
$y=3[(x+1)^2-1]-3=3(x+1)^2-3-3=3(x+1)^2-6$
第二步：根据平移规则调整解析式
向左平移2个单位，即将解析式中的$x$替换为$x+2$；向上平移1个单位，即在解析式整体加1，代入得：
$y=3[(x+2)+1]^2-6+1$
化简后得：$y=3(x+3)^2-5$
【答案】
$y=3(x+3)^2-5$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是准确理解平移规则，注意“左加右减”是针对自变量$x$单独进行的操作，避免直接对顶点横坐标加减时出现符号混淆。
【难度系数】
0.7

7. 若抛物线$y=(1-a)x^2+a-1$的最高点为$(0,3)$，则$a=$.

7. 4.

【分析】
解题时先从已知条件“抛物线有最高点”入手：首先说明该函数是开口向下的二次函数，因此二次项系数必须小于0；再观察抛物线解析式，发现没有一次项，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,常数项)，已知最高点为(0,3)，即顶点纵坐标等于3，据此列方程求解后，再验证二次项系数是否符合开口向下的要求即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 函数图象是抛物线且存在最高点
∴ 该函数为开口向下的二次函数，二次项系数满足$1-a＜0$，即$a＞1$
又
∵ 抛物线解析式为$y=(1-a)x^2+a-1$，不含一次项
∴ 其顶点坐标为$(0,a-1)$
已知最高点为$(0,3)$，因此顶点纵坐标满足：
$a-1=3$
解得$a=4$
代入验证：$1-a=1-4=-3＜0$，符合开口向下的要求，故$a=4$成立。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点坐标；二次函数开口方向
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的基本图象特征，解题时需抓住“最高点对应开口向下、顶点纵坐标等于解析式的常数项”两个关键点，求解后注意验证二次项系数的符号是否符合题意，避免出现增根。
【难度系数】
0.8

8. 抛物线$y=a(x-1)(x+3)$(其中$a≠0$)的对称轴是直线.

8. $x=-1$.

【分析】
观察抛物线解析式为交点式形式，可通过两种思路解题：思路1：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，先求出抛物线与x轴的两个交点坐标，计算两个交点横坐标的平均值即可得到对称轴，该方法计算更简便；思路2：将交点式展开为一般式，利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。
【解析】
方法1（利用交点式性质）：
对于交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$），抛物线与x轴的交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，两点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。
本题中$x_1=1$，$x_2=-3$，代入得：
$x=\frac{1+(-3)}{2}=-1$。
方法2（利用一般式对称轴公式）：
将解析式展开为一般式：
$y=a(x-1)(x+3)=ax^2+2ax-3a$（$a≠0$）
对于一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，此处$b=2a$，代入得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1. 二次函数交点式 2. 抛物线对称轴计算
【点评】
本题为基础题型，考查二次函数不同形式下对称轴的计算方法，利用交点式的交点横坐标求中点的方法解题效率更高，熟练掌握二次函数各类解析式的性质可简化计算。
【难度系数】
0.85

9. 已知当$x≥2$时，二次函数$y=(x-m)^2 + 3$的值随$x$的增大而增大，则$m$的取值范围是。

9. $m≤2$.

【分析】
首先明确该二次函数的开口方向：二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，开口向上的抛物线在对称轴右侧的部分，y随x的增大而增大。接下来找到该抛物线的对称轴为直线x=m，题目要求x≥2时y随x增大而增大，说明x≥2的区间必须全部在对称轴右侧（包括对称轴本身），因此对称轴的位置应在x=2的左侧或与x=2重合，据此即可求出m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2 + 3$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=m$，
∴ 当$x≥m$时，$y$的值随$x$的增大而增大，
又
∵ 题目要求当$x≥2$时，$y$的值随$x$的增大而增大，
∴ 对称轴$x=m$需满足$m≤2$，保证$x≥2$的区间在对称轴右侧。
【答案】
$m≤2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题主要考查二次函数增减性的应用，解题的关键是明确开口向上的抛物线，在对称轴右侧y随x的增大而增大，结合给定的自变量取值范围确定对称轴的位置即可，解题时需注意不要遗漏m=2的情况。
【难度系数】
0.8