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7.（潍坊中考）如图，有一块边长为6 cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（
A.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
答案
7.C
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$沿$AC$向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,同时点$Q$从点$C$沿$CB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(点$Q$运动到点$B$停止),在运动过程中,$△ PCQ$的面积的最大值为 (
A.$6\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\ \mathrm{cm}^2$
C.$12\ \mathrm{cm}^2$
D.$15\ \mathrm{cm}^2$
B
)A.$6\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\ \mathrm{cm}^2$
C.$12\ \mathrm{cm}^2$
D.$15\ \mathrm{cm}^2$
答案
8.B
9.(淄博博山区期中)如图,有长为24 m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x m,面积为S m².
(1)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)要围成面积为45 m²的花圃,AB的长是多少米?
(3)当AB的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?最大面积是多少?
(1)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)要围成面积为45 m²的花圃,AB的长是多少米?
(3)当AB的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?最大面积是多少?
答案
9.解:(1)根据题意,得$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$.
∵0＜24-3x≤10,
∴$\frac{14}{3}≤ x＜8$.
答:S与x的函数关系式为$S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤ x＜8)$.
(2)根据题意,当S=45时,$-3x^2+24x=45$,
整理,得$x^2-8x+15=0$,解得$x_1=3,x_2=5$.
当x=3时,BC=24-9=15＞10不成立,
当x=5时,BC=24-15=9＜10成立.
答:AB的长为5 m.
(3)$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$,
∵$\frac{14}{3}≤ x＜8$,对称轴是直线x=4,开口向下,
∴当$x=\frac{14}{3}$时,花圃的面积最大,最大面积是$\frac{140}{3}\mathrm{m}^2$.
答:当AB的长是$\frac{14}{3}$ m时,围成的花圃的面积最大,最大面积是$\frac{140}{3}\mathrm{m}^2$.
∵0＜24-3x≤10,
∴$\frac{14}{3}≤ x＜8$.
答:S与x的函数关系式为$S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤ x＜8)$.
(2)根据题意,当S=45时,$-3x^2+24x=45$,
整理,得$x^2-8x+15=0$,解得$x_1=3,x_2=5$.
当x=3时,BC=24-9=15＞10不成立,
当x=5时,BC=24-15=9＜10成立.
答:AB的长为5 m.
(3)$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$,
∵$\frac{14}{3}≤ x＜8$,对称轴是直线x=4,开口向下,
∴当$x=\frac{14}{3}$时,花圃的面积最大,最大面积是$\frac{140}{3}\mathrm{m}^2$.
答:当AB的长是$\frac{14}{3}$ m时,围成的花圃的面积最大,最大面积是$\frac{140}{3}\mathrm{m}^2$.
10. (德州中考)综合与实践
【活动背景】数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6 m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD(
)，要求恰好用完整条铝合金型材(接缝及型材宽度忽略不计).
【活动任务】结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案.
【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3.请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB.
【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好.请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积.
【活动背景】数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6 m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD(
)，要求恰好用完整条铝合金型材(接缝及型材宽度忽略不计).【活动任务】结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案.
【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3.请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB.
【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好.请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积.
答案
10.解:【方案一】由题意,设窗户框架的宽AB(横向边长)为x m,AD长(纵向边长)为y m.
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成,总型材长度为6 m,
∴3x+2y=6.
∵长宽之比为5:3,
∴y:x=5:3,即$y=\frac{5}{3}x$.
将$y=\frac{5}{3}x$代入3x+2y=6,得$3x+2×\frac{5}{3}x=6$,
∴$x=\frac{18}{19}$.
答:窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}\mathrm{m}$.
【方案二】由题意,设窗户框架的长AD为t m,则宽AB为$\frac{6-2t}{3}\mathrm{m}$,
∴$S=\frac{6-2t}{3}· t$,即$S=-\frac{2}{3}t^2+2t$,
∴要使窗户框架的面积最大,
则$t=-\frac{2}{2×(-\frac{2}{3})}=1.5$,
∴$\frac{6-2t}{3}=\frac{6-2×1.5}{3}=1$,
∴当t=1.5时,S有最大值,为1.5,
∴当AB,AD分别为1 m,1.5 m时,窗户的面积最大,最大面积为1.5 m².
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成,总型材长度为6 m,
∴3x+2y=6.
∵长宽之比为5:3,
∴y:x=5:3,即$y=\frac{5}{3}x$.
将$y=\frac{5}{3}x$代入3x+2y=6,得$3x+2×\frac{5}{3}x=6$,
∴$x=\frac{18}{19}$.
答:窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}\mathrm{m}$.
【方案二】由题意,设窗户框架的长AD为t m,则宽AB为$\frac{6-2t}{3}\mathrm{m}$,
∴$S=\frac{6-2t}{3}· t$,即$S=-\frac{2}{3}t^2+2t$,
∴要使窗户框架的面积最大,
则$t=-\frac{2}{2×(-\frac{2}{3})}=1.5$,
∴$\frac{6-2t}{3}=\frac{6-2×1.5}{3}=1$,
∴当t=1.5时,S有最大值,为1.5,
∴当AB,AD分别为1 m,1.5 m时,窗户的面积最大,最大面积为1.5 m².
