5. 如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$,点$B(3,0)$,且$OB=OC$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若点D是抛物线的顶点,求$△ BCD$的面积.

5.解:(1)$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$,点$B(3,0)$,且$OB=OC$,$\therefore OC=OB=3$,$\therefore C(0,3)$.
设抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$,将$C(0,3)$代入,得$-3a=3$,$\therefore a=-1$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$.
(2)$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
$\therefore D(1,4)$.
如图,过点$D$作$DF⊥AB$于点$F$,交$BC$于点$E$.
设直线$BC$的表达式为$y=kx+3$,将$(3,0)$代入,得$0=3k+3$,$\therefore k=-1$,
$\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-x+3$.
当$x=1$时,$y=2$,
$\therefore E(1,2)$,$\therefore DE=4-2=2$,
$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}· DE· OB=\dfrac{1}{2}×2×3=3$.

6. 在平面直角坐标系中,将抛物线$y=x^2+2x-1$先绕原点旋转$180°$,再向下平移5个单位,所得到的抛物线的顶点坐标是.

6. $(1,-3)$

7. 已知抛物线 $ C_0: y=-x^2+2x+1 $.
(1) 将 $ C_0 $ 向右平移3个单位长度,向下平移2个单位长度得到函数 $ C_1 $ 的表达式为 .
(2) 将 $ C_0 $ 沿 $ x $ 轴翻折得到函数 $ C_2 $ 的表达式为 .
(3) 将 $ C_0 $ 沿 $ y $ 轴翻折得到函数 $ C_3 $ 的表达式为 .

7. (1)$y=-(x-4)^2$ (2)$y=(x-1)^2-2$ (3)$y=-(x+1)^2+2$

8. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的表达式可能是（）

A.$y=x^2 - x - 2$
B.$y=\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
D.$y=-x^2 + x + 2$

8. D

9. (临沂兰山区月考)已知二次函数$y=x^2+bx+c$中,函数$y$与自变量$x$的部分对应值如表：

(1)求该二次函数的关系式.
(2)当$-2≤ x≤3$时,直接写出$y$的最小值.

9.解:(1)将$(0,5)$,$(1,2)$代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}1+b+c=2,\\c=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4,\\c=5,\end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的关系式为$y=x^2-4x+5$.
(2)$\because y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$,
$\therefore$ 二次函数的图象的对称轴为直线$x=2$,开口向上.
$\because -2≤x≤3$,
$\therefore$ 当$x=2$时,函数值最小,为$1$,
$\therefore$ 当$-2≤x≤3$时,$y$的最小值为$1$.

10. 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),AB=8,∠BAO=60°.现将线段AB绕点A顺时针旋转60°,若点B恰落在以点A为顶点的一条抛物线上,求这条抛物线的函数解析式.

10.解:线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$60°$后如图所示,过点$B'$作$B'C⊥x$轴于点$C$.
由旋转的性质,得$AB'=AB=8$,$∠BAB'=60°$.
$\because ∠BAO=60°$,
$\therefore ∠B'AC=180°-60°×2=60°$,
$\therefore ∠AB'C=30°$,
$\therefore AC=\dfrac{1}{2}AB'=\dfrac{1}{2}×8=4$,
$\therefore OC=AO+AC=6+4=10$.
由勾股定理,得$B'C=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,
$\therefore$ 点$B'$的坐标为$(10,4\sqrt{3})$.
设以点$A$为顶点的这一条抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2$.
$\because$ 点$B'$在此抛物线上,
$\therefore a(10-6)^2=4\sqrt{3}$,解得$a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$,
$\therefore$ 所求函数解析式为$y=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2$.