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13. 已知抛物线 $ y = ax^2 + 2ax -1 $.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）假设该抛物线的顶点在 $ x $ 轴上，求抛物线的表达式.
（3）设 $ a＞0 $，点 $ M(m,y_1) $ 和 $ N(2,y_2) $ 在该抛物线上. 已知 $ y_1＞y_2 $，请直接写出 $ m $ 的取值范围.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）假设该抛物线的顶点在 $ x $ 轴上，求抛物线的表达式.
（3）设 $ a＞0 $，点 $ M(m,y_1) $ 和 $ N(2,y_2) $ 在该抛物线上. 已知 $ y_1＞y_2 $，请直接写出 $ m $ 的取值范围.
答案
13.（1）直线$x=-1$. （2）$y=-x^2-2x-1$. （3）$m＞2$或$m＜-4$.
解析
【分析】
（1）求抛物线对称轴可直接利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，对应找到解析式中$a$、$b$的值代入计算即可，也可通过配方的方法求得。
（2）抛物线顶点在$x$轴上，说明顶点纵坐标为0，可利用顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=0$求解参数$a$，也可通过判别式$\Delta=0$（顶点在x轴时抛物线与x轴只有1个交点）计算$a$的值，再代入原式得到表达式。
（3）当$a＞0$时抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。先算出点$N$到对称轴的距离，再根据$y_1＞y_2$得到点$M$到对称轴的距离大于点$N$到对称轴的距离，列绝对值不等式求解即可得到$m$的范围。
【解析】
（1）对于抛物线$y=ax^2+2ax-1$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2a$，
根据对称轴公式：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
（2）
∵抛物线的顶点在$x$轴上，
∴顶点纵坐标为0，代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=0$，
其中$c=-1$，$b=2a$，且$a≠0$，
∴分子$4ac-b^2=0$，即$4a×(-1)-(2a)^2=0$，
整理得：$-4a-4a^2=0$，提取公因式得$-4a(1+a)=0$，
∵$a≠0$，
∴$1+a=0$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入原抛物线解析式，得$y=-x^2+2×(-1)x-1=-x^2-2x-1$。
（3）当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
点$N(2,y_2)$到对称轴的距离为：$2-(-1)=3$，
∵$y_1＞y_2$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，
∴点$M(m,y_1)$到对称轴的距离大于3，即$|m-(-1)|＞3$，
解不等式：$m+1＞3$或$m+1＜-3$，
解得$m＞2$或$m＜-4$。
【答案】
（1）直线$x=-1$；（2）$y=-x^2-2x-1$；（3）$m＞2$或$m＜-4$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点性质；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设置问题，难度逐层递进，既考查了基础公式的应用，也要求学生能结合图象性质分析函数值与自变量的关系，需要熟练掌握二次函数的图象特征，灵活运用数形结合思想解题。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线对称轴可直接利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，对应找到解析式中$a$、$b$的值代入计算即可，也可通过配方的方法求得。
（2）抛物线顶点在$x$轴上，说明顶点纵坐标为0，可利用顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=0$求解参数$a$，也可通过判别式$\Delta=0$（顶点在x轴时抛物线与x轴只有1个交点）计算$a$的值，再代入原式得到表达式。
（3）当$a＞0$时抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。先算出点$N$到对称轴的距离，再根据$y_1＞y_2$得到点$M$到对称轴的距离大于点$N$到对称轴的距离，列绝对值不等式求解即可得到$m$的范围。
【解析】
（1）对于抛物线$y=ax^2+2ax-1$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2a$，
根据对称轴公式：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
（2）
∵抛物线的顶点在$x$轴上，
∴顶点纵坐标为0，代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=0$，
其中$c=-1$，$b=2a$，且$a≠0$，
∴分子$4ac-b^2=0$，即$4a×(-1)-(2a)^2=0$，
整理得：$-4a-4a^2=0$，提取公因式得$-4a(1+a)=0$，
∵$a≠0$，
∴$1+a=0$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入原抛物线解析式，得$y=-x^2+2×(-1)x-1=-x^2-2x-1$。
（3）当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
点$N(2,y_2)$到对称轴的距离为：$2-(-1)=3$，
∵$y_1＞y_2$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，
∴点$M(m,y_1)$到对称轴的距离大于3，即$|m-(-1)|＞3$，
解不等式：$m+1＞3$或$m+1＜-3$，
解得$m＞2$或$m＜-4$。
【答案】
（1）直线$x=-1$；（2）$y=-x^2-2x-1$；（3）$m＞2$或$m＜-4$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点性质；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设置问题，难度逐层递进，既考查了基础公式的应用，也要求学生能结合图象性质分析函数值与自变量的关系，需要熟练掌握二次函数的图象特征，灵活运用数形结合思想解题。
【难度系数】
0.7
14 在平面直角坐标系中，$C$ 是抛物线 $y=-x^2+2mx - m^2 +4m$ 的顶点.
（1）求点 $C$ 的坐标.（用含有 $m$ 的代数式表示）
（2）假设 $m=5$，且对于该抛物线上的两点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$，当 $t≤ x_1≤ t+1$，$x_2≥7$ 时，有 $y_1≥ y_2$，求 $t$ 的取值范围.
（1）求点 $C$ 的坐标.（用含有 $m$ 的代数式表示）
（2）假设 $m=5$，且对于该抛物线上的两点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$，当 $t≤ x_1≤ t+1$，$x_2≥7$ 时，有 $y_1≥ y_2$，求 $t$ 的取值范围.
答案
14.（1）$(m,4m)$.
（2）$3≤t≤6$. 提示：抛物线对称轴为直线$x=5$，开口向下. 当$x＞5$时，$y$随$x$增大而减小. 由于$x_2≥7$，因此当$x=7$时，$y_2$取最大值. 由于直线$x=7$与直线$x=3$关于直线$x=5$对称，因此当$3≤x≤7$时，$y_1≥y_2$. 所以$3≤t＜t+1≤7$.
（2）$3≤t≤6$. 提示：抛物线对称轴为直线$x=5$，开口向下. 当$x＞5$时，$y$随$x$增大而减小. 由于$x_2≥7$，因此当$x=7$时，$y_2$取最大值. 由于直线$x=7$与直线$x=3$关于直线$x=5$对称，因此当$3≤x≤7$时，$y_1≥y_2$. 所以$3≤t＜t+1≤7$.
解析
【分析】
（1）求抛物线顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，据此即可用含$m$的代数式表示点$C$的坐标。
（2）先代入$m=5$确定抛物线的对称轴、开口方向，结合二次函数的增减性可得$x_2≥7$时$y_2$的最大值为$x=7$对应的函数值；再利用二次函数的对称性找到$x=7$关于对称轴的对称点，可知要满足$y_1≥y_2$恒成立，区间$[t,t+1]$需落在对称点到7之间，据此列不等式组求解即可得到$t$的取值范围。
【解析】
（1）对抛物线解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2mx - m^2 +4m\\&=-(x^2-2mx+m^2)+4m\\&=-(x-m)^2+4m\end{aligned}$
根据二次函数顶点式的性质，顶点$C$的坐标为$(m,4m)$。
（2）当$m=5$时，抛物线解析式为$y=-(x-5)^2+20$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5$，
当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＜5$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_2≥7$，结合增减性可知，当$x_2=7$时，$y_2$取得最大值。
∵点$x=7$关于对称轴$x=5$的对称点为$x=2×5-7=3$，
∴当$3≤x≤7$时，对应的函数值均大于等于$x=7$时的函数值，即满足$y_1≥y_2$。
要使$t≤x_1≤t+1$时该关系恒成立，则区间$[t,t+1]$需完全包含在$[3,7]$内，
列不等式组：$\begin{cases}t≥3 \\ t+1≤7\end{cases}$，
解得$3≤t≤6$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(m,4m)}$；（2）$\boldsymbol{3≤t≤6}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质命题，第一问属于基础题，考查配方法将一般式转化为顶点式的能力；第二问需要结合函数的增减性确定$y_2$的最大值，再利用对称性确定自变量的取值范围，解题时要注意区间的边界取值，是二次函数的典型综合应用题。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，据此即可用含$m$的代数式表示点$C$的坐标。
（2）先代入$m=5$确定抛物线的对称轴、开口方向，结合二次函数的增减性可得$x_2≥7$时$y_2$的最大值为$x=7$对应的函数值；再利用二次函数的对称性找到$x=7$关于对称轴的对称点，可知要满足$y_1≥y_2$恒成立，区间$[t,t+1]$需落在对称点到7之间，据此列不等式组求解即可得到$t$的取值范围。
【解析】
（1）对抛物线解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2mx - m^2 +4m\\&=-(x^2-2mx+m^2)+4m\\&=-(x-m)^2+4m\end{aligned}$
根据二次函数顶点式的性质，顶点$C$的坐标为$(m,4m)$。
（2）当$m=5$时，抛物线解析式为$y=-(x-5)^2+20$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5$，
当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＜5$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_2≥7$，结合增减性可知，当$x_2=7$时，$y_2$取得最大值。
∵点$x=7$关于对称轴$x=5$的对称点为$x=2×5-7=3$，
∴当$3≤x≤7$时，对应的函数值均大于等于$x=7$时的函数值，即满足$y_1≥y_2$。
要使$t≤x_1≤t+1$时该关系恒成立，则区间$[t,t+1]$需完全包含在$[3,7]$内，
列不等式组：$\begin{cases}t≥3 \\ t+1≤7\end{cases}$，
解得$3≤t≤6$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(m,4m)}$；（2）$\boldsymbol{3≤t≤6}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质命题，第一问属于基础题，考查配方法将一般式转化为顶点式的能力；第二问需要结合函数的增减性确定$y_2$的最大值，再利用对称性确定自变量的取值范围，解题时要注意区间的边界取值，是二次函数的典型综合应用题。
【难度系数】
0.7
