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三、解答题
11. 写出二次函数$y=-3x^2+12x-8$图像的开口方向、对称轴、顶点坐标及其图像的变化规律. 判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量$x$的相应取值.
11. 写出二次函数$y=-3x^2+12x-8$图像的开口方向、对称轴、顶点坐标及其图像的变化规律. 判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量$x$的相应取值.
答案
11. 开口向下；对称轴为直线$x=2$；顶点$(2,4)$. 在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降. 二次函数有最大值；当$x=2$时，二次函数取到最大值，最大值为4.
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质判定逻辑：第一步先通过二次项系数$a$的正负判断开口方向；第二步利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴，再将对称轴对应的$x$值代入函数求出顶点纵坐标，得到顶点坐标；第三步结合开口方向和对称轴分析图像的增减变化规律；最后根据开口方向判断函数最值类型，顶点处即为最值点，对应$x$的取值就是对称轴的取值。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数$y=-3x^2+12x-8$的二次项系数$a=-3＜0$，因此图像开口向下。
2. 对称轴计算：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3$，$b=12$，得$x=-\frac{12}{2×(-3)}=2$，即对称轴为直线$x=2$。
3. 顶点坐标求解：将$x=2$代入函数解析式，得$y=-3×2^2+12×2-8=-12+24-8=4$，因此顶点坐标为$(2,4)$。
4. 图像变化规律：由于函数开口向下，因此在对称轴左侧（$x＜2$时），$y$随$x$的增大而增大，图像上升；在对称轴右侧（$x＞2$时），$y$随$x$的增大而减小，图像下降。
5. 最值判断：因为开口向下，抛物线顶点为最高点，因此二次函数有最大值，当$x=2$时，函数取到最大值4。
【答案】
开口向下；对称轴为直线$x=2$；顶点$(2,4)$. 在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降. 二次函数有最大值；当$x=2$时，二次函数取到最大值，最大值为4.
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的顶点坐标；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础常规题，核心考查二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值的判定方法，熟练掌握相关公式或配方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质判定逻辑：第一步先通过二次项系数$a$的正负判断开口方向；第二步利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴，再将对称轴对应的$x$值代入函数求出顶点纵坐标，得到顶点坐标；第三步结合开口方向和对称轴分析图像的增减变化规律；最后根据开口方向判断函数最值类型，顶点处即为最值点，对应$x$的取值就是对称轴的取值。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数$y=-3x^2+12x-8$的二次项系数$a=-3＜0$，因此图像开口向下。
2. 对称轴计算：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3$，$b=12$，得$x=-\frac{12}{2×(-3)}=2$，即对称轴为直线$x=2$。
3. 顶点坐标求解：将$x=2$代入函数解析式，得$y=-3×2^2+12×2-8=-12+24-8=4$，因此顶点坐标为$(2,4)$。
4. 图像变化规律：由于函数开口向下，因此在对称轴左侧（$x＜2$时），$y$随$x$的增大而增大，图像上升；在对称轴右侧（$x＞2$时），$y$随$x$的增大而减小，图像下降。
5. 最值判断：因为开口向下，抛物线顶点为最高点，因此二次函数有最大值，当$x=2$时，函数取到最大值4。
【答案】
开口向下；对称轴为直线$x=2$；顶点$(2,4)$. 在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降. 二次函数有最大值；当$x=2$时，二次函数取到最大值，最大值为4.
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的顶点坐标；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础常规题，核心考查二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值的判定方法，熟练掌握相关公式或配方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 已知二次函数 $y=(x+2)(4-x)$.
（1）通过配方，将该二次函数的表达式化为 $y=a(x+m)^2+h$ 的形式，并写出其图像的顶点坐标. 判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量 $x$ 的相应取值.
（2）说明抛物线 $y=(x+2)(4-x)$ 是如何由抛物线 $y=-x^2$ 平移得到的.
（1）通过配方，将该二次函数的表达式化为 $y=a(x+m)^2+h$ 的形式，并写出其图像的顶点坐标. 判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量 $x$ 的相应取值.
（2）说明抛物线 $y=(x+2)(4-x)$ 是如何由抛物线 $y=-x^2$ 平移得到的.
答案
12. (1) $y=-(x-1)^2+9$；顶点$(1,9)$；二次函数有最大值；当$x=1$时，二次函数取到最大值，最大值为9.
(2) 抛物线$y=-x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到抛物线$y=(x+2)(4-x)$.
(2) 抛物线$y=-x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到抛物线$y=(x+2)(4-x)$.
解析
【分析】
（1）要将二次函数化为顶点式，首先需先把给定的交点式展开为一般式，再提取二次项系数，对含x的项配完全平方，即可得到$y=a(x+m)^2+h$的形式；顶点式中可直接读出顶点坐标，再根据二次项系数a的正负判断抛物线开口方向，进而确定函数有最大值还是最小值及对应的x取值。
（2）二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，只需对比目标抛物线的顶点式和$y=-x^2$的形式，即可得到平移方式。
【解析】
（1）先展开原式：
$y=(x+2)(4-x)=-x^2+4x-2x+8=-x^2+2x+8$
接下来配方，先提取二次项系数$-1$：
$y=-(x^2-2x)+8$
对括号内的式子配完全平方，括号内加1凑成完全平方，为保证式子值不变，括号外需加1：
$y=-(x^2-2x+1-1)+8=-(x-1)^2+1+8=-(x-1)^2+9$
所以顶点式为$y=-(x-1)^2+9$，顶点坐标为$(1,9)$。
因为二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，所以此二次函数有最大值，当$x=1$时，取得最大值9。
（2）抛物线平移时形状不变，仅改变位置，遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对函数整体）”的规则：
将$y=-x^2$向右平移1个单位长度，得到$y=-(x-1)^2$，再向上平移9个单位长度，即可得到$y=-(x-1)^2+9$，也就是抛物线$y=(x+2)(4-x)$。
【答案】
(1) $y=-(x-1)^2+9$；顶点$(1,9)$；二次函数有最大值；当$x=1$时，二次函数取到最大值，最大值为9.
(2) 抛物线$y=-x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到抛物线$y=(x+2)(4-x)$.
【知识点】
二次函数配方；二次函数的最值；二次函数图像平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数解析式的形式转化、顶点性质及图像平移规则，解题的关键是熟练掌握配方的方法和“左加右减、上加下减”的平移规律，注意平移时针对x的变换容易搞反方向，需多加练习巩固。
【难度系数】
0.8
（1）要将二次函数化为顶点式，首先需先把给定的交点式展开为一般式，再提取二次项系数，对含x的项配完全平方，即可得到$y=a(x+m)^2+h$的形式；顶点式中可直接读出顶点坐标，再根据二次项系数a的正负判断抛物线开口方向，进而确定函数有最大值还是最小值及对应的x取值。
（2）二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，只需对比目标抛物线的顶点式和$y=-x^2$的形式，即可得到平移方式。
【解析】
（1）先展开原式：
$y=(x+2)(4-x)=-x^2+4x-2x+8=-x^2+2x+8$
接下来配方，先提取二次项系数$-1$：
$y=-(x^2-2x)+8$
对括号内的式子配完全平方，括号内加1凑成完全平方，为保证式子值不变，括号外需加1：
$y=-(x^2-2x+1-1)+8=-(x-1)^2+1+8=-(x-1)^2+9$
所以顶点式为$y=-(x-1)^2+9$，顶点坐标为$(1,9)$。
因为二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，所以此二次函数有最大值，当$x=1$时，取得最大值9。
（2）抛物线平移时形状不变，仅改变位置，遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对函数整体）”的规则：
将$y=-x^2$向右平移1个单位长度，得到$y=-(x-1)^2$，再向上平移9个单位长度，即可得到$y=-(x-1)^2+9$，也就是抛物线$y=(x+2)(4-x)$。
【答案】
(1) $y=-(x-1)^2+9$；顶点$(1,9)$；二次函数有最大值；当$x=1$时，二次函数取到最大值，最大值为9.
(2) 抛物线$y=-x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到抛物线$y=(x+2)(4-x)$.
【知识点】
二次函数配方；二次函数的最值；二次函数图像平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数解析式的形式转化、顶点性质及图像平移规则，解题的关键是熟练掌握配方的方法和“左加右减、上加下减”的平移规律，注意平移时针对x的变换容易搞反方向，需多加练习巩固。
【难度系数】
0.8
