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1. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，
则这个直角三角形的最大面积为 （
A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
则这个直角三角形的最大面积为 （
B
）A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
答案
1.B
2. 已知某矩形的周长为20厘米，一边长为x厘米，当x=
5
厘米时，此矩形的面积最大，最大是25
平方厘米。答案
2.5 25
3. 如图所示,修建一个矩形猪舍,猪舍一面靠墙,墙长13 m,另外三面用29 m长的建筑材料围成,其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括建筑材料).所围矩形猪舍的AB边为
9
m时,猪舍的面积最大.(AB边的长为整数)答案
3.9 解析:设AB=x m,猪舍的面积为y m²,则BC=29-(x-1)-x=(30-2x)m.
由题意,得y=x(30-2x)=-2x²+30x=-2(x-7.5)²+112.5,
∵$\begin{cases} x＞0, \\ x+x-1＜29, \\ 0＜30-2x≤13, \end{cases}$
∴8.5≤x＜15.
∵y=-2(x-7.5)²+112.5,-2＜0,
∴当8.5≤x＜15时,y随x的增大而减小.
∵x为整数,
∴当x=9时,y有最大值,
∴当AB=9 m时,猪舍的面积最大.
由题意,得y=x(30-2x)=-2x²+30x=-2(x-7.5)²+112.5,
∵$\begin{cases} x＞0, \\ x+x-1＜29, \\ 0＜30-2x≤13, \end{cases}$
∴8.5≤x＜15.
∵y=-2(x-7.5)²+112.5,-2＜0,
∴当8.5≤x＜15时,y随x的增大而减小.
∵x为整数,
∴当x=9时,y有最大值,
∴当AB=9 m时,猪舍的面积最大.
4. 如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度运动,到达点C处运动终止.连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm²,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是 (
A
B
C
D
A
)A
B
C
D
答案
4.A 解析:①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2 cm，
∴$y=S_{△ APQ}=\frac{1}{2}AQ· AP=\frac{1}{2}x^2$.
②当2＜x≤4时,如图
.$y = S_{△ AP'Q'} = S_{正方形ABCD} - S_{△ CP'Q'} - S_{△ ABQ'} - S_{△ AP'D} = 2×2-\frac{1}{2}(4-x)^2-\frac{1}{2}×2×(x-2)-\frac{1}{2}×2×(x-2) = -\frac{1}{2}x^2+2x$.
∴只有A选项图象符合. 故选A.
5. (济南联考)如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG的边长也为2,且AC与DE在同一直线上,△ABC从点C与点D重合开始,沿直线DE向右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是 (
A
)答案
5.A 解析:如图
所示.∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG的边长也为2,
∴∠A=45°,∠ADG=90°,
即△ADT是等腰直角三角形，
∴当0≤x＜2时,$y=S_{△ ABC}-S_{△ ADT}$
$=\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{1}{2}×AD×TD$
$=\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×(2-x)(2-x)$
$=2-\frac{1}{2}×(4-4x+x^2)$
$=-\frac{1}{2}x^2+2x$,
此时是开口向下的抛物线.
如图
所示.依题意,知DA=CE,DC=DE+EC,
则x=2+EC,
∴EC=x-2,
故AE=DE-DA=2-(x-2)=4-x.
同理得出△AEN是等腰直角三角形，
∴当2≤x≤4时,$y=S_{△ ANE}=\frac{1}{2}×AE×EN$
$=\frac{1}{2}×(4-x)×(4-x)$
$=\frac{1}{2}×(16-8x+x^2)$
$=\frac{1}{2}x^2-4x+8$,
此时是开口向上的抛物线，
观察四个选项,唯有A选项符合题意. 故选A.
6. 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m.
(1)若花园的面积为192 m²,求x的值.
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
(1)若花园的面积为192 m²,求x的值.
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
答案
6.解:(1)因为AB=x m,则BC=(28-x) m,
所以x(28-x)=192,
解得$x_1=12,x_2=16$,
所以当x=12时,BC=16 m;
当x=16时,BC=12 m.
所以x的值为12或16.
(2)由题意可得$S=x(28-x)=-x^2+28x=-(x-14)^2+196$,
因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,
所以x≥6,28-x≥15,所以6≤x≤13.
因为a=-1＜0,且对称轴为直线x=14,
所以在6≤x≤13范围内,S随x的增大而增大,
所以当x=13时,S有最大值,
$S_{最大值}=-(13-14)^2+196=195$.
所以花园面积S的最大值为195 m².
所以x(28-x)=192,
解得$x_1=12,x_2=16$,
所以当x=12时,BC=16 m;
当x=16时,BC=12 m.
所以x的值为12或16.
(2)由题意可得$S=x(28-x)=-x^2+28x=-(x-14)^2+196$,
因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,
所以x≥6,28-x≥15,所以6≤x≤13.
因为a=-1＜0,且对称轴为直线x=14,
所以在6≤x≤13范围内,S随x的增大而增大,
所以当x=13时,S有最大值,
$S_{最大值}=-(13-14)^2+196=195$.
所以花园面积S的最大值为195 m².
