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9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2 cm,O是AB的中点,以点O为圆心,OC为半径画圆心角为90°的扇形ODE,⌒DE经过点C,则图中阴影部分的面积为
(第9题) (第10题)
(π-2)
cm².(第9题) (第10题)
答案
9.(π-2)
解析
【分析】
求解不规则阴影部分面积通常用割补法，首先结合等腰直角三角形的性质求出扇形的半径，再通过角度关系证明三角形全等，将空白部分的面积转化为规则三角形的面积，最后用扇形面积减去空白部分面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 计算AB的长度：在$Rt△ ABC$中，$AC=BC=2\sqrt{2}\mathrm{cm}$，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\mathrm{cm}$。
2. 求扇形半径：$\because$ O是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，$\therefore OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB=2\mathrm{cm}$，且$∠ A=∠ OCB=45°$，$∠ AOC=90°$。
3. 证明三角形全等：$\because$ 扇形ODE的圆心角$∠ DOE=90°$，$\therefore ∠ AOD+∠ DOC=∠ COE+∠ DOC=90°$，即$∠ AOD=∠ COE$。在$△ AOD$和$△ COE$中，$\begin{cases}∠ A=∠ OCE=45° \\OA=OC \\∠ AOD=∠ COE \end{cases}$，$\therefore △ AOD≌△ COE(\mathrm{ASA})$，故$S_{△ AOD}=S_{△ COE}$。
4. 计算面积：空白部分面积$=S_{△ COE}+S_{△ DOC}=S_{△ AOD}+S_{△ DOC}=S_{△ AOC}$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× OC=\frac{1}{2}×2×2=2\mathrm{cm}^2$；扇形ODE的面积$=\frac{90°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π\mathrm{cm}^2$。
5. 阴影部分面积$=S_{\mathrm{扇形}ODE}-S_{△ AOC}=π-2\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$π-2$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，扇形面积计算，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是利用全等三角形将不规则的空白部分面积转化为规则三角形的面积，考查了割补法在几何面积计算中的灵活应用。
【难度系数】
0.6
求解不规则阴影部分面积通常用割补法，首先结合等腰直角三角形的性质求出扇形的半径，再通过角度关系证明三角形全等，将空白部分的面积转化为规则三角形的面积，最后用扇形面积减去空白部分面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 计算AB的长度：在$Rt△ ABC$中，$AC=BC=2\sqrt{2}\mathrm{cm}$，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\mathrm{cm}$。
2. 求扇形半径：$\because$ O是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，$\therefore OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB=2\mathrm{cm}$，且$∠ A=∠ OCB=45°$，$∠ AOC=90°$。
3. 证明三角形全等：$\because$ 扇形ODE的圆心角$∠ DOE=90°$，$\therefore ∠ AOD+∠ DOC=∠ COE+∠ DOC=90°$，即$∠ AOD=∠ COE$。在$△ AOD$和$△ COE$中，$\begin{cases}∠ A=∠ OCE=45° \\OA=OC \\∠ AOD=∠ COE \end{cases}$，$\therefore △ AOD≌△ COE(\mathrm{ASA})$，故$S_{△ AOD}=S_{△ COE}$。
4. 计算面积：空白部分面积$=S_{△ COE}+S_{△ DOC}=S_{△ AOD}+S_{△ DOC}=S_{△ AOC}$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× OC=\frac{1}{2}×2×2=2\mathrm{cm}^2$；扇形ODE的面积$=\frac{90°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π\mathrm{cm}^2$。
5. 阴影部分面积$=S_{\mathrm{扇形}ODE}-S_{△ AOC}=π-2\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$π-2$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，扇形面积计算，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是利用全等三角形将不规则的空白部分面积转化为规则三角形的面积，考查了割补法在几何面积计算中的灵活应用。
【难度系数】
0.6
10.如图,已知圆柱底面圆的半径为$\frac{2}{π}$,高为 2,AB,CD 分别是两底面圆的直径,AD,BC 是母线.若一只小虫从点 A 出发,沿侧面爬行到点 C,则小虫爬行的最短路线的长度是
2√2
（结果保留根式）.答案
10.2√2
解析
【分析】
求解圆柱侧面上两点的最短爬行路径，核心思路是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”把路径转化为平面内的线段长度：首先将圆柱侧面展开为长方形，再确定两点在展开图中的位置，得到直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿母线AD剪开，展开得到长方形：
1. 计算底面圆的周长：已知底面半径$r=\frac{2}{π}$，则底面周长$C=2π r=2π×\frac{2}{π}=4$。
因为AB、CD是底面直径，所以展开后点A到点C的水平距离为底面周长的一半，即$4÷2=2$。
2. 展开后长方形的宽等于圆柱的高，即点A到点C的竖直距离为2。
3. 根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的转化思想，准确计算展开图中对应线段的长度再结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
求解圆柱侧面上两点的最短爬行路径，核心思路是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”把路径转化为平面内的线段长度：首先将圆柱侧面展开为长方形，再确定两点在展开图中的位置，得到直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿母线AD剪开，展开得到长方形：
1. 计算底面圆的周长：已知底面半径$r=\frac{2}{π}$，则底面周长$C=2π r=2π×\frac{2}{π}=4$。
因为AB、CD是底面直径，所以展开后点A到点C的水平距离为底面周长的一半，即$4÷2=2$。
2. 展开后长方形的宽等于圆柱的高，即点A到点C的竖直距离为2。
3. 根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的转化思想，准确计算展开图中对应线段的长度再结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$30°$后得到$\mathrm{Rt}△ ADE$,点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BD}$,$AD$交$BC$于点$F$,求图中阴影部分的面积.
答案
11.【解】根据旋转的性质,有$△ ADE≌△ ABC$,
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形ABD}.$
$\because AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$,
$\therefore S_{扇形ABD}=\frac{30π×5^2}{360}=\frac{25}{12}π.$
$\therefore S_{阴影}=\frac{25}{12}π.$
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形ABD}.$
$\because AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$,
$\therefore S_{扇形ABD}=\frac{30π×5^2}{360}=\frac{25}{12}π.$
$\therefore S_{阴影}=\frac{25}{12}π.$
解析
【分析】
这是一道不规则图形面积求解问题，解题思路如下：首先观察到阴影部分为不规则图形，优先考虑割补法转化为规则图形面积计算。根据旋转的性质可知旋转前后的三角形全等、面积相等，因此阴影部分的面积可等价转化为点B旋转形成的扇形ABD的面积；接下来先通过勾股定理求出AB的长度，再代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
根据旋转的性质，可得$△ ADE≌△ ABC$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$。
观察图形可知：$S_{阴影}=S_{△ ADE}+S_{扇形ABD}-S_{△ ABC}$，代入$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$，得$S_{阴影}=S_{扇形ABD}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
已知旋转角为$30°$，即扇形ABD的圆心角$∠ BAD=30°$，半径$r=AB=5$，代入扇形面积公式：
$S_{扇形ABD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30π×5^2}{360}=\frac{25}{12}π$。
因此$S_{阴影}=\frac{25}{12}π$。
【答案】
$\frac{25}{12}π$
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、扇形面积计算
【点评】
本题是不规则面积计算的常见题型，解题关键是利用旋转全等的性质，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，简化计算过程，只要熟练掌握相关基础公式即可解题。
【难度系数】
0.7
这是一道不规则图形面积求解问题，解题思路如下：首先观察到阴影部分为不规则图形，优先考虑割补法转化为规则图形面积计算。根据旋转的性质可知旋转前后的三角形全等、面积相等，因此阴影部分的面积可等价转化为点B旋转形成的扇形ABD的面积；接下来先通过勾股定理求出AB的长度，再代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
根据旋转的性质，可得$△ ADE≌△ ABC$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$。
观察图形可知：$S_{阴影}=S_{△ ADE}+S_{扇形ABD}-S_{△ ABC}$，代入$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$，得$S_{阴影}=S_{扇形ABD}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
已知旋转角为$30°$，即扇形ABD的圆心角$∠ BAD=30°$，半径$r=AB=5$，代入扇形面积公式：
$S_{扇形ABD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30π×5^2}{360}=\frac{25}{12}π$。
因此$S_{阴影}=\frac{25}{12}π$。
【答案】
$\frac{25}{12}π$
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、扇形面积计算
【点评】
本题是不规则面积计算的常见题型，解题关键是利用旋转全等的性质，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，简化计算过程，只要熟练掌握相关基础公式即可解题。
【难度系数】
0.7
12.如图①，在等腰三角形$ABC$中，$∠ BAC=120°$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，且$AD=6$，以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$。
(1)求阴影部分的面积；
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形$AEF$，将扇形$AEF$围成一个圆锥的侧面(如图②)，$AE$与$AF$正好重合，圆锥侧面无重叠，且底面圆的半径为$r$，求这个圆锥的高$h$。
(1)求阴影部分的面积；
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形$AEF$，将扇形$AEF$围成一个圆锥的侧面(如图②)，$AE$与$AF$正好重合，圆锥侧面无重叠，且底面圆的半径为$r$，求这个圆锥的高$h$。
答案
12.【解】(1)$\because AB=AC,∠ BAC=120°,\therefore ∠ B=30°.$
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore AD⊥ BC,BD=CD.$
由 $AD=6,$得 $AB=12.$
根据勾股定理,得 $BD=6\sqrt{3}.$
$\therefore BC=2BD=12\sqrt{3}.$
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×6×12\sqrt{3}-\frac{120π×6^2}{360}=36\sqrt{3}-12π.$
(2)$\because$圆锥的底面圆的半径为 $r$,
$\therefore 2π r=\frac{120π×6}{180},$解得 $r=2.$
$\therefore$这个圆锥的高 $h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}.$
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore AD⊥ BC,BD=CD.$
由 $AD=6,$得 $AB=12.$
根据勾股定理,得 $BD=6\sqrt{3}.$
$\therefore BC=2BD=12\sqrt{3}.$
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×6×12\sqrt{3}-\frac{120π×6^2}{360}=36\sqrt{3}-12π.$
(2)$\because$圆锥的底面圆的半径为 $r$,
$\therefore 2π r=\frac{120π×6}{180},$解得 $r=2.$
$\therefore$这个圆锥的高 $h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}.$
解析
【分析】
(1)求阴影部分面积可采用“差法”，即阴影面积等于等腰三角形ABC的面积减去扇形AEF的面积。首先利用等腰三角形三线合一的性质，结合已知角度和AD的长度，求出三角形ABC的底和高，计算其面积；再代入扇形面积公式计算圆心角为120°、半径为6的扇形面积，二者作差即可得到阴影面积。
(2)扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式算出扇形弧长，列等式求出底面半径r；圆锥的母线长等于扇形半径AD=6，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，用勾股定理即可求出高h。
【解析】
(1)
∵在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴$∠ B=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$AD⊥ BC$，$BD=CD$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AD=6$，
∴$AB=2AD=12$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
∴$BC=2BD=12\sqrt{3}$。
$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×6=36\sqrt{3}$，
扇形AEF的圆心角为$120°$，半径$R=AD=6$，
$S_{扇形AEF}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120π×6^2}{360}=12π$，
∴$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=36\sqrt{3}-12π$。
(2) 扇形AEF的弧长$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×6}{180}=4π$，
∵扇形围成圆锥侧面时，弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥的母线长为6，底面半径为2，圆锥的高$h$、底面半径$r$、母线长构成直角三角形，
∴$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $36\sqrt{3}-12π$；(2) $4\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开图计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是掌握阴影面积的求解思路，以及圆锥侧面展开图和底面圆的等量关系，注重对基础公式和几何性质的应用，是该章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1)求阴影部分面积可采用“差法”，即阴影面积等于等腰三角形ABC的面积减去扇形AEF的面积。首先利用等腰三角形三线合一的性质，结合已知角度和AD的长度，求出三角形ABC的底和高，计算其面积；再代入扇形面积公式计算圆心角为120°、半径为6的扇形面积，二者作差即可得到阴影面积。
(2)扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式算出扇形弧长，列等式求出底面半径r；圆锥的母线长等于扇形半径AD=6，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，用勾股定理即可求出高h。
【解析】
(1)
∵在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴$∠ B=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$AD⊥ BC$，$BD=CD$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AD=6$，
∴$AB=2AD=12$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
∴$BC=2BD=12\sqrt{3}$。
$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×6=36\sqrt{3}$，
扇形AEF的圆心角为$120°$，半径$R=AD=6$，
$S_{扇形AEF}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120π×6^2}{360}=12π$，
∴$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=36\sqrt{3}-12π$。
(2) 扇形AEF的弧长$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×6}{180}=4π$，
∵扇形围成圆锥侧面时，弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥的母线长为6，底面半径为2，圆锥的高$h$、底面半径$r$、母线长构成直角三角形，
∴$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $36\sqrt{3}-12π$；(2) $4\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开图计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是掌握阴影面积的求解思路，以及圆锥侧面展开图和底面圆的等量关系，注重对基础公式和几何性质的应用，是该章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
