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10 如果平移抛物线$l_1: y=x^2+2x+4$可以与抛物线$l_2: y=x^2+4x+2$重合，那么平移的距离至少是________。
答案
10. $\sqrt{26}$. 提示：抛物线$l_1$的顶点坐标是$(-1,3)$，抛物线$l_2$的顶点坐标是$(-2,-2)$. 两顶点之间距离就是最小的平移距离.
解析
【分析】
要找到两个抛物线重合的最小平移距离，首先需明确抛物线平移的本质：抛物线平移仅改变位置，形状、开口方向均不变，因此只需将其中一个抛物线的顶点平移到另一个抛物线的顶点位置，即可使两抛物线重合，此时的平移距离就是两顶点之间的距离，也就是最小平移距离。解题时先将两个抛物线的一般式配方为顶点式，求出各自顶点坐标，再用两点间距离公式计算顶点距离即可。
【解析】
首先将两个抛物线化为顶点式，求顶点坐标：
对于抛物线$l_1: y=x^2+2x+4$，配方得：
$y=x^2+2x+1+3=(x+1)^2+3$，因此$l_1$的顶点坐标为$(-1, 3)$；
对于抛物线$l_2: y=x^2+4x+2$，配方得：
$y=x^2+4x+4-2=(x+2)^2-2$，因此$l_2$的顶点坐标为$(-2, -2)$。
根据两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入两个顶点坐标计算：
$\Delta x = -1 - (-2) = 1$，$\Delta y = 3 - (-2) = 5$
最小平移距离$d = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
抛物线平移性质；二次函数顶点式；两点间距离公式
【点评】
本题解题的核心是抓住抛物线平移的本质是顶点的平移，将平移距离问题转化为两点距离问题，需要熟练掌握二次函数配方求顶点的方法，以及两点间距离公式的应用。
【难度系数】
0.7
要找到两个抛物线重合的最小平移距离，首先需明确抛物线平移的本质：抛物线平移仅改变位置，形状、开口方向均不变，因此只需将其中一个抛物线的顶点平移到另一个抛物线的顶点位置，即可使两抛物线重合，此时的平移距离就是两顶点之间的距离，也就是最小平移距离。解题时先将两个抛物线的一般式配方为顶点式，求出各自顶点坐标，再用两点间距离公式计算顶点距离即可。
【解析】
首先将两个抛物线化为顶点式，求顶点坐标：
对于抛物线$l_1: y=x^2+2x+4$，配方得：
$y=x^2+2x+1+3=(x+1)^2+3$，因此$l_1$的顶点坐标为$(-1, 3)$；
对于抛物线$l_2: y=x^2+4x+2$，配方得：
$y=x^2+4x+4-2=(x+2)^2-2$，因此$l_2$的顶点坐标为$(-2, -2)$。
根据两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入两个顶点坐标计算：
$\Delta x = -1 - (-2) = 1$，$\Delta y = 3 - (-2) = 5$
最小平移距离$d = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
抛物线平移性质；二次函数顶点式；两点间距离公式
【点评】
本题解题的核心是抓住抛物线平移的本质是顶点的平移，将平移距离问题转化为两点距离问题，需要熟练掌握二次函数配方求顶点的方法，以及两点间距离公式的应用。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，矩形ABCD是一个要建的养殖场的平面图，其长边DC代表的一面靠墙(墙长45 m)，边AB代表的一面上开有一道1 m宽的门. 已知围成养殖场的木板总长为75 m，设边AD长为x m，养殖场面积为y m²，求y关于x的函数表达式及x的取值范围.
11. 如图，矩形ABCD是一个要建的养殖场的平面图，其长边DC代表的一面靠墙(墙长45 m)，边AB代表的一面上开有一道1 m宽的门. 已知围成养殖场的木板总长为75 m，设边AD长为x m，养殖场面积为y m²，求y关于x的函数表达式及x的取值范围.
答案
11. $y=-2x^2+76x$；$x$的取值范围是$\frac{31}{2}≤x＜\frac{76}{3}$.
解析
【分析】
解题时先结合矩形性质和题目约束梳理木板组成：DC靠墙无需木板，AB上1m宽的门也无需木板，因此木板总长等于AD、BC的长度和，加上AB减去门宽的长度。第一步用含x的式子表示出AB的长度，再根据矩形面积公式推导函数表达式；第二步结合墙长限制、DC为矩形长边、边长为正的实际要求列不等式，求解得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AD=x m
∴BC=AD=x m，AB=DC
由题意得：围木板的总长度满足AD+BC+(AB-1)=75
将AD=BC=x代入得：
$x+x+AB-1=75$
解得$AB=76-2x$
根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可得：
$y=x(76-2x)=-2x^2+76x$
再求x的取值范围：
1. DC=AB≤墙长45m，即$76-2x≤45$，解得$x≥\frac{31}{2}$
2. DC是矩形长边，因此DC＞AD，即$76-2x＞x$，解得$x＜\frac{76}{3}$
结合边长为正的隐含条件，最终x的取值范围为$\frac{31}{2}≤x＜\frac{76}{3}$
【答案】
$y=-2x^2+76x$；x的取值范围是$\frac{31}{2}≤x＜\frac{76}{3}$
【知识点】
二次函数实际应用，矩形面积计算，不等式求解
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题时要注意挖掘题目中的隐含约束条件，比如靠墙边长不超过墙长、矩形长边的长度要求等，避免自变量取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形性质和题目约束梳理木板组成：DC靠墙无需木板，AB上1m宽的门也无需木板，因此木板总长等于AD、BC的长度和，加上AB减去门宽的长度。第一步用含x的式子表示出AB的长度，再根据矩形面积公式推导函数表达式；第二步结合墙长限制、DC为矩形长边、边长为正的实际要求列不等式，求解得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AD=x m
∴BC=AD=x m，AB=DC
由题意得：围木板的总长度满足AD+BC+(AB-1)=75
将AD=BC=x代入得：
$x+x+AB-1=75$
解得$AB=76-2x$
根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可得：
$y=x(76-2x)=-2x^2+76x$
再求x的取值范围：
1. DC=AB≤墙长45m，即$76-2x≤45$，解得$x≥\frac{31}{2}$
2. DC是矩形长边，因此DC＞AD，即$76-2x＞x$，解得$x＜\frac{76}{3}$
结合边长为正的隐含条件，最终x的取值范围为$\frac{31}{2}≤x＜\frac{76}{3}$
【答案】
$y=-2x^2+76x$；x的取值范围是$\frac{31}{2}≤x＜\frac{76}{3}$
【知识点】
二次函数实际应用，矩形面积计算，不等式求解
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题时要注意挖掘题目中的隐含约束条件，比如靠墙边长不超过墙长、矩形长边的长度要求等，避免自变量取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
12.已知二次函数$y=(x-1)^2+2$，求当$-2≤x≤2$时，$y$的取值范围. 小明同学的解答如下：
解：当$x=-2$时，$y=(-2-1)^2+2=11$.
当$x=2$时，$y=(2-1)^2+2=3$.
因此，函数$y$的取值范围为$3≤y≤11$.
小明的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程.
解：当$x=-2$时，$y=(-2-1)^2+2=11$.
当$x=2$时，$y=(2-1)^2+2=3$.
因此，函数$y$的取值范围为$3≤y≤11$.
小明的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程.
答案
12. 小明的解答不正确. 由题意知，二次函数$y=(x-1)^2+2$的图像开口向上，对称轴为直线$x=1$. 因为$-2≤x≤2$，所以当$x=1$时，$y$取得最小值，此时$y=2$；当$x=-2$时，$y$取得最大值，此时$y=11$. 因此当$-2≤x≤2$时，函数$y$的取值范围为$2≤y≤11$.
解析
【分析】
要判断小明的解答是否正确，需结合二次函数的性质分析指定区间内的最值：首先该二次函数为顶点式，a=1＞0，开口向上，对称轴为直线x=1，顶点处是函数的最小值点。首先判断对称轴是否落在给定区间$-2≤x≤2$内，显然x=1在该区间内，因此函数的最小值不能直接取端点的函数值，应该是顶点的y值；再比较两个区间端点到对称轴的距离，开口向上时离对称轴越远函数值越大，即可找到最大值。小明仅计算了两个端点的函数值，未考虑区间内的顶点最小值，因此解答错误。
【解析】
小明的解答错误，打×。
解：二次函数$y=(x-1)^2+2$的二次项系数$a=1＞0$，因此图像开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∵对称轴$x=1$在区间$-2≤x≤2$范围内，
∴当$x=1$时，$y$取得最小值，此时$y=(1-1)^2+2=2$；
再比较区间两端点到对称轴的距离：$|-2-1|=3$，$|2-1|=1$，$3＞1$，因此当$x=-2$时，$y$取得最大值，此时$y=(-2-1)^2+2=11$。
综上，当$-2≤x≤2$时，$y$的取值范围为$2≤y≤11$。
【答案】
×，当$-2≤x≤2$时，$y$的取值范围为$\boldsymbol{2≤y≤11}$
【知识点】
二次函数的性质；定区间二次函数最值；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数取值范围的常见易错题，易错点是直接代入区间端点计算最值，忽略对称轴是否在区间内的判断。求解此类问题需先明确二次函数的开口方向、对称轴，再结合给定区间的位置判断最值对应的自变量取值，进而得到正确的取值范围。
【难度系数】
0.6
要判断小明的解答是否正确，需结合二次函数的性质分析指定区间内的最值：首先该二次函数为顶点式，a=1＞0，开口向上，对称轴为直线x=1，顶点处是函数的最小值点。首先判断对称轴是否落在给定区间$-2≤x≤2$内，显然x=1在该区间内，因此函数的最小值不能直接取端点的函数值，应该是顶点的y值；再比较两个区间端点到对称轴的距离，开口向上时离对称轴越远函数值越大，即可找到最大值。小明仅计算了两个端点的函数值，未考虑区间内的顶点最小值，因此解答错误。
【解析】
小明的解答错误，打×。
解：二次函数$y=(x-1)^2+2$的二次项系数$a=1＞0$，因此图像开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∵对称轴$x=1$在区间$-2≤x≤2$范围内，
∴当$x=1$时，$y$取得最小值，此时$y=(1-1)^2+2=2$；
再比较区间两端点到对称轴的距离：$|-2-1|=3$，$|2-1|=1$，$3＞1$，因此当$x=-2$时，$y$取得最大值，此时$y=(-2-1)^2+2=11$。
综上，当$-2≤x≤2$时，$y$的取值范围为$2≤y≤11$。
【答案】
×，当$-2≤x≤2$时，$y$的取值范围为$\boldsymbol{2≤y≤11}$
【知识点】
二次函数的性质；定区间二次函数最值；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数取值范围的常见易错题，易错点是直接代入区间端点计算最值，忽略对称轴是否在区间内的判断。求解此类问题需先明确二次函数的开口方向、对称轴，再结合给定区间的位置判断最值对应的自变量取值，进而得到正确的取值范围。
【难度系数】
0.6
