登录
1.如图,某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB,AD为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形ADB的面积为(
A.$\frac{1}{2}π$
B.$\frac{1}{2}$
C.$π$
D.1
D
).A.$\frac{1}{2}π$
B.$\frac{1}{2}$
C.$π$
D.1
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先抓住铁丝变形前后总长度不变这一核心条件：第一步确定扇形的半径，变形后扇形以A为圆心，AB、AD为半径，原正方形边长为1，因此扇形半径r=1；第二步计算弧BD的长度，原正方形中AB、AD作为扇形的两条半径保留，剩余BC、CD的长度和即为弧BD的长；最后代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（l为弧长，r为半径）求解即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
将正方形变形为扇形ADB后，扇形的半径$r=AB=AD=1$，
弧BD的长度$l=BC+CD=1+1=2$，
根据扇形面积公式：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$，
代入数据得：$S_{\mathrm{扇形}ADB}=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，周长的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查图形变形前后周长不变的性质和扇形面积公式的应用，解题时优先选择弧长与半径结合的扇形面积公式，可避免额外求解圆心角，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住铁丝变形前后总长度不变这一核心条件：第一步确定扇形的半径，变形后扇形以A为圆心，AB、AD为半径，原正方形边长为1，因此扇形半径r=1；第二步计算弧BD的长度，原正方形中AB、AD作为扇形的两条半径保留，剩余BC、CD的长度和即为弧BD的长；最后代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（l为弧长，r为半径）求解即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
将正方形变形为扇形ADB后，扇形的半径$r=AB=AD=1$，
弧BD的长度$l=BC+CD=1+1=2$，
根据扇形面积公式：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$，
代入数据得：$S_{\mathrm{扇形}ADB}=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，周长的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查图形变形前后周长不变的性质和扇形面积公式的应用，解题时优先选择弧长与半径结合的扇形面积公式，可避免额外求解圆心角，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
2.若圆锥的底面积为$9π \ \mathrm{cm}^2$，母线长为$6 \ \mathrm{cm}$，则这个圆锥的侧面积为(
A.$18π \ \mathrm{cm}^2$
B.$27π \ \mathrm{cm}^2$
C.$18 \ \mathrm{cm}^2$
D.$27 \ \mathrm{cm}^2$
A
).A.$18π \ \mathrm{cm}^2$
B.$27π \ \mathrm{cm}^2$
C.$18 \ \mathrm{cm}^2$
D.$27 \ \mathrm{cm}^2$
答案
2.A
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已经给出母线长$l=6\ \mathrm{cm}$，但缺少底面半径$r$，因此第一步需要根据已知的底面积求出底面半径，再代入侧面积公式计算即可，同时可先排除不带$π$的C、D选项缩小范围。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，
根据圆的面积公式，圆锥底面积$S_{底}=π r^2=9π$，
两边同时除以$π$得$r^2=9$，由于半径为正数，因此$r=3\ \mathrm{cm}$。
已知母线长$l=6\ \mathrm{cm}$，代入圆锥侧面积公式：
$S_{侧}=π rl=π×3×6=18π\ \mathrm{cm}^2$。
综上本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆的面积计算，圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥相关面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握圆锥底面积和侧面积的计算公式，计算时注意不要遗漏$π$，避免错选无$π$的错误选项。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已经给出母线长$l=6\ \mathrm{cm}$，但缺少底面半径$r$，因此第一步需要根据已知的底面积求出底面半径，再代入侧面积公式计算即可，同时可先排除不带$π$的C、D选项缩小范围。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，
根据圆的面积公式，圆锥底面积$S_{底}=π r^2=9π$，
两边同时除以$π$得$r^2=9$，由于半径为正数，因此$r=3\ \mathrm{cm}$。
已知母线长$l=6\ \mathrm{cm}$，代入圆锥侧面积公式：
$S_{侧}=π rl=π×3×6=18π\ \mathrm{cm}^2$。
综上本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆的面积计算，圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥相关面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握圆锥底面积和侧面积的计算公式，计算时注意不要遗漏$π$，避免错选无$π$的错误选项。
【难度系数】
0.8
3.如图,用半径为3 cm,圆心角为$60°$的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为(
A.$\frac{1}{4}$ cm
B.$\frac{1}{2}$ cm
C.1 cm
D.$\frac{3}{2}$ cm
B
).A.$\frac{1}{4}$ cm
B.$\frac{1}{2}$ cm
C.1 cm
D.$\frac{3}{2}$ cm
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确扇形围成圆锥侧面的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路分为两步：第一步利用弧长公式计算出扇形的弧长；第二步将弧长等同于圆锥底面圆的周长，列方程求解底面圆的半径即可。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：
弧长公式为 $l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径），已知$n=60°$，$R=3\mathrm{cm}$，代入得：
$l=\frac{60×π×3}{180}=π\ \mathrm{cm}$
2. 求圆锥底面圆半径：
设圆锥底面圆半径为$r$，圆的周长公式为$C=2π r$，由于扇形弧长等于底面圆周长，因此：
$2π r=π$
解得$r=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
弧长公式，圆锥展开图性质，圆的周长计算
【点评】
本题属于几何转化类基础题，核心考查扇形和圆锥的对应关系，掌握“扇形弧长等于圆锥底面周长”这个等量关系，结合基本公式即可快速求解，是该知识点的常规考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确扇形围成圆锥侧面的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路分为两步：第一步利用弧长公式计算出扇形的弧长；第二步将弧长等同于圆锥底面圆的周长，列方程求解底面圆的半径即可。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：
弧长公式为 $l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径），已知$n=60°$，$R=3\mathrm{cm}$，代入得：
$l=\frac{60×π×3}{180}=π\ \mathrm{cm}$
2. 求圆锥底面圆半径：
设圆锥底面圆半径为$r$，圆的周长公式为$C=2π r$，由于扇形弧长等于底面圆周长，因此：
$2π r=π$
解得$r=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
弧长公式，圆锥展开图性质，圆的周长计算
【点评】
本题属于几何转化类基础题，核心考查扇形和圆锥的对应关系，掌握“扇形弧长等于圆锥底面周长”这个等量关系，结合基本公式即可快速求解，是该知识点的常规考法。
【难度系数】
0.8
4.如图,矩形ABCD内接于$\odot O$,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若$AB=4$,$BC=5$,则阴影部分的面积是(
A.$\frac{41}{4}π -20$
B.$\frac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
D
).A.$\frac{41}{4}π -20$
B.$\frac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
答案
4.D
解析
【分析】
计算不规则阴影部分面积可采用割补法，先梳理面积关系：阴影面积=4个以矩形边长为直径的半圆面积之和 - （外接圆$\odot O$的面积 - 矩形$ABCD$的面积）。先分别计算各规则图形的面积，再代入关系式化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算四个半圆的总面积：
已知$AB=CD=4$，$AD=BC=5$，以$AB$、$CD$为直径的两个半圆可拼接成1个半径$r_1=4÷2=2$的整圆，面积$S_1=π r_1^2=π×2^2=4π$；
以$AD$、$BC$为直径的两个半圆可拼接成1个半径$r_2=5÷2=\frac{5}{2}$的整圆，面积$S_2=π r_2^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}π$；
因此四个半圆总面积$S_{半总}=S_1+S_2=4π+\frac{25}{4}π=\frac{41}{4}π$。
2. 计算$\odot O$的面积：
矩形内接于$\odot O$，因此$\odot O$的直径为矩形的对角线，由勾股定理得对角线长$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$，则$\odot O$半径$R=\frac{\sqrt{41}}{2}$，面积$S_圆=π R^2=π×(\frac{\sqrt{41}}{2})^2=\frac{41}{4}π$。
3. 计算矩形面积：$S_{矩}=AB× BC=4×5=20$。
4. 计算阴影面积：
观察图形可知，阴影面积等于四个半圆总面积减去“$\odot O$面积减去矩形面积的空白部分”，即：
$S_{阴}=S_{半总}-(S_圆-S_{矩})=\frac{41}{4}π - (\frac{41}{4}π -20)=20$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，圆的面积计算，勾股定理
【点评】
本题是典型的组合图形面积计算问题，解题的核心是通过割补将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，计算过程中可发现半圆总面积和外接圆面积相等，能直接消去含$π$的项，简化计算。
【难度系数】
0.6
计算不规则阴影部分面积可采用割补法，先梳理面积关系：阴影面积=4个以矩形边长为直径的半圆面积之和 - （外接圆$\odot O$的面积 - 矩形$ABCD$的面积）。先分别计算各规则图形的面积，再代入关系式化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算四个半圆的总面积：
已知$AB=CD=4$，$AD=BC=5$，以$AB$、$CD$为直径的两个半圆可拼接成1个半径$r_1=4÷2=2$的整圆，面积$S_1=π r_1^2=π×2^2=4π$；
以$AD$、$BC$为直径的两个半圆可拼接成1个半径$r_2=5÷2=\frac{5}{2}$的整圆，面积$S_2=π r_2^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}π$；
因此四个半圆总面积$S_{半总}=S_1+S_2=4π+\frac{25}{4}π=\frac{41}{4}π$。
2. 计算$\odot O$的面积：
矩形内接于$\odot O$，因此$\odot O$的直径为矩形的对角线，由勾股定理得对角线长$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$，则$\odot O$半径$R=\frac{\sqrt{41}}{2}$，面积$S_圆=π R^2=π×(\frac{\sqrt{41}}{2})^2=\frac{41}{4}π$。
3. 计算矩形面积：$S_{矩}=AB× BC=4×5=20$。
4. 计算阴影面积：
观察图形可知，阴影面积等于四个半圆总面积减去“$\odot O$面积减去矩形面积的空白部分”，即：
$S_{阴}=S_{半总}-(S_圆-S_{矩})=\frac{41}{4}π - (\frac{41}{4}π -20)=20$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，圆的面积计算，勾股定理
【点评】
本题是典型的组合图形面积计算问题，解题的核心是通过割补将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，计算过程中可发现半圆总面积和外接圆面积相等，能直接消去含$π$的项，简化计算。
【难度系数】
0.6
5.若一个圆锥的侧面积是底面积的4倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是(
A.$60°$
B.$90°$
C.$180°$
D.$120°$
B
).A.$60°$
B.$90°$
C.$180°$
D.$120°$
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合圆锥的性质和侧面展开扇形的相关公式推导求解。首先明确几个等量关系：圆锥的底面积公式为$π r^2$（$r$为底面半径），侧面积公式为$π rl$（$l$为圆锥母线长）；圆锥侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。解题时先根据侧面积是底面积4倍的条件，推出母线长$l$和底面半径$r$的关系，再利用弧长公式求解圆心角度数即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r $，母线长为$ l $，侧面展开图扇形的圆心角为$ n° $。
1. 根据底面积和侧面积的关系列等式：
圆锥底面积$ S_{\mathrm{底}}=π r^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $，由题意$ S_{\mathrm{侧}}=4S_{\mathrm{底}} $，可得：
$ π rl = 4π r^2 $
两边同时约去$ π r $（$ r≠0 $），得$ l=4r $。
2. 结合侧面展开图弧长等于底面周长求圆心角：
扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，圆锥底面周长为$ 2π r $，二者相等，代入$ l=4r $得：
$ \frac{nπ · 4r}{180}=2π r $
两边同时约去$ π r $，化简得：
$ \frac{4n}{180}=2 $
解得$ n=90 $，即圆心角度数为$ 90° $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算，弧长公式应用，圆锥展开图性质
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题核心是掌握圆锥与侧面展开扇形之间的两个对应等量关系：底面周长等于扇形弧长、母线长等于扇形半径，理清变量关系后代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合圆锥的性质和侧面展开扇形的相关公式推导求解。首先明确几个等量关系：圆锥的底面积公式为$π r^2$（$r$为底面半径），侧面积公式为$π rl$（$l$为圆锥母线长）；圆锥侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。解题时先根据侧面积是底面积4倍的条件，推出母线长$l$和底面半径$r$的关系，再利用弧长公式求解圆心角度数即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r $，母线长为$ l $，侧面展开图扇形的圆心角为$ n° $。
1. 根据底面积和侧面积的关系列等式：
圆锥底面积$ S_{\mathrm{底}}=π r^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $，由题意$ S_{\mathrm{侧}}=4S_{\mathrm{底}} $，可得：
$ π rl = 4π r^2 $
两边同时约去$ π r $（$ r≠0 $），得$ l=4r $。
2. 结合侧面展开图弧长等于底面周长求圆心角：
扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，圆锥底面周长为$ 2π r $，二者相等，代入$ l=4r $得：
$ \frac{nπ · 4r}{180}=2π r $
两边同时约去$ π r $，化简得：
$ \frac{4n}{180}=2 $
解得$ n=90 $，即圆心角度数为$ 90° $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算，弧长公式应用，圆锥展开图性质
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题核心是掌握圆锥与侧面展开扇形之间的两个对应等量关系：底面周长等于扇形弧长、母线长等于扇形半径，理清变量关系后代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
6.已知扇形OAB的半径为6 cm，圆心角∠AOB=90°，将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为
9π
cm².答案
6.9π
解析
【分析】
解题时首先要明确：将扇形围成圆锥时，圆锥的侧面积就等于原扇形的面积，无需额外计算圆锥底面半径等参数，直接代入扇形面积公式求解即可。首先回忆扇形面积公式，确定公式中对应的圆心角、半径数值，再代入计算就能得到结果。
【解析】
因为扇形OAB围成圆锥的侧面，所以圆锥的侧面积等于扇形OAB的面积。
扇形面积公式为$S=\frac{nπ R^2}{360}$，其中圆心角$n=90°$，扇形半径$R=6\mathrm{cm}$，代入得：
$S=\frac{90π×6^2}{360}=\frac{90π×36}{360}=9π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
9π
【知识点】
1. 扇形面积计算 2. 圆锥侧面积的本质
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解扇形围成圆锥时侧面积与原扇形面积的等量关系，避免走弯路计算底面半径再求侧面积，掌握扇形面积公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：将扇形围成圆锥时，圆锥的侧面积就等于原扇形的面积，无需额外计算圆锥底面半径等参数，直接代入扇形面积公式求解即可。首先回忆扇形面积公式，确定公式中对应的圆心角、半径数值，再代入计算就能得到结果。
【解析】
因为扇形OAB围成圆锥的侧面，所以圆锥的侧面积等于扇形OAB的面积。
扇形面积公式为$S=\frac{nπ R^2}{360}$，其中圆心角$n=90°$，扇形半径$R=6\mathrm{cm}$，代入得：
$S=\frac{90π×6^2}{360}=\frac{90π×36}{360}=9π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
9π
【知识点】
1. 扇形面积计算 2. 圆锥侧面积的本质
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解扇形围成圆锥时侧面积与原扇形面积的等量关系，避免走弯路计算底面半径再求侧面积，掌握扇形面积公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7.(2024,扬州,13)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为
5
cm.答案
7.5
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的等量关系：半圆形纸片的弧长恰好等于围成的圆锥底面圆的周长。解题时先计算出半圆形的弧长，再利用弧长等于底面圆周长的关系列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
1. 计算半圆形纸片的弧长：
已知半圆形纸片的半径$R=10\mathrm{cm}$，半圆的弧长为对应整圆周长的一半，整圆周长公式为$C_{\mathrm{整}}=2π R$，因此半圆弧长：
$l=\frac{1}{2}×2π R=π R=10π\mathrm{cm}$
2. 求圆锥底面圆半径：
设圆锥底面圆的半径为$r$，底面圆周长公式为$C_{\mathrm{底}}=2π r$。
根据“圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长”，可得等式：
$2π r=10π$
两边同时除以$π$得$2r=10$，解得$r=5\mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
弧长计算、圆锥展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题是平面图形与立体图形结合的基础题，只要明确侧面展开图弧长和底面周长的等量关系就能快速求解，是弧长和扇形面积板块的常考题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的等量关系：半圆形纸片的弧长恰好等于围成的圆锥底面圆的周长。解题时先计算出半圆形的弧长，再利用弧长等于底面圆周长的关系列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
1. 计算半圆形纸片的弧长：
已知半圆形纸片的半径$R=10\mathrm{cm}$，半圆的弧长为对应整圆周长的一半，整圆周长公式为$C_{\mathrm{整}}=2π R$，因此半圆弧长：
$l=\frac{1}{2}×2π R=π R=10π\mathrm{cm}$
2. 求圆锥底面圆半径：
设圆锥底面圆的半径为$r$，底面圆周长公式为$C_{\mathrm{底}}=2π r$。
根据“圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长”，可得等式：
$2π r=10π$
两边同时除以$π$得$2r=10$，解得$r=5\mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
弧长计算、圆锥展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题是平面图形与立体图形结合的基础题，只要明确侧面展开图弧长和底面周长的等量关系就能快速求解，是弧长和扇形面积板块的常考题型。
【难度系数】
0.8
8.(2025,齐齐哈尔,13)若圆锥的底面半径为40 cm,母线长为90 cm,则其侧面展开图的圆心角为
160
度.答案
8.160
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先计算圆锥底面周长得到扇形弧长，再结合弧长公式列方程，即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
第一步：计算圆锥底面周长，即侧面展开扇形的弧长。
底面圆周长公式为$C=2π r$，已知底面半径$r=40\mathrm{cm}$，代入得：
$l=C=2π×40=80π\mathrm{cm}$
第二步：利用弧长公式列方程求圆心角。
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），已知母线长即扇形半径$R=90\mathrm{cm}$，弧长$l=80π\mathrm{cm}$，代入公式得：
$80π=\frac{nπ×90}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$80=\frac{n}{2}$
解得$n=160$
【答案】
160
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长公式、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥与扇形结合的常规题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图和圆锥各量的对应关系，代入公式计算即可，计算时注意先约分化简可降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先计算圆锥底面周长得到扇形弧长，再结合弧长公式列方程，即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
第一步：计算圆锥底面周长，即侧面展开扇形的弧长。
底面圆周长公式为$C=2π r$，已知底面半径$r=40\mathrm{cm}$，代入得：
$l=C=2π×40=80π\mathrm{cm}$
第二步：利用弧长公式列方程求圆心角。
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），已知母线长即扇形半径$R=90\mathrm{cm}$，弧长$l=80π\mathrm{cm}$，代入公式得：
$80π=\frac{nπ×90}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$80=\frac{n}{2}$
解得$n=160$
【答案】
160
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长公式、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥与扇形结合的常规题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图和圆锥各量的对应关系，代入公式计算即可，计算时注意先约分化简可降低出错概率。
【难度系数】
0.7
